混沌理论在桥梁变形监测中的应用

黄维腾

（1.茂名市城规勘察测绘院有限公司，广东 茂名 525000）

桥梁变形过程表现出复杂的非线性特性，传统的线性预测方法难以满足精度要求，为此，本文进行桥梁变形监测数据处理时引用了非线性理论，即通过非线性混沌理论来对桥梁的变形情况进行预计分析，非线性混沌理论的引用为桥梁的维护和安全运行提供了科学可靠的数据[1]。本文对某市大桥进行长达半年的变形监测工作，在传统数据处理的基础上进行了非线性测量数据的处理，并建立了混沌预测模型对其进行预测研究。

1 观测数据的混沌识别

自2018年4月至2018年10月对该大桥沉降数值持续监测，每3 d观测一次形成等间隔的时间序列，求取该时间序列的两重构参数时间延迟τ以及嵌入维数m，随之进行混沌识别。经过前人的不断研究和实验，证实常使用的C-C算法、G-P算法以及Cao算法能够精确求取两重构参数[2]，针对传统的C-C算法存在的不足，本文进行了改善，改善后的C-C算法能够更准确的求取时间延迟τ，可为后续模型的建立提供方便。

1.1 延迟时间的选取

1.1.1 传统C-C算法

传统C-C算法应用关联积分构建时间序列的检验统计量来代表非线性时间序列的相关性[3-5]。定义检验统计量，N为时间序列长度。t为重构时延，N→∞时，则：

由式（4）～（6）求得时间序列的首个局部最大值，这时所求的t就是时间延迟。

1.1.2 改进的C-C法在传统C-C算法的基础上，以两重构参数τ和m重构相空间则：检验统计量的定义式写为：

将（2）式改成：

比较式（9）和式（10）可得：

式（13）求取Cm(x，r)时先平均后幂次方消除了高频起伏，使得S(m，n，r，t)～t曲线平稳光滑。则统计量的计算改为：

式（14）成功避免了随着t的增加误差会增大这种弊端的发生。

1.1.3 C-C法与改进的C-C法比较

以洛伦兹方程式为例，取σ=16，r=45.92，b=4，初始值x=-1，y=0，z=1。以原C-C法和改进的C-C法算法寻找的全局最小Scor(t)的曲线图如图1、2所示。

图1 C-C法算法

图2 改进C-C法

1.2 嵌入维数的确定

G-P算法先求取吸引子的关联维数，然后用Tankens嵌入维定理对实测数据x(1)，x(2)，...，x(t)，...，进行延时重构，得到一组空间向量X(t)={x(t)，x(t+τ)，...x[t+（m-1)τ]}，t=1,2，...,M。间距小于正数r的向量，都是关联向量，这里选用∞-笵数来计算，即用两向量最大分量来作为距离。

其中，θ(·)为Heaviside单位函数：

1.3 Cao方法

如果Xn(i，m)(m)与Xi(m)相等，那么按照范数的定义寻找下一个最近的向量。定义：

式中，‖g‖为向量范数，常用的范数为

式中，E(m)为所有a(i，m)的均值。

令：

若存m0使得当m＞m0时E(m)为某一常数时，那么该混沌系统的最小嵌入维数为m0+1。

令：

来区分确定混沌时间序列与完全随机的时间序列。

2 实例分析

本次观测高程基准网布设6个控制点，包括3个已知基准点，采用《国家一、二等水准测量规范》（GB/T 12897-2006）规定的二等高程测量要求对该大桥的进行水准测量。采用精度为0.6 mm的Trimble DINI03电子自动水准仪结合其配套条码尺，对该大桥进行往返观测，不超限的情况下取其平均值作为实测数据，确保实测数据的可靠性。从2018年4月到2018年10月每3 d测一次，获取70期数据，以“R12”号观测点为例观测数据如图3所示。

图3 观测数据图

本次运用改进的C-C算法求取“R12”号观测点z值方向时间序列的延迟时间。由图4可知，当τ=3时，ΔSˉ(t)和Scor(t)首次取得近似极小值，因此，改进C-C算法求取的延迟时间τ=3。G～P算法求取时间序列嵌入维数m计算图如图5所示。由图5可知，当m=9时，D趋向于饱和，则时间序列的嵌入维数m为9。Cao算法求取嵌入维数计算图如图6所示，由图6可知当m=9时，E1(m)不随m的增加而增大，因此“R12”号观测点沉降时间序列嵌入维数是9。采用G-P算法和Cao算法求取的m值一致。随后通过小数量法对时间序列进行混沌性判别，使用FFT估算时间序列的周期，根据两重构参数τ和m，计算最大Lyapunov指数λ，周期—功率图如图7所示，最大Lyapunov图如图8所示。求得时间序列周期P=9，Lyapunov指数λ=0.029 8，Lyapunov指数大于0，因此时间序列存在混沌迹象[10]。系统最长预报时间在能保证预测精度的前提下，预测时间最多为102 d。

图4 C-C算法求时间延迟

图5 G-P法求取嵌入维数

图6 Cao算法求取嵌入维数

图7 周期-功率图

图8 最大Lyapunov指数计算图

最后求得“R12”号观测点沉降时间序列的时间延迟τ=3，嵌入维数m=9，根据所求的两重构参数进行相空间重构，建立加权零阶局域预测模型[11]。将前60期观测数据当做训练样本，对该时间序列进行归一化，利用两重构参数建立RBF神经网络混沌预计模型[12-13]，使用上述2种混沌预测模型以及系数为0.9的指数平滑法对时间序列进行短期预测。选取后10期进行预计，将预计结果与实际观测数据进行对比分析。预测结果如表1、图9所示，由图9可知实测值和预测值的差距随期数的增大而增大，因此混沌预测法不适合长期预测。系统最长预报时间为102 d，本文选取最后10期数据进行预测，每3 d测一期，10期数据间隔30 d，在系统最长预报时间以内，由此能够保证其精度。

图9 3种方法与实测数据对比图

表1 3种模型预测结果对比表

由表1可知，混预时间序列预测结果优于指数平滑预测结果，说明在桥梁变形监测中混沌预测模型的预测结果是可靠的，同时还可以看出RBF神经网络混沌预测模型预测精度高于加权零阶局域预测模型。

3 结论

1）本文采用改进的C-C算法求取时间序列的时间延迟τ=3，使用G-P算法和Cao算法求取时间序列的嵌入维数m=9，最后确定了该时间序列存在混沌现象。

2）采用加权零阶局域法预测模型、RBF神经网络混沌预测模型以及系数为0.9的指数平滑法对该时间序列进行预测，最后得出混沌预测模型预测结果优于指数平滑法预测结果，并且RBF神经网络混沌预计模型精度高于加权零阶局域预计模型预测精度，但相差不大，表明混沌预测模型预计结果可靠。