2种新的多种观测量联合平差定权方法

王永弟，丁海勇

（1.南京信息工程大学 遥感学院，江苏 南京 210044）

2种新的多种观测量联合平差定权方法

王永弟1，丁海勇1

（1.南京信息工程大学 遥感学院，江苏 南京 210044）

Helmert方差分量估计方法已被广泛用于测量平差观测量的定权中，但是，实际应用中该方法却存在不收敛的现象。为此，将信息熵和变异系数引入测量平差，提出了2种新的处理不同类型观测量、同类型不同精度观测值、甚至同类型同精度观测值进行定权的方法。数值实验表明，提出的方法效果优于Helmert方法。

Helmert方差分量；测量平差；信息熵权；变异系数

1 Helmert方差分量估计

Helmert方差分量估计是由Helmert在1924年提出的一种验后方差分量估计方法，主要用于解决各类观测值的权重分配不合理的问题[1]。在此后的几十年中，人们在理论上对该方法进行了充分的研究，并且在实际应用中对该方法的平差效果进行了分析。付新启[2]通过数值实验对用Helmert方差估计方法进行了验证，认为初始权的选择对迭代平差的结果没有影响。范百兴等[3]将Helmert方差分量应用于跨河水准测量中，通过迭代计算确定2类观测值权的关系。成英燕等[4]就Helmert方差分量简化算法及Baumker简化公式用于联合平差中方差分量估计问题进行了讨论。张朝玉等[5]在Helmert公式的基础上，推导了多类观测数据联合平差中方差分量估计的序贯算法。李希峰等[6]对Helmert方差分量估计在混合水准网平差中的应用进行了研究。武艳强等[7]对Helmert方差分量估计及其近似公式在导线网平差中的应用进行了研究，认为导线网的网形、边长等因素会影响Helmert方差估计的收敛性。刘长建等[8]采用LS估计的迭代形式调整2类观测值权比，同时对现有类型方差分量估计公式进行了扩展[9]。这些研究总体上都是在Helmert验后方差分量估计的基础上的应用研究，但实际上Helmert理论与实际运用之间存在较大的差异。Helmert方法存在如下缺陷：

1）不同类型观测量定权问题。Helmert方差分量估计的主要思路是，根据经验定权，从先验方差因子初值出发估计各类观测值的方差因子，然后再据此重新进行定权，再平差，循环往复，直至各类观测量的方差因子相等为止[1]。以本文将要介绍的实例1为例，利用Helmert算法进行迭代定权，效果如图1、图2所示。

图1 迭代123次

图2 迭代2 865次

在迭代过程中，平均点位误差并不随迭代次数的增加而减小，且无明显规律，图形呈锯齿状，即Helmert迭代不总是收敛的，会出现无数个异常值。迭代123次时，异常值比例为41.46%，最优平均点位误差为±10.007 mm；迭代2 865次时，异常值比例为12.32%，最优平均点位误差为±14.204 mm。因此，Helmert方差分量迭代定权时，存在较大风险。

2）同类观测量不同精度观测值定权问题。在进行跨河水准测量时，由于水准网中含有2种不同精度的观测量，在定权时会出现无数个异常值。因此，利用Helmert方差分量迭代进行同类观测量不同精度观测值定权时，亦存在较大风险。

3）同类观测量同精度观测值定权问题。同类型观测量相同精度观测值的权重也并不总是相同的。例如在水准网平差中，每一次观测都会有偶然误差，无论是按测站数定权还是按距离公里数定权都没有考虑每一观测值读数带来的误差，因此，在平差结果中会带来较大的计算误差。Helmert方法并不能解决这种不合理的定权问题。

4）负方差问题。Helmert方差分量估计还存在负方差的问题[10-12]，吴晓清[13]提出的Helmert-WF方法较好地弥补了Helmert方法中的缺陷，但仍未解决超过2类观测值的验后估计的问题。

本文针对以上不合理的定权问题，将信息熵和变异系数引入测量平差，提出了2种新的适合处理不同类型观测量、同类型不同精度观测值、同类型同精度观测值的定权方法。

2 熵权理论定权与变异系数定权

2.1 信息熵赋权法

信息熵赋权法，即熵权法是根据被评价对象的指标值构成的判断矩阵来确定指标权重的一种方法，具有较强的客观性[14-15]。其基本原理是：对多指标决策问题，从m个可行方案中选最优方案。它取决于这m个可行方案的各个指标向决策者提供的决策信息。谁提供决策的确定信息量大，谁对决策做的贡献就大，从而该指标的权重值也就越大。

利用熵权法确定影响因素的权重步骤如下：

1）对原始数据矩阵X进行无量纲化处理得到标准化矩阵 R=(rij)m×n，2）由标准化矩阵R=(rij)m×n求影响因子的出现概率Pij：

3）求第j个影响因子输出的信息熵Ej：

式中，0≤Ej≤1。

4）将第j个影响因子的熵权Dj定义为：

Dj与式（2）中Pij的乘积便是第i个观测值的权，记为Pi，也就是熵权法的定权结果。

2.2 变异系数赋权法

变异系数法是直接利用各项指标所包含的信息，通过计算得到指标的权重[15,16]，是一种客观赋权的方法。其基本思想是：在评价指标体系中，指标取值差异越大、也就是越难以实现的指标，更能反映被评价项目的差距。

评价指标体系中的各项指标量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为了消除这种影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。各项指标的变异系数公式如下：

式中，Vj是第j项指标的变异系数，也称为标准差系数；σj是第j项指标的标准差；xj是第j项指标的平均数。各项指标的权重为：

Wj与式（2）中Pij的乘积便是第i个观测值的权，记为Pi，也就是变异系数法的定权结果。

3 实例应用

3.1 不同类型观测量定权问题

本例取自文献[17]第137页中的例7-11。本例中有17个观测值（其中10个角度观测值，7个边长观测值），5个待定点（D、E、F、G、H），必要观测数t=10。分别按4种方案（即经验定权、Helmert迭代定权、按熵权理论定权、按变异系数定权）进行平差，平差后各待定点的点位中误差列于表1。

表1 导线网观测值平差结果/mm

从平均点位误差来看，方案3最优（±9.78 mm），方案1最差（±16.87 mm），后3种方案中方案4稍差，但从总体上，后3种方案均优于方案1。其原因是：前2种方案中角度观测值的权都是1，而在后2种方案中，所有角权和边权都发生了较大变化，其权重比例进行了彻底的重新分配，使权重分配更加合理。相对于经验定权方法，后面3种方法都能使最后的平差结果精度有所提高，其中，熵权理论结果最好，变异系数方案结果稍差。

3.2 同类观测量不同精度观测值定权问题

此类问题文献[3]、[6]已经作了详细的研究，本文不再赘述。

3.3 同类观测量同精度观测值定权问题

本例中的水准网取自文献[17]第104页的例7-1。本例中观测值有5个（h1~h5），待定点有3个（B、C、D），由于本例中讨论的是同类观测量同精度观测值的情况，Helmert方案在这里不适用，故表2只列出其余3种方案的结果。为了便于比较，每个观测值的权作了标准化处理。

表2 水准网观测值平差结果/mm

从表2平差后待定点的平均中误差来看，方案4最优（±9.045 8 mm），方案3、4非常接近，方案1最差（±10.380 8 mm）。相对于方案1，方案3、4的定权结果都发生了较大变化，各观测值之间的权重比例进行了重新分配，并且后2种方案的定权结果基本趋于一致。后2种定权方案的高差观测值和待定点平差值的精度都有所提高，采用熵权理论和变异系数定权最后的平差结果非常接近。

4 结 语

各个观测值的权重分配在测量平差中是很重要的，无论在导线网平差还是普通的水准网中，采用经验定权方法都不是最合理的，无论是在导线网中将同精度观测角度视为等权观测，还是在水准网中按距离公里数定权的做法，都比较片面，最终平差的结果会受到不同程度的影响。采用Helmert定权方法要冒很大的风险，因为Helmert方差分量估计在实践中不是很理想。

权重的分配对平差结果具有明显影响，观测值精度高低是由所受的不同因素的影响共同决定，因此，在定权时应综合考虑不同因素的影响大小。如果各个观测值的权重分配比较科学合理，则能有效提高平差结果的精度。无论是采用熵权理论定权，还是采用变异系数定权，其平差结果均优于经验定权法，其计算量都少于Helmert方法，并且能够用在同类观测量同精度观测值定权问题中。信息熵法和变异系数法都能够更加合理地确定测量平差中各观测值的权重比例，都能够有效地提高平差值的精度。相对于传统方法来说，都是更加优越的定权方法。

[1] 武汉测绘科技大学测量平差教研室. 测量平差基础[M] . 北京：测绘出版社，1996

[2] 付新启. 用赫尔默特方差估计进行迭代平差的初始权问题[J].河北建筑科技学院学报，1997（4）：53-56

[3] 范百兴，李广云. Helmert方差分量估计在跨河水准测量中的应用[J].测绘学院学报，2004（3）：106-109

[4] 成英燕，程鹏飞. 联合平差中的方差分量估计问题的探讨[J].测绘科学，2005（2）：51-54

[5] 张朝玉，陶本藻，时晋. 多类观测量联合平差中方差分量估计的序贯算法[J].大地测量与地球动力学，2005（3）：34-38

[6] 李希峰，岳东杰，卫柳艳. 赫尔默特方差分量估计在混合水准网平差中的应用[J].现代测绘，2005（5）：20-22

[7] 武艳强，黄立人. 赫尔默特方差分量估计及其近似公式在导线网平差中的应用[J].测绘通报，2006（4）：1-5

[8] 刘长建，吴洪举，黄勇. 一种调整两类观测值权比的新方案[J].测绘通报，2006（9）：47-48，68

[9] 刘长建，柴洪洲，吴洪举，等. 扩展的Helmert型方差分量估计公式[J]. 测绘学报，2008（1）：1-4

[10] 刘大杰，于正林. 广义平差原理（下）[M] . 武汉：武汉测绘科技大学，1985

[11] 李德仁. 摄影测量平差系统的误差处理和可靠性理论（上）[M] . 武汉：武汉测绘科技大学，1985

[12] 吴晓清. 权因子方差分量估计[D] . 武汉：武汉测绘科技大学，1988

[13] 吴晓清. Helmert-WF（权因子）方差分量估计[J].武汉测绘科技大学学报，1992（4）：1-10

[14] 任玉珑，刘焕，望玉丽，等. 基于熵权法和支持向量机的中长期电力负荷预测[J].统计与决策，2009（14）：46-48

[15] 姜君. 基于熵权与变异系数组合赋权法的模糊综合评价模型[D].北京：首都师范大学硕士，2011

[16] 贾玲玲. 条件变异系数的非参数估计方法[D]. 济南：山东大学，2006

[17] 武汉大学测绘学院测量平差学科组. 误差理论与测量平差基础[M]. 武汉：武汉大学出版社，2003

[18] 王永弟，许承权. 运用多参数的信息扩散估计的导线网平差[J]. 地理空间信息，2012，10（3）：91-93，96

Two New Methods of Determining Weight for Multiple Observations in the Process of Jointly Adjustment

byWANG Yongdi

Helmert algorithm has been extensively utilized to estimate the variance components from which the weight of the observations could be identified in a surveying adjustment system. However, the non-convergence of Helmert algorithm has been found in some reality applications. Therefore, we suggested to using entropy theory and variation coefficient to estimate the weight coefficients for different types of observations, the same type of observations with different or same observation accuracy. Numerical experiments made in this study verified that the proposed approach outperforms the Helmert algorithm to provide improved adjustment results.

Helmert variance component, surveying adjustment,information entropy, the coefficient of variation

P207

B

1672-4623（2013）02-0140-03

10.11709/j.issn.1672-4623.2013.02.046

2012-07-17。

项目来源：江苏省高校自然科学研究资助项目(1KJB420002)；南京信息工程大学科研基金资助项目(S8110063001)。

王永弟，讲师，从事工程测量、GPS测量与数据处理的教学与研究工作。