基于滑动式算法的IGS精密星历内插与拟合精度

吴 伟, 任 超, 王文杰, 黄征凯

在高精度GPS精密测量中，基线处理采用了经过后处理的IGS精密星历，它在GPS精密定位、精密单点定位（PPP）和低轨卫星精密定轨中发挥了至关重要的作用[1]。IGS提供的精密星历可达mm级，但是，其星历间隔一般为15 min，而一般接收机接收到的观测值间隔小于1 min，要想获得观测瞬间卫星的位置，就涉及到卫星星历的插值问题[2,3]。目前，国内外较常用的精密星历插值方法是Lagrange内插和Chebyshev多项式拟合[4]。多项式插值一般采用滑动式窗口算法，该算法将插值区间作为一个窗口，窗口大小始终保持不变，每次将窗口向后移动一个时间段，用于插值窗口中间2点之间的时间段。虽然滑动式窗口算法已然是精密星历插值的成熟算法[5,6]，但是之前的相关论著却并未对该算法进行深入、详细探究。

1 精密星历插值多项式及插值余项

1.1 Lagrange多项式内插

n阶Lagrange多项式插值模型为：

式中，点xi(i=0,1…,n)称为插值节点，包含插值节点的区间[a，b]称为插值区间。对于任意x∈[a,b]，插值余项[7，8]：

式中，ξ∈[a,b]且依赖于

由式(2)可以看出，插值点与插值节点越接近，|wn+1(x)|越小，则|Rn(x)|也越小；反之，|Rn(x)|越大。因此，求插值点x处f（x）的近似值时，应尽量选与x最接近的插值节点作插值运算，这也体现了滑动式窗口插值的思想，且最好使用内插公式，因内插比外推误差小。

1.2 Chebyshev多项式拟合

由于Chebyshev多项式只适用于自变量区间为[-1,1]的情况，因此在时间段[t0,t0+∆t]内（t0为初始时刻，∆t为拟合时间长度)采用n阶Chebyshev多项式拟合时，首先需利用公式将变量的区间归化到[-1,1]。Chebyshev多项式拟合模型[9]为：

式中，n为多项式阶数；Cyi为多项式系数；Ti(τ)为第i阶Chebyshev多项式，可通过其具有的下列递推关系[10]求出：T0(τ)=1,T1(τ)=τ,Tn(τ)=2τTn -1(τ)-Tn-2(τ)(n=2,3,…)。

根据Chebyshev最小零偏差定理[8]，在[-1,1]上所有首项系数为1的n次多项式pn(x)，21-nTn(x)对零的偏差最小，即

由该定理可知，插值节点取为n次Chebyshev多项式的零点时，误差估计式变为：

从式(5)可以看出，要降低截断误差，采用最小零偏差定理，则|Rn(x)|也最小；实际插值点与插值节点不可能达到零偏差，但是，插值点与插值节点越接近时插值效果会更佳。

在详细分析Lagrange内插和Chebyshev多项式拟合其插值余项的基础上发现，截断误差在端点处将迅速增长，在插值端点处容易发生振荡或跳跃现象。

2 算例分析

2.1 滑动式算法星历插值结果对比

选用2011-03-20 的IGS精密星历文件数据，采样间隔为15 min，每个历元32颗卫星。抽取每隔30 min的星历数据，将其插值为采样间隔为15 min的卫星坐标数据，并与实际的卫星坐标值比较。

方案1：采用Lagrange多项式对32颗卫星坐标进行内插，内插阶数为4～35阶，图1、图2分别给出了15、16阶（最佳）卫星坐标偏差统计图。

方案2：采用Chebyshev多项式对32颗卫星坐标进行拟合，拟合阶数为6～39阶，图3、图4分别给出了20、21阶（最佳）卫星坐标偏差统计图。

方案3：对2种模型的各阶插值结果的最大偏差进行统计，如图5、图6所示。

图1 Lagrange 15 阶插值坐标偏差统计图

图2 Lagrange 16 阶插值坐标偏差统计图

图3 Chebyshev 20 阶拟合坐标偏差统计图

图4 Chebyshev 21 阶拟合坐标偏差统计图

图5 Lagrange 各阶插值最大偏差统计图

图6 Chebyshev 各阶插值最大偏差统计图

图7 Lagrange各阶插值RMS统计图

图8 Chebyshev各阶插值RMS统计图

方案4：2种模型各阶插值RMS统计，如图7、图8所示。

在图5、图7中，省略了小于13阶的粗大偏差，图6、图8中省略了小于13、大于25阶的粗大偏差。

通过实验可以得出以下结论：

1）由图1～图4可知，2种模型在相邻阶数插值结果精度相当，Lagrange在15、16阶，Chebyshev在20、21阶都能达到亚mm级精度，卫星编号为7、9、13、27卫星星历有较大误差。

2）对比图5～图8可以发现，无论是最大偏差还是均方根误差，Lagrange内插在大于16阶以后，精度几乎稳定，所以仅增加阶数并不会对提高精度有明显贡献；Chebyshev拟合在16～21阶精度较稳定，但是阶数越高或越低时偏差成级数增加。

2.2 滑动式与非滑动式算法插值结果对比

选用数据：2011-03-20 T 11:00:00～12:45:00卫星PRN号为2、10、18、26的IGS精密星历数据。当插值点时刻位于所有插值节点时刻的中间时，即∆t=0，为滑动式插值；当插值点时刻距所有插值节点时刻的中间时刻越来越远时，即∆t>0，为非滑动式插值。表1给出了2种模型在同阶不同时刻不同卫星插值的RMS统计结果，∆t=0时为11:00，∆t=105时为12:45。

表1 滑动式与非滑动式算法插值结果统计

从表1可知，标准差RMS与Dt成正比，即当插值点时刻距所有插值节点时刻的中间时刻越来越远时，误差也越来越大，Lagrange内插误差增大较明显，Chebyshev拟合相对稳定。

3 结 语

1）Lagrange多项式内插和Chebyshev多项式拟合精度均可达到亚mm级，完全可以用于高精度的GPS导航和定位。

2）由图7、图8可知，当阶次超出一定范围后，增多插值节点，Chebyshev拟合误差成倍增加，Lagrange内插精度降低不明显。

3）采用非滑动式算法插值时，Lagrange多项式内插值可达到m级误差，Chebyshev多项式拟合精度相对稳定，达cm级。

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