二维FM系统的同时故障检测与控制

吴小雪 丁大伟 任莹莹 刘贺平

二维系统与现代过程控制密切相关,在污水处理、多维数字滤波器、卫星气象云图分析、图像处理等领域有广泛的应用[1−2].由于二维系统具有丰富的工程物理背景,至今仍是控制领域的研究热点之一.近年来二维系统的分析和控制器设计方面取得了诸多成果,如文献[3]给出了二维离散线性模型的稳定性判据,文献[4]给出了二维离散系统的状态反馈控制器设计方法.在此基础上,二维系统的滤波器设计、H∞控制等问题也得到了深入研究[5−6].

另一方面,现代工业过程对于系统安全性和可靠性的要求日益提高,因此故障检测与故障诊断问题越来越受到重视[7−10].与一维系统相比,二维系统由于结构复杂,其故障检测滤波器/观测器的设计难度更大,需要提出新技术解决设计过程中遇到的非凸问题.此外,二维系统的残差评价函数以及阈值的设计亦不同于一维系统,需根据二维系统的特点构造合适的残差评价函数及阈值.因此,研究二维系统的故障检测问题是非常必要的,也是存在挑战的.然而,现有文献的研究成果相对较少,其中文献[11−13]研究了二维系统的故障检测问题,采用了全频设计方法,即没有考虑故障发生的有限频信息;文献[14]研究了二维Roesser 系统在传感器失效情况下的故障检测问题;文献[15]研究了二维FM 系统的故障检测问题.

文献[16]指出,系统设计时控制单元和故障检测单元是相互关联和作用的,如果将控制单元和故障检测单元分开设计,容易忽视两个单元间的关联性:设计控制单元时容易影响故障检测效果,而设计故障检测单元时可能会影响控制效果.解决该问题的方法之一是采用集成设计策略,一方面可减少设计步骤,一定程度上降低设计的复杂度[17];另一方面,集成设计可以考虑控制单元和故障检测单元的关联性和相互作用,即兼顾和平衡控制性能和故障检测性能.此外,集成设计也有助于在控制器中结合容错特性[18].目前,集成设计的研究成果主要集中在一维系统[19],二维系统的相关研究成果较少[20].FM 模型作为一类重要的二维系统模型,其同时故障检测与控制方法具有一定的理论意义和实际应用价值,但该研究未见相关报道,这是本文的研究动机之一.

本文研究二维FM 系统的同时故障检测与控制问题,采用有限频性能指标刻画故障和干扰信号的有限频特性,提出构造切平面方法和两步算法来解决设计过程中出现的非凸问题.本文所设计的故障检测滤波器/控制器可以同时实现控制功能和故障检测功能.此外,以往研究成果常采用递增的残差评价函数,故障被排除后容易产生故障误报.本文针对二维系统的故障检测问题,采用新的残差评价函数,可降低故障误报率.

1 系统模型

考虑如下二维离散FM 模型[21]:

其中,xxx(i,j)∈Rn为状态向量,ddd(i,j)∈Rnd为外部扰动,fff(i,j)∈Rnf为故障信号,yyy(i,j)∈Rny为测量输出,zzz(i,j)∈Rnz为被控输出,A1,A2,Bu1,Bu2,Bf1,Bf2,Bd1,Bd2,C,Dd,Df,E,Fu为已知的具有适当维数的常数矩阵.

注1.对于FM 模型,由于状态向量xxx(i+1,j+1) 可以看做i方向上对xxx(i,j+1) 或者是在j方向上对xxx(i,j+1)进行的一步前移运算,故FM 模型需要三个向量来描述[22].

本文目标是构造如下形式的故障检测滤波器/控制器:

2 问题描述与预备知识

增广系统从故障fff(i,j)、干扰ddd(i,j) 到残差˜yyy(i,j) 和被控输出zzz(i,j) 的传递函数分别由下式给出:

本文要讨论的问题可归纳为:对于给定的二维FM 系统,设计故障检测滤波器/控制器(2),使增广系统(3) 渐近稳定,同时满足如下控制指标和故障检测指标:

这里,γ1,γ2,β1,β2是给定的正标量,k=1,2.

注2.有限频H−指标(9) 和有限频H∞指标(10)～(12)是相应全频域指标的推广,当=π时,有限频性能指标退化为全频性能指标.

注3.式(9) 和式(11) 为故障检测性能指标,这两个指标保证了发生在有限频域的故障对残差信号有足够大的影响,同时外部干扰对残差信号的影响较小;式(10) 和式(12)为控制性能指标,即抑制故障和干扰信号对被控输出的影响,保证系统有一定的鲁棒性.

本文需要用到如下引理:

引理1[23].对于给定的对称矩阵Ψ 和矩阵Γ,Λ,存在矩阵X,满足Ψ+ΓXΛT+ΛXTΓ<0,当且仅当以下等式成立:

3 主要结果

接下来考虑系统故障检测的鲁棒性条件.令f(i,j)=0,则增广系统变为

下面定理给出增广系统(3) 满足性能指标(11) 的充分条件.

定理1～4 给出了故障检测滤波器/控制器设计需满足的有限频域性能条件,由于广义KYP 引理并不隐含系统的稳定性[28],因此这些条件并不能保证所设计的系统是稳定的.下面给出增广系统(3) 渐近稳定的充分条件:

4 解决方案

4.1 算法

上述定理中得到的矩阵不等式为非凸的,为了解决该难题,采取两步算法进行求解:

步骤1.设计状态反馈控制器,使闭环系统(32) 满足控制性能指标(10) 和(12),得到控制器参数ˆCc.

设计如下形式的状态反馈控制器:

给定实参数a,b,若上述优化问题可解,则控制器参数=Y X−1.

步骤2.在步骤1 的基础上(已知),给定实参数a1,a2,b1,b2,求解如下的优化问题:

注5.与一维系统相比,二维系统的稳定性条件和性能条件复杂,其故障检测滤波器/控制器的设计过程更加困难.求解有限频H−指标时,一维系统可通过Finsler 定理等避免出现非凸问题,而二维系统由于其广义KYP 引理的特殊形式,需要通过构造切平面方法来解决设计过程中出现的非凸问题.二维系统的状态反馈控制器设计难度也更大,需利用广义KYP 引理的对偶形式进行构造性证明.

4.2 残差评价函数及阈值

受参考文献[29]启发,选择如下残差评价函数及阈值:

其中,Jr(i,j) 和Jth分别表示残差函数及阈值.阈值Jth可借鉴文献[30]中的算法求出.根据如下的逻辑关系检测系统是否发生了故障:

注6.对于二维系统而言,残差评价函数需要从水平和垂直两个方向定义以反映二维特性.本文选择水平方向i −s到i,垂直方向j −t到j的矩形区域内残差的平均值作为评价函数.而对于一维系统,残差评价函数只需要在一个方向上定义,其评估窗口通常为k0到k0+n的时间范围.

5 仿真例子

考虑文献[15]中给出的带钢轧制过程,如图1 所示,

图1 带钢轧制过程Fig.1 Strip rolling process

该轧制过程可用如下等式描述:

其中,p表示微分算子d/dt,yyyi(t) 是第i个实际压辊间隙厚度,FFF m是由电动机产生的力,M是压辊间隙调节机构的总质量,λ1表示调节机构弹簧,λ2表示带钢的硬度,λ=λ1λ2/(λ1+λ2) 是带钢和压辊机构的复合刚度.通过向后差分并用T1表示采样周期,则上式可以用离散时间形式表示:

令λ1=λ2=1 800,T1=0.8,M=100,假设上述系统中发生了卡死型传感器故障.利用本文所提出的方法设计故障检测滤波器/控制器,同时保证一定的故障检测性能和控制性能.给定加权值a1=0.1,a2=0.4,b1=0.4,b2=0.1,由于故障发生在低频段,取频率约束其余参数取为α=1.6537.根据上节所提出的算法,可得如下故障检测滤波器/控制器参数:

为了验证该故障检测滤波器/控制器的有效性,给出仿真结果(图1～4).在仿真中,考虑卡死型故障

系统初始状态设为xxxi(k,1)=0,(k,1)=0,xxxi(1,k)=0,(1,k)=0.采用参考文献[30]中的算法,可得阈值Jth=0.8251.图2 表示系统的故障,图3 表示系统干扰,图4 和图5 分别给出了三维空间和二维空间的故障检测效果.从图5可以看出,当i=15,23,35 时,残差评价函数的值位于阈值的下方,表明系统没有发生故障;当i=44,40≤j ≤150 时,残差评价函数的值位于阈值的上方,表明此时系统发生了故障,这与预设的故障一致,因此该设计可以有效地检测出故障发生.

图2 故障fff(i,j)Fig.2 Fault fff(i,j)

图3 干扰ddd(i,j)Fig.3 Disturbance ddd(i,j)

图4 三维空间中的残差评价函数Jr(i,j) 和阈值JthFig.4 Residual evalution function Jr(i,j) and threshold Jth in three-dimensional space

接下来与传统的分步设计方法[15]进行比较,仍采用上文中的轧制模型中的数据,先设计控制器,再设计故障检测滤波器.在相同条件下进行仿真研究,仿真结果如图6～8 所示.图6 为故障到残差传递函数的奇异值比较,可以看出集成设计方法的故障灵敏性更高(奇异值更大).图7 和图8 为两种方法的控制性能(即扰动抑制性能) 的比较,可以看出当故障发生时,本文所提出的集成设计方法具有更好的扰动抑制能力.

图5 二维空间中的残差评价函数Jr(i,j) 和阈值JthFig.5 Residual evalution function Jr(i,j) and threshold Jth in two-dimensional space

图6 故障到残差传递函数G˜yf(ω1,ω2) 的奇异值比较Fig.6 Singular value comparison of transfer functions G˜yf(ω1,ω2) from fault to residual signal

6 结论

本文研究了FM 模型的同时故障检测与控制问题.借助于二维广义KYP 引理,直接处理系统需要满足的有限频性能指标,可避免频率加权方法的复杂性.所设计的故障检测滤波器/控制器,在检测故障发生的同时,还可以满足给定的控制性能指标.利用构造切平面方法以及两步法来解决设计过程中出现的非凸问题.仿真例子验证了方法的有效性.

图7 集成设计方法的控制性能Fig.7 Control performance of integrated design methods

图8 分步设计方法的控制性能Fig.8 Control performance of separate design methods