关于域上上三角矩阵的诱导映射

付丽,闫盼盼,曹重光

(1.绥化学院信息工程学院,黑龙江 绥化 152061;2.黑龙江大学数学科学学院,黑龙江 哈尔滨 150080)

关于域上上三角矩阵的诱导映射

付丽1,闫盼盼2,曹重光2

(1.绥化学院信息工程学院,黑龙江 绥化 152061;2.黑龙江大学数学科学学院,黑龙江 哈尔滨 150080)

令F是一个域,Tn(F)是F上所有n×n上三角矩阵的集合.本文分别给出了矩阵保相似性及保交换性的定义,并使用矩阵技术和初等方法,得到了Tn(F)的保相似性及保交换性的诱导映射的一般形式,并且给出了例子,来解释一些结果之间的关系.

上三角矩阵;保相似性;保交换性;诱导映射

1 引言

近年来刻画矩阵集合保持某些性质的映射的研究更感兴趣于映射没有线性和加法假定的情形,例如文献[1-5].本文研究的诱导映射,其实也是这类问题的一种,如文献[6-7].

设F是一个域,Mn(F)及Tn(F)分别记F上所有n阶矩阵及所有n阶上三角阵的集合.设f是Mn(F)(Tn(F))到自身的映射,fij是F上的函数,其中ij∈{1,2,···,n}.如果定义

则称f是由{fij}诱导的映射.简称Mn(F)(Tn(F))的诱导映射.

如果A与B相似,能推出f(A)与f(B)相似,则称f保相似性.如果AB=BA,能推出f(A)f(B)=f(B)f(A),则称f保交换性.本文分别刻画域上上三角矩阵保相似性及保交换性的诱导映射.

在本文中用F∗记F中所有非0元的集合,Eij表示(i,j)位置是1,其余位置是零的矩阵,In记n阶单位阵.记[1,n]表示集合{1,2,···,n}.

2 保相似性的诱导映射

定义2.1对A,B∈Tn(F),若存在可逆矩阵P∈Mn(F),使得A=PBP-1,则称A相似于B,记作A～B.

引理 2.2[7]设F为一个域,n≥2是整数,若A∈Tn(F),满足A2=0,rankA=r,那么存在一个可逆矩阵P∈Mn(F),使得

定理2.3设F为一个域,n≥3是整数,f为Tn(F)到自身的诱导映射,且满足f(0)=0,则对任意A=(aij)∈Tn(F),f保相似性的充分必要条件是f为下列形式之一：

(1)存在F上一个函数φ,使得φ=f11=···=fnn且f(A)=diag(φ(a11),···,φ(ann));

(2)存在一个可逆对角阵P∈Tn(F),q∈F∗和F上一个单射自同态δ,使得

3 保交换性的诱导映射

在Tn(F)的诱导映射的定义中涉及n-1个函数f12,f23,···,fn-1,n,对这些函数可定义如下的类集合

将函数f12,f23,···,fn-1,n所属的类集合,从左到右依次写成一个序列,称为诱导映射f的类序列.例如ητρρητ为n=7时f的类序列,它说明f12∈η,f23∈τ,f34∈ρ,f45∈ρ,f56∈η, f67∈τ.如果在f(0)=0的条件下,f是Tn(F)的保交换的诱导映射,我们有如下结果.

引理3.1设n≥3是整数,f(0)=0,其中f是Tn(F)的保交换的诱导映射,且对任意的i∈[1,n]有fii(1)0,则在f的类序列中不会出现相邻两类为ρτ,τρ,ττ这三种情况.

定理3.2设f为Tn(F)的诱导映射,f(0)=0,n≥3是一个整数,且满足则f保交换当且仅当

定理 3.3F是一个域,f1为Tm(F)的诱导映射,f1(0)=0,且满足fii(1)≠0,(i∈[1,n])

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Induced maps on upper triangular matrices over fields

Fu Li1,Yan Panpan2,Cao Chongguang2
(1.School of Information Engineering,Suihua University,Suihua 152061,China; 2.School of Mathematical Science,Heilongjiang University,Harbin 150080,China)

Let F is a field and Tn(F)is a set of all n×n upper triangular matrices over F.In this paper the definition of preserving similarity and commutativity about matvix are given respectively.This paper gets the general forms of induced maps about preserving similarity and commutativity by using the techniques of matrix and elementary method and explain the relationship between the results through examples.

upper triangular tatrix,preserving similarity,preserving commutativity,induced map

O151.21

A

1008-5513(2016)06-0630-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.010

2016-09-09.

国家自然科学基金(11371109);绥化学院2015年科学技术研究项目(K1502004).

付丽(1982-),硕士生,讲师,研究方向：矩阵代数.

2010 MSC:15A04