用复数矢量方程分析行星运动

彭定辉

(江西省南丰县第一中学,江西 抚州 344500)

对于平方反比引力场中的行星运动问题,通常可构建矢量方程结合比耐公式求解[1],也可利用守恒规律进行分析[2],还可用复数表示矢量进行处理[3,4].但后者只是用复数形式统合两个分量方程,处理结果与前两种方法并无区别.故本文在上述方法的基础上,尝试用表示矢量的复数作为独立变量,建立运动方程求解行星轨迹.

1 矢量的复数表示

考虑到复数与共轭复数是互为共轭关系,故对复数矢量和方程可用置换方式取其共轭,即把式中复数因子都换成相应的共轭复数,如:i替换为-i、-i替换为i,r替换为r*、r*替换为r等.

复数也可表示矢量的点积和叉积. 若用复数v=veiφ表示大小为v,辐角为φ的速度矢量v,其有共轭复数v*=ve-iφ,两者与r、r*交错相乘,得r*v=vre-i(θ-φ)、v*r=vrei(θ-φ).注意到两乘积之和r*v+rv*=2vrcos (θ-φ)为点积r·v=vrcos (φ-θ)的两倍,故可将矢量点积写为

而两乘积之差r*v-rv*=2ivrsin(φ-θ)与叉积r×v=vrsin(φ-θ)n形式相似;因叉积矢量在坐标反演时会改变方向,是为赝矢量[6],故用纯虚数i表示其垂直矢量平面向上的单位矢量n,则可将矢量叉积写为

叉积矢量kn可单独用复数ik表示,与方向在虚轴上的矢量有相同的复数形式.对于矢量v与叉积矢量kn的叉积v×kn,易知其方向为v沿顺时针旋转90°的方向,故用复数表示为

v×ik=-ikv

2 分析行星运动

2.1 基本方程和守恒量

下面用复数矢量方程分析行星的运动.以太阳为复平面坐标原点,设太阳质量为M,行星质量为m,位置为r,则其速度为

(1)

取共轭得

(2)

由牛顿运动定律可知

代入式(1),化简为

(3)

取共轭得

(4)

代入式(1)、(2),整理化简为

即

(5)

可知守恒量E为行星总能量.

联立式(1)、(2),可得

即

(7)

此式可写为iL=r×mv,故守恒量iL为行星角动量.

将式(1)、(2)代入式(7),有

数学变形得

即

(8)

对式(8)取共轭,得

(9)

联立式(5)、(7),可知A的大小为

(10)

2.2 行星速度和轨迹

当行星角动量iL≠0时,由式(8)有

(11)

对式(11)取共轭,得

(12)

由式(11)、(12)有

图1 行星速度矢量在速度空间中的轨迹

将式(11)、(12)代入式(7),整理得

(13)

考虑E≠0的情况,由式(10)有

代入式(13),整理化简为

(14)

而由式(5)有

(15)

图2 E<0时行星的轨迹

图3 E>0时行星的轨迹

3 不同方向发射卫星的轨迹包络线

卫星绕地运动与行星运动类似,故下面来分析不同方向发射卫星的轨迹包络线.设卫星发射位置为r0,发射速度为v0,其总能量E<0,轨迹为椭圆.当仅调整卫星发射方向时,守恒量中除了E不变,iL和A都会变化,焦点位置及卫星轨道也会随之发生变动.

故将r=r0代入式(15),有

(16)

或写为

(17)

又将r=r0代入式(13),有

再与式(13)联立,化简整理得

(18)

此即以焦点F及其共轭复数F*为参量,描述卫星轨道变动的一簇曲线方程.

现对式(17)求导,有

同样对式(18)求导,有

两式联立又得

(r*-r0*)(F-r0)-(r-r0)(F*-r0*)=0

此式可写为叉积形式

(r-r0)×(F-r0)=0

表明r-r0与F-r0在同一条直线上. 即作为轨迹包络线上的一点,卫星矢径取极大值时的位置r与此时椭圆轨道的焦点F及发射位置r0三点共线,如图4所示.

图4 卫星矢径取极大值时的轨道

又因r-r0=r-F+F-r0,故有

将上式与式(15)、(16)联立,可得

图5 不同方向发射卫星的轨迹包络线

4 结束语

本文以复数矢量方程分析行星轨迹问题,不仅得到行星运动的一般性结论,还发现作为守恒量的拉普拉斯-隆格-楞次矢量与行星运动有深刻关联,它与其他守恒量共同决定了行星轨道的离心率和第二焦点位置等运动参数,其物理意义十分丰富.

虽然复数矢量方程只适用于平面运动问题,但由于它可把矢量方程中的点积和叉积计算变换成复数形式的代数运算,在简化求解过程的同时并能将运动图景直观呈现,对于诸如α粒子散射等类似问题有一定的参考价值.