用指标表示法推导电磁场的守恒律

时间：2024-05-22

李照宇

(湖南理工学院物理与电子科学学院,湖南岳阳 414006)

电磁场的能量、动量和角动量守恒律是电磁场物质性的表现.在我国现行的电动力学教材如文献[1-3]中,在推导这几个守恒律时,普遍对其中的矢量和张量采取实体表示法,如矢量E、并矢BB、张量T等.其优点是表达凝练,但数学抽象性较强,学习难度大,在一定程度上会影响到对推导过程背后物理思想的理解.作为教学的补充,本文采用指标表示法来推导这三个定律.

1 指标表示法

1.1 符号约定

指标表示法在近代理论流体力学和计算流体力学中被广泛使用[4],具有书写简洁,运算方便的优点,特别是当表达式中同时出现张量和矢量时,更显示其优越性.在三维空间中,建立起右手直角坐标系,引入直角坐标xi(i=1,2,3)和坐标单位矢量ei,使用指标表示法时作如下约定:

1) 自由标.当一个指标符号仅出现一次时,则该指标为自由标,须遍历该指标所有的取值.比如ai表示一个矢量,其中i是自由标,可取1、2、3,有3个分量;Tij表示一个二阶张量,其中i、j是自由标,对i和j均进行遍历取值,从而得到9个分量.

2) 哑指标.根据爱因斯坦求和约定,当指标重复出现两次时,则对该指标的索引项进行求和,该指标称为哑指标.比如点乘可表示为a·b=aibi,散度可表示为∇·A=∂Ai/∂xi.

3) 克罗内克符号δij=ei·ej.根据直角坐标单位矢量的正交关系,当i=j时,δij=1;当i≠j时,δij=0.

4) 置换符号εijk=ei·(ej×ek).根据直角坐标单位矢量的正交和右手螺旋关系,当i、j、k中有2个以上指标相同时,就有εijk=0;当i、j、k为偶排列时,εijk=1;当i、j、k为奇排列时,εijk=-1.使用置换符号可将叉乘表示为(a×b)i=εijkajbk,旋度表示为(∇×A)i=εijk∂Ak/∂xj.

1.2 重要性质

在上述约定下,可以得出几个重要性质:1) 在同一项中,哑指标可以成对地替换,比如∂Ai/∂xi=∂Aj/∂xj;2) 若克罗内克符号δij出现在乘积项中,则可将其消去,同时将该项中的i、j指标相互替换,比如δijaibj=aibi=ajbj;3) 任意两个指标交换位置时,置换符号反号,比如εijk=-εjik;4)δij和εijk之间存在着如下恒等式:εijkεilm=δjlδkm-δjmδkl.这几个运算性质在本文的推导中会反复用到.

1.3 几个电磁基本规律的指标表示形式

根据上述规则,麦克斯韦方程组4个式子的指标形式可写为:

(1)

(2)

(3)

(4)

从式(1)和(2)中可将电荷密度ρ和电流密度矢量Ji用场表达:

(5)

(6)

洛仑兹力密度公式的指标形式为

fi=ρEi+εijkvjBk

(7)

设空间有一区域V,其边界为闭合曲面S.由于电荷守恒,单位时间流入S的电荷量应等于单位时间在V内增加的电荷量,则电荷守恒定律的积分形式可写为

(8)

利用高斯定理,可写出对应的微分形式:

(9)

2 电磁场的能量守恒定律

由于电磁场的能量守恒,单位时间流入S的电磁能量,等于单位时间内在V内增加的电磁能量,加上电磁场对V内电荷做功的功率.类比于电流密度矢量Ji和电荷密度ρ,引入能流密度矢量Si和电磁能量密度w,则类比于式(8),电磁场能量守恒定律的积分形式可写为

(10)

其中p为电磁场对单位体积电荷做功的功率.上式对应的微分形式为

(11)

为导出Si和w的表达式,就需将p写成上式右侧的形式.利用式(6)和(7),可将p写成

p=fivi=(ρEi+εijkvjBk)vi=JiEi=

(12)

上面最后表达式中的第1项可以写成

(13)

其中第3个等号用到式(2).

第2项可以写成

(14)

合起来即有

(15)

上式即为电磁场能量守恒定律的完整表达,与式(11)对比,可得电磁场能流密度矢量:

(16)

以及电磁场能量密度:

(17)

3 电磁场的动量守恒定律

由于电磁场的动量守恒,单位时间流入S的电磁动量,等于单位时间内在V内增加的电磁动量,加上电磁场对V内电荷的作用力[5].类比于式(10),可写出电磁动量守恒定律的一般形式,略有不同的是,由于动量是矢量,所以这一形式要对每个分量j都成立,即有

(18)

其中Tij被称为电磁场的动量流密度张量,可理解为电磁动量第j分量的“流密度矢量”;gj称为电磁动量密度;fj为电磁场对单位体积电荷作用力.

与式(18)对应的微分形式为

(19)

为导出Tij和gj的表达式,就需将fj写成上式右侧的形式.

利用式(5)—式(7),可将fj写成

fj=ρEj+εjklJkBl=

(20)

上面最后表达式中的第1项可以写成

(21)

第2项可以写成

(22)

其中最后一个等号用到式(3).

第3项可以写成

(23)

其中第2个等号用到式(2).

合起来即有

(24)

上式即为电磁场动量守恒定律的完整表达,与式(19)对比,可得电磁场动量流密度张量

(25)

以及电磁场动量密度

gj=ε0εjklEkBl

(26)

4 电磁场的角动量守恒定律

由于电磁场的角动量守恒,单位时间流入S的电磁角动量,等于单位时间内在V内增加的电磁角动量,加上电磁场对V内电荷的力矩[6].类比于电磁动量流密度张量Tij和动量密度gj,引入电磁角动量流密度张量Rij和角动量密度lj,则类比于式(18),电磁场角动量守恒定律积分形式可写为

(27)

其中εjklrkfl为电磁场对单位体积电荷的力矩.上式对应的微分形式为

(28)

为导出Rij和lj的表达式,就需将εjklrkfl写成上式右侧的形式.

利用式(19),可得

(29)

上式中,第3个等号利用了∂rk/∂xi=∂(xk-x0k)/∂xi=∂xk/∂xi=δki的结论,其中x0k为参考点O的坐标;最后一个等号利用了动量流密度张量为对称张量的结论,由εjilTil=εjilTli=-εjliTli=-εjilTil,可知εjilTil=0.式(29)即为电磁场角动量守恒定律的完整表达,与式(28)对比,可得电磁场角动量流密度张量

Rij=εjklTilrk=-εjlkTilrk

(30)

以及电磁场角动量密度

lj=εjklrkgl

(31)