量子非定域性与贝尔不等式

周 江

(贵州大学 物理学院,贵州 贵阳 550025)

2022年诺贝尔物理学奖授予法国物理学家阿斯派特、美国物理学家克劳瑟和奥地利物理学家泽林格,以表彰他们“用纠缠光子进行实验,建立量子纠缠态对贝尔不等式的违背,并开创了量子信息学”. 三位开创者的研究澄清了量子力学中的一些基本问题,否定了局域隐变量的存在并支持了量子非定域性. 为量子信息技术的发展扫清了障碍,使量子密钥分发、量子隐形传态、量子信息存储、量子保密通讯、量子计算等新技术得到了长足的发展.

从诞生到现在,量子力学取得了辉煌的成就.第一次量子时代催生了半导体、激光、原子能等重大的科技发明和发现,并广泛运用于电子、医疗、艺术政务和国防等. 量子理论现已渗透到物理学的各个方向,在化学、生命、材料、信息等交叉领域展现了越来越强大的生命力. 现在,人类进入了从被动认识到主动操控微观世界的第二次量子时代.

按照量子测量理论,处于纠缠态的粒子状态完全不确定,只能预测每个状态出现的概率,粒子的具体状态只能通过测量确定. 在测量工具介入的一瞬间,其中一个粒子的状态完全确定. 因为处于纠缠整体,另一个粒子的状态也立即完全确定. 1935年,爱因斯坦与其助手共同发表了一篇重要短文(称为EPR佯谬[1,2]),试图通过思想实验以EPR纠缠态的纠缠测量来质疑量子测量理论的完备性. 同一年薛定谔提出了著名的薛定谔猫. EPR态和薛定谔猫态同属纠缠态,二者试图通过有悖逻辑甚至荒诞的结果来质疑量子力学哥本哈根诠释的完备性. EPR佯谬的核心包含2点:1) 处于类空间隔的两事件不存在因果联系,互相不受影响;2) 在一个完备的理论中,如果没有扰动,任何一个物理量应有其客观实在要素. 按照EPR的观点,如果纠缠的A和B两粒子相距很远,则A和B的测量互不影响. 因此,他们认为纠缠测量中量子力学那种超越因果率的瞬时作用是不合理的,纠缠测量的不确定性是波函数描述不完备的体现.爱因斯坦进一步认为,在分离的瞬间A和B的状态就已完全确定,测量发现的是已经确定的结果,纠缠测量之所以体现统计性是由于存在未知的隐变量. 当隐变量确定,单次测量体现的随机性应得以消除.

根据隐变量假说,玻姆在因果决定论的基础上于1952年构建了第一个替代量子力学的具体理论——局域隐变量理论[3]. 量子力学和隐变量理论到底谁才能正确描述微观规律? 针对这个问题,1964年,贝尔基于定域实在论导出了贝尔不等式[4],该不等式指出大量测量结果的相关性存在一个上限,但是量子力学的某些预测会违背这个上限. 贝尔不等式的提出将隐变量理论和量子力学之间的哲学争辩变成了可以检验的科学问题. 如果贝尔不等式被证伪,则间接证实了量子非定域性.

1969年,克劳瑟及其合作者率先开展了贝尔不等式的验证[5]. 1972年,克劳瑟和弗里德曼利用原子级联放射产生纠缠光子做了第一代检测实验,实验结果违反了贝尔不等式[6]. 但他们的实验存在一些漏洞,不能严格保证纠缠光子对处于类空间隔(局域性漏洞). 1982年前后,阿斯派特改进了克劳瑟的实验,以更精巧的实验装置补上了局域性漏洞,结果以十几个标准偏差的置信度明显地违反贝尔不等式,肯定了量子力学的预言[7-10]. 1999年,泽林格研究组实现了长距离多光子纠缠, 彻底堵上局域性漏洞,以无可置疑的实验结果支持了量子力学的预言[11], 这意味着量子力学不能被隐变量理论所取代.

此前,关于量子纠缠和贝尔不等式已有很多介绍[13]. 但是,量子非定域性有哪些体现?是否存在其他形式的贝尔不等式? 这些问题涉及量子非定域性的本质.

1 量子非定域性

1.1 单粒子非定域性

如果某个物理作用无法由有限时空区域的规则给出,则这个现象是非局域的.在量子力学中,一个粒子的状态用波函数描述,如某个时刻粒子在空间中的位置波函数为|x〉=∑ici|xi〉,其中ci为概率幅. 粒子的位置是处于任何地方的叠加,对粒子进行测量时,粒子在整个空间的波函数分布立即坍塌为一个确定的状态,这种超越因果律的突变是瞬时完成的,波函数坍塌具有非定域性,这种非定域性本质上来源于波函数的概率诠释.由于叠加原理,多粒子系统的波函数坍塌也是非定域的.测量坍塌体现了量子理论的非定域性质.

1.2 纠缠关联非定域性

纠缠态是多粒子系统具有相关性一种特殊叠加态,总自旋为0的A和B两粒子处于自旋纠缠态

(1)

对它们的测量存在某种超越空间的非定域关联.若测得A自旋朝上(下),立即得到B的自旋朝下(上). 关联测量体现的非定域性称为“Bell非定域性”或“关联非定域性”[12]. 相比于单粒子体现的非定域性,纠缠态这种关联非定域性更深刻,应用也更广泛. 怎样刻画纠缠态描述的子系统间的关联非定域性呢?按照一般的定义,多体纠缠态不能通过有限次局域幺正变换成直积态. 直积态是可分离态,子系统间没有纠缠,关联测量的相关性为零,纠缠关联非定域性可由纠缠度来刻画.

(2)

(3)

量子态的可分离性和类空关联测量的空间定域性是等价的. 为了看到关联非定域性的本质,引入关联函数:

(4)

(5)

对如式(3)所示的可分离态,关联函数为0,即不存在任何相关性. 对于纠缠态,对A和B的测量不相互独立,导致相关函数非零,所以关联非定域性的本质是量子纠缠.

1.3 拓扑非定域性

很多物理效应,如AB效应,Berry相位,磁单极及拓扑不变量等,并不能由量子态的局域性质决定,它们反映量子态在所定义空间中的整体拓扑结构.由于需要整体定义,这些效应是非局域的,这类非局域性叫做拓扑非定域性.纠缠非定域性是量子态的某种内禀结构,而拓扑非定域性起源于量子态的某种几何结构,局域的微扰变形不能改变这种几何结构.破坏拓扑非定域性需要改变量子态的整体拓扑性质.

2 贝尔不等式及其破坏

本节首先回顾关联函数的贝尔不等式,然后根据定域实在假设导出条件概率满足的贝尔不等式,并检验条件概率贝尔不等式违反与否.

2.1 贝尔不等式与CHSH不等式

(6)

类似地,求得a、c,以及b、c两个方向的关联函数. 三个方向的关联函数都依赖于隐变量,有

|p(a,b)-p(a,c)|=

(7)

上式中第3行用了等式B(b,λ)B(b,λ)=1,由于A(b,λ)B(b,λ)=-1,得

|p(a,b)-p(a,c)|≤

A(b,λ)B(c,λ)|≤

(8)

考虑到A(b,λ)B(c,λ)<1,去掉绝对值号,得到关联函数的贝尔不等式[12]

|p(a,b)-p(a,c)|≤1+p(b,c)

(9)

这就是自旋关联在经典框架下受到的限制,适用于自旋单态. 按照量子理论,A沿a方向测量和B沿b方向测量的关联为

(10)

这里〈ab表示2个方向的夹角. 选取a、b、c三个方向的夹角依次为π/3,带入式(9)得1<1/2,这个结果说明量子力学的预言违背了贝尔不等式.

克劳瑟进一步考虑了仪器失效和纠缠纯度等限制[5],有-1≤A(a,λ)B(b,λ)≤1. 对A做a、a′方向测量,对B做b、b′方向测量,有

(11)

其中用了绝对值不等式关系FG≤|F|·|G|,以及|F-G|≤|F|+|G|,将上式用关联函数表达,最后得

|p(a,b)-p(a,b′)|≤2±[p(a′,b′)+p(a′,b)]

(12)

取a′=b′=c,则p(a′,b′)=-1,p(c,b)≤1,上式退化为式(9)所示的Bell不等式. 对一般情况,注意到-2≤p(a′,b′)+p(a′,b)≤2,所以

|p(a,b)-p(a,b′)|+|p(a′,b′)+p(a′,b)|≤2

(13)

恒成立. 利用绝对值不等式去掉绝对值符号:

p(a,b)-p(a,b′)+p(a′,b′)+p(a′,b)≤2

(14)

2.2 条件概率贝尔不等式

在定域假设下测量关联的无关性可以用条件概率来描述,由此猜想条件概率应该满足某种贝尔不等式. 如式(1)所示的自旋纠缠态,沿任何方向测量粒子的自旋都有±1两种取值,粒子具体指向哪一个方向依赖于隐变量λ. 设纠缠态定义在c方向

|↓,c〉A|↑,c〉B)

(15)

考察沿a方向测A自旋的条件概率. 因为A粒子和B粒子处于纠缠态,测到A(a)和B(c)同向的概率由条件概率p(a,c,λ)给出,这里p(c,c,λ)=0.测到A(a)和B(c)反向的概率为1-p(a,c,λ). 对隐变量做权重平均,得到A(a)和B(c)同向和反向的概率分别为p(a,c),1-p(a,c). 因为A和B处于类空间隔,测量互不影响. 类似地,考察沿b方向测B的自旋的概率,得到A(c)和B(b)同向和反向的概率分别为p(c,b),1-p(c,b).对于这两组关联测量,A(a)和B(b)同向的概率有2种情况:

1)A(a)和B(c)反向,B(b)和A(c)同向;

2)A(a)和B(c)同向,B(b)和A(c)反向.

按照相互独立事件同时发生的概率乘积公式,A(a)和B(b)同向的概率为

p(a,b)=[1-p(a,c)]p(b,c)+p(a,c)[1-p(c,b)]=p(b,c)+p(a,c)-2p(a,c)p(b,c),

(16)

由于条件概率p是非负数,且满足0≤p≤1,p2(b,c)≤p(b,c),下列式子成立

(17)

得到不等式

[p(a,c)-p(b,c)]2≤p(a,b)≤p(b,c)+p(a,c)

(18)

这即是在定域实在假设下测量A和B的自旋同向的条件概率满足的限制,称之为条件概率贝尔不等式. 设c和b方向的夹角为θ,测量A(a)和B(c)同向的概率等于A(a)和A(c)反向的概率,得到 (c在δ方向)

(19)

无论在经典情形还是量子情形,式(18)中第1个不等号都满足. 选取a、c、b三个方向依次成θ角,第2个不等号两边的概率随夹角的变化如图1所示,可以看出:在某些区间,量子力学的预言违背了条件概率贝尔不等式的第2个不等号.

图1 条件概率不等式随θ变化的相对大小

3 结果与讨论

本文介绍了量子力学中的各种非定域性,推导了条件概率满足的贝尔不等式并验证了量子力学对条件概率贝尔不等式的违背. 从关联函数贝尔不等式及条件概率贝尔不等式的导出过程可以得出:量子力学违反贝尔不等式的根本原因有2点:1) 不能将A和B的测量看成相互独立的测量, A和B的这种相关性体现了超越空间的非定域关联;2) 不能将单次测量的随机性理解为经典概率的随机性,这意味着不存在隐变量.

贝尔不等式基础检验的意义是深远的. 从目前的发展来看,证伪贝尔不等式的实验推动了量子信息的快速发展,带来了计算、安全、通讯、测量等应用技术的革新. 其意义不亚于迈克耳孙-莫雷实验证伪以太物质的存在. 人们在理论上逐渐认识到了量子纠缠和量子信息,量子物质以及量子引力之间的深刻关联[14]. 从长远来看,量子纠缠的研究将有可能改变人们对量子物质及时空本质的认识,带来基础科学的突破性进展.