坐标算符在动量表象中表示式的一种引入方法

丰秀蓉,王 锋

(北京理工大学 物理学院,北京 100081)

表象理论是量子力学教材中的基础概念之一[1-4],选取不同表象来研究物理问题时,最终的结论不会因为选取表象的不同而发生改变,只是力学量在不同表象下的表达形式是不同的,因此表象选得恰当往往可以使得问题变得简化[5,6].量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象等[7].大多数情况下,人们都习惯使用坐标表象,但是在处理一些问题,如固态物理中电子的有效势,一般采用依赖于动量的势V(p),它不是坐标空间中的局域势,用坐标表象来处理比较麻烦,因此适合选取动量表象来处理[2].

在量子力学教学中,经常会用到坐标算符在动量表象中的表示,但在一些教材中只是给出最终的结果,很少提及详细的推导过程[8,9],这将使学生在学习量子力学过程中产生相应的疑惑.还有的是通过自由粒子是动量的本征态,而动量的本征态在坐标表象下是平面波的基本假设和狄拉克δ函数[10]来推导坐标算符在动量表象中表示[5,11,12],比较抽象和复杂,在教学过程中不利于学生的深入理解.因此,探索新的引入方法在加深学生对量子力学的理解等方面具有一定的实际意义.本文另辟新径,以数学中的泰勒展开为基础,引入泰勒平移的概念,再结合学生熟知的对易关系推导出坐标算符在动量表象下的表达形式,新的推导方式让学生对这部分内容有了更好的理解,也培养了学生的创造性思维,同时使教学过程更具有启发性.

1 泰勒平移的提出

若函数f(x)在x=x0处n阶可导,则能被如下无穷级泰勒展开表示

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+

(1)

其中n→∞,式(1)可写成如下一般形式

(2)

指数函数ex在x=0的泰勒展开式可写成[13]

(3)

式(2)可以通过式(3)表达为

(4)

其中令x-x0=ε(其中ε为小于收敛半径的平移量), 式(4)可以表达为

(5)

(6)

2 坐标算符在动量表象中的表示

(7)

式(7)两边乘以一个无穷小参量ε,可表示为

(8)

(9)

(10)

(11)

其中O(ε2)为二阶小量舍去,因此式(10)可写成

(12)

(13)

(14)

(15)

因此式(14)可写成

(16)

再根据泰勒平移概念式(6),也可以得到

(17)

从式(16)和(17)可得

(18)

变形得

(19)

由此可以得出坐标算符在动量表象中的表示为

(20)

最后推广到

(21)

至此,就推出了坐标算符在动量表象中的表达式.

本文通过泰勒平移的概念并结合量子力学的知识详细推导出坐标算符在动量表象中的表达式,促进学生对这部分内容的掌握,也弥补了传统推导方法的不足,同时培养了学生的创造性思维,使教学过程更具有启发性.