基于坐标变换的引力透镜模拟

陈品健,刘海程,李向华

(云南大学 物理与天文学院 天文系,云南 昆明 650500)

引力透镜效应是可由广义相对论所导出的一个重要现象.通常情况下,引力透镜系统主要由观测者、源天体(背景光源)和透镜天体(前景天体)三部分组成,透镜天体会偏转源天体发出的光并形成扭曲的图像,同时改变观测者接受到的来自源天体的流量大小.根据源天体所成像的扭曲程度,以及透镜天体的质量、种类等因素,引力透镜效应可被分为强引力透镜、弱引力透镜、微引力透镜3类.强引力透镜效应中的透镜天体往往是星系或者星系团,引起的光线偏折足以产生多个明亮的图像、弧线结构甚至是爱因斯坦环,并且大多产生在较大的宇宙学尺度上,不过发生的概率较小.微引力透镜效应中,透镜天体常常是恒星质量级的天体,且源天体的质量较小,相应的光线偏折角也较小,观测不到像的明显形变扭曲,但是观测到源天体的亮度会在短时间内出现较为明显的增大.弱引力透镜效应主要指由于宇宙物质密度场的扰动所引起的光线偏折现象,其中源天体成像的扭曲程度相比强引力透镜也要小得多,大多只能通过统计方法来进行研究,但由于宇宙中存在着丰富多样的物质结构,弱引力透镜效应发生的概率非常高.

目前,引力透镜已经成为天文学观测中的重要工具之一.20世纪80年代以来,得益于许多大型巡天项目的开展,天文学家发现了许多不同种类引力透镜的实例,它们可以帮助人们研究一些距离十分遥远、无法直接观测的天体(例如黑洞、类星体等),并可以用来测量宇宙学参数[1](哈勃常数).天文学家也可以通过引力透镜效应确定星系内物质的分布,这为寻找暗物质存在的直接证据和分析暗物质的空间分布做出了重要的贡献.本文主要研究了透镜天体为点质量透镜和奇异等温椭球(Singular isothermal ellipsoid, SIE)透镜2种情况下的引力透镜效应,结合透镜方程得到源平面上每一点的放大率,通过坐标变换的方式,生成最终的成像结果.此外,通过不同源天体表面亮度分布、不同相对位置等条件的对比,更好的展示引力透镜效应的物理机制,并反映透镜图像对于透镜模型的约束性.

1 引力透镜理论

1.1 光线偏折现象

透镜效应体现于光线传播路径的偏折.早在1704年,艾萨克·牛顿(Isaac Newton)在自己的《光学》一书中提出一个假设:引力或许能使光线发生弯曲.不过牛顿并未对此给出相应的计算表述.1783年,自然哲学家约翰·米切尔(John Mitchell)基于光是粒子的假设,首次提出了一种估计恒星质量的方法——测量“光粒子”从恒星的引力场到达地球过程中由引力导致的光速减小量,他同时提出:一个质量足够大的天体可以完全束缚住自身辐射的光线从而变得不可见,这已经有些接近黑洞的概念.1801年,约翰·乔治·冯·索德纳(Johann Georg von Soldner)正式发表了其关于光线经过大质量天体表面发生偏折的计算结果,相应的偏折角为

(1)

其中M为天体的质量,G为万有引力常数,R为天体的半径,c为真空中的光速,通过这个公式计算得到了光线经过太阳表面时产生的偏折角约为0.84″.事实上,这个偏折角也恰好是正确结果的一半.1919年5月29日,艾丁顿(Eddingdon)等人拍摄的日食照片首次证实了光线经过大质量天体表面的偏折现象,后根据爱因斯坦的广义相对论计算,实际的偏折角大小应为1.7″左右.

为了得到光线偏折角的正确数值,需要使用广义相对论.在广义相对论体系中,当光线随着时空曲率传播,它将会偏向造成时空扭曲的物体的方向,并且光线的传播方向始终沿着零测地线.我们作一弱场近似:假设透镜天体附近区域的引力势Φ的数值远比c2小,即Φ<

弱场近似下的广义相对论线元可以表示为

(2)

(3)

相应的折射率n被定义为[2]

(4)

式中Φ<0,相应的折射率n>1.这表明光在引力场中的传播速度与引力场的强弱有关,并且小于真空中光速.此外,与光在不均匀介质中传播类似,当光在不均匀的引力场中传播时也会发生偏折.相应的偏折角可以用路径积分表示为

(5)

1.2 透镜效应

实际中,光线偏折现象表述为:光线在传播过程中会偏向造成时空扭曲的物体(透镜天体)的方向,而引力透镜效应所描述的正是由该现象导致的一系列观测效应:

1) 源天体发出的光线沿着透镜天体周围多条路径传播成为可能,而观测者将有可能看到不同光线所形成的虚像,进而看到一个源天体的多个图像.

2) 由于不同光线的传播路径不同,相应的光线偏折角也会不同,可以预见引力透镜效应将会对源天体的像造成一定程度的扭曲,即通过相同的机制,它们可能会看起来比真实情况更大或更小,并且存在形变.

3) 由于光线偏折现象本身并不会产生或毁灭光子,而源天体所发出的总光子是守恒的,因此存在光线会聚效应的同时也意味着有部分方向的光线是相对发散的.所以在光线会聚的方向观测者将会观察到源天体变亮的像,在光线相对发散的方向观测者将观察到源天体的变暗的像.

4) 当光源与观测者之间存在多条可能的光路时,这些光路又将以不同的传播长度为表征,造成不同光线传播至观测者的时间也不同.其中一个图像将首先出现,其他图像将延迟出现,即存在时间延迟,这种效应在源天体是单个天体(例如类星体、超新星)时尤为明显.

以上仅是对于透镜效应定性的分析,真实情况会随着源天体、透镜天体的种类以及相对位置的变化而变,这一点在模拟结果中也显示得非常清楚.

1.3 透镜方程

图1清楚的展示了引力透镜效应的基本物理图像,源天体发出的光经过前景透镜天体附近时受其周围较强引力场的影响发生弯曲,这些光线的反向延长线将会在一个实际中不存在的“像平面”上呈现源天体的一个或多个虚像,并且我们认为像平面与源平面是近似重合的.

图1 引力透镜系统示意图

需要指出的是,在我们的模型建立及公式推导中,始终遵循着薄镜近似的假设:将透镜天体的质量分布看作是一个平面质量分布,即将其沿视线方向的三维密度分布压缩到与视线垂直的平面(透镜平面)上用二维投影密度代替.类似地,将源天体也视作分布在一个源平面上.事实上,在实际发生的并且能被明显观测到的引力透镜效应中,尤其是强引力透镜效应中,源与透镜天体都是高红移天体[3],源到透镜天体的距离以及透镜天体到观测者的距离都是远大于源或透镜天体本身的线度的,这也是由引力透镜的物理机制决定的.此外,我们认为光线的偏折仅发生在光线到达透镜平面的时刻,并且忽略了光线在传播路径中由于其他因素扰动而产生的偏折,将其视作沿直线传播.

由图1中所展示的几何关系可以得到如下等式

(6)

进一步我们定义约化偏折角α为

(7)

将式(7)代入(6)得到透镜方程最终的表达式

β=θ-α

(8)

透镜方程是我们模拟中最重要的方程,本质上代表了一组坐标变换.其中α也可写作α(θ),表示约化偏折角α实际为θ的函数,所以透镜天体不同的质量分布将会引起引力透镜效应截然不同的观测图像.

2 透镜模型

2.1 点质量透镜模型

如果透镜天体是一个质量为M的点质量源,则其在空间中产生的引力势可以表示为

(9)

图2 透镜平面坐标系示意图(P为光线偏折点,φ为透镜平面上光线偏折点相对于x轴的夹角,b为碰撞参数,θ为光线偏折点与观测者连线相对光轴的夹角)

现有

(10)

其中∂xΦ代表引力势关于x的偏导数,将式(10)代入(5)得到偏折角的表达式

(11)

(12)

利用几何关系b=Ddθ,对应的约化偏折角表示为

传统的市场营销都是以企业的自身利益为发展前提，企业不断扩大生产规模进行再生产，这种模式下的生产一般都是不顾及消费者的需求。传统营销模式的一大特点就是生产什么产品就销售什么产品，消费者只能购买企业所生产的产品。这种模式下，企业处于产业链的顶端，是很典型的“卖方市场”，这种传统的营销模式源于较低的生活水平和落后的社会生产力，同时，人民群众的消费能力在当时也是有限的。

(13)

定义爱因斯坦半径(Einstein radius)θE为

(14)

将式(14)代入(13)得到的约化偏折角代入透镜方程(8),我们得到点质量透镜模型下的透镜方程:

(15)

这是一个一元二次方程,相应的2个解为

(16)

2.2 奇异等温椭球透镜模型

点质量透镜模型中的透镜天体是一个点源,而奇异等温椭球模型中的透镜天体则是一个面源,更接近于真实情况同时相应的模型也更为复杂.

奇异等温球(Singular Isothermal Sphere, SIS)模型是最广泛使用的一类轴对称模型之一,也是天文系统中最简单的一类空间物质分布模型[4].SIS模型的三维密度分布可以表示为

(17)

式中σv是速度弥散(Velocity dispersion),r为空间中任一点到系统中心的距离,该密度分布在中心处(r=0)是发散的.将该三维密度分布沿着视线方向投影,得到相应的具有圆对称性质面密度分布:

(18)

其中ξ是透镜平面(也即投影平面)上任一点到光轴与透镜平面交点的距离.式(18)常常被用来简化描述星系的质量分布,尤其是具有平坦旋转曲线的旋涡星系.

在奇异等温球(SIS)模型的基础上,我们来考虑奇异等温椭球(SIE)模型.相比于SIS模型,SIE模型更接近于星系的真实情况,因为星系的质量分布大多不具有圆对称的特征.引入坐标变换:

(19)

(20)

其中f的取值范围为0≤f≤1.

对于SIE模型下光线偏折角的计算,其过程较为复杂,我们在此处仅介绍整体思路.回顾公式(11)可以发现:点质量透镜模型下光线偏折角与透镜天体的质量成简单的线性关系.这意味着对于质量分布较为复杂的透镜天体,我们可以将其视作大量的点质量天体的组合,对每一个点质量天体所造成的偏折角矢量进行求和,得到整个透镜天体造成的光线偏折角矢量.积分形式具体表示为

(21)

式(21)代表一个面积分,ξ是透镜平面上任一点相对光轴与透镜平面交点的位矢,ξ′是微小面元相对光轴与透镜平面交点的位矢.这里略去了具体的求解步骤,我们给出Kormann等人于1994年[5]求得的解析解,光线偏折角矢量的分量如下:

(22)

(23)

3 点质量透镜模拟结果可视化

3.1 单一点源

我们考虑在点质量透镜的情况下,源天体是一具有恒定表面亮度的天体,且该天体的表面亮度分布在其轮廓处截止,即模拟源天体为单个天体的情况,称之为单一点源.我们将透镜天体固定于中心原点处,并把源天体的生成函数更改为:在到给定坐标(天体中心坐标)一半径R范围内的网格点赋值为一非零常数,落在范围外的网格点赋值为零.最终得到图3所示的结果.可以看出,图3很好的符合式(16)所给出的结果,当观测者、透镜天体、源天体三点一线时可以呈现出一个较为完美的爱因斯坦环,当三者存在偏离时,爱因斯坦环将逐渐瓦解,存在两个主要成像区域.需要指出的是,我们的模拟结果重在反映引力透镜效应的物理图像,因此除了个别指出的情况,所给出的图像中并没有横纵坐标数值以及模拟过程中所采用的具体参数.这些数值不会影响到最终的成像结果和性质.

图3 点质量透镜情形下单一点源在不同位置处的引力透镜成像图(第1行显示源天体在源平面上的位置,第2行代表相应的像平面上所呈现的像的形状)

此外,我们得到了点质量透镜模型下像平面上每一成像点对应的光线偏折情况,如图4所示,用矢量场的形式来表示.从结果看,光线经过透镜平面时的碰撞参数越大,光线的偏折角就越大,这与式(12)所反映的性质一致.考虑到实际数值模拟的过程中网格点不是无限密的,光线偏折角没有出现无穷大的情况.

图4 偏折角矢量场示意图[左图反映像平面上中心区域每一成像点的光线偏折情况,箭头的长度表征偏折角的大小,箭头的方向指向对应源平面上源天体发出光线的位置; 右图反映了沿x轴方向(对应左图θ1方向)上各个成像点对应的偏折角的大小]

最后我们给出该模型下的比较示意图,如图5所示将源天体在不同位置的示意图及对应成像结果的示意图分别放在一张图内,更好地反映位置关系对于成像的影响.

图5 点质量透镜情形下单一点源在不同位置处的引力透镜成像比较图(左图代表源天体在源平面上的位置,右图代表像平面上的成像结果,某一颜色的图像表征该透镜图像是由相应颜色的源天体所产生的)

3.2 塞西克轮廓

塞西克轮廓(Sersic profile)是一种常用的描述星系表面亮度的数学函数[6],也是对于德沃古勒定律(de Vaucouleurs′ law)推广.其给出的表面亮度分布为

(24)

其中R是到星系中心的距离,Re是以星系中心为圆心、包含总光度一半的圆所对应的半径,Ie为Re处的表面亮度,参数n为塞西克指数,决定了表面亮度轮廓随半径变化的陡峭程度,取值范围一般在2～6,bn也是由n决定的参数.

利用塞西克轮廓所描述的表面亮度分布,我们更改了源天体的生成函数,使其满足式(24),进而模拟源天体为星系时引力透镜的成像结果.相较于单一点源,塞西克轮廓也更贴近于实际观测中常见的情况.图6给出我们模拟的图像.从结果看,当源天体为符合塞西克轮廓的光源时,爱因斯坦环及亮弧的轮廓变得模糊,不过当源天体、透镜天体、观测者三者不满足处在一条直线上时,亮弧中还是能够明显看到两处较亮区域的存在,对于2个主要成像点.该情形下的成像结果也提示我们,当源天体中存在子结构时,对应的成像结果也会存在附加的子结构,这说明成像结果反映了源天体的部分性质,对于透镜成像结果的分析有助于更好的约束源天体的模型假设.

图6 点质量透镜情形下表面亮度符合塞西克轮廓的源天体在不同位置处的引力透镜成像图(第1行显示源天体在源平面上的位置,第2行代表相应的像平面上所呈现的图像.该模拟中采用的塞西克指数n=2,点质量透镜仍处于中心处)

3.3 高斯分布

我们给定源天体的表面亮度分布服从高斯分布,标准的高斯分布概率密度[7]表述为

(25)

其中μx和μy分别为随机变量X和Y的数学期望,σx和σy分别为随机变量X和Y的标准差,参数r为它们的相关系数.仿照式(25)我们给定一简单的表面亮度分布如下:

(26)

其中I0为源天体中心处的表面亮度大小,r为平面上一点到中心位置的距离,R为一给定的半径参数.我们更改源天体的生成函数使其符合式(26),并得到图7所示结果.

图7 点质量透镜情形下表面亮度符合高斯分布的源天体在不同位置处的引力透镜成像图(第1行显示源天体在源平面上的位置,第2行代表相应的像平面上所呈现的图像,点质量透镜位仍于中心处)

由图7可以发现,源天体相对位置对于成像结果的影响与前两种模型类似,但爱因斯坦环及亮弧的轮廓的陡峭程度介于单一点源和塞西克轮廓之间.事实上,当我们取式(24)的塞西克指数n=1时,式(24)和(26)具有类似的形式,因此我们可以将式(26)所代表的高斯分布视为塞西克轮廓的一种特殊情况.再考虑n→+∞的情况,式(24)又将趋于单一点源模型所代表的源天体具有恒定表面亮度的情况.三者对比我们可以明显的发现式(24)中的指数项在如何影响透镜成像,或者说源天体表面亮度分布的陡峭程度如何体现于最终的成像结果上:源天体表面亮度分布越陡峭,成像结果中爱因斯坦环及亮弧的边缘就将越清晰.利用这一点我们也可以在已知透镜天体的情况下根据成像结果来定性的反推源天体的光度分布.

4 奇异等温椭球透镜模拟结果可视化

本节中给出奇异等温椭球(SIE)模型下的引力透镜模拟成像结果,同样讨论了源天体表面亮度分布为单一点源、塞西克轮廓、高斯分布的3种情况,其中的原理与第3节相同,本节不再赘述.相比于点质量透镜模型,SIE模型的成像机制与图像结果要复杂得多,本节我们更重于反映模拟结果的基本图像,未详细阐述成像原理的细节部分.

4.1 单一点源

在更改了透镜天体的质量分布情况后,我们得到了源天体为单一点源情况下奇异等温椭球模型对应的引力透镜图像,如图8所示,与点质量透镜模型不同,SIE模型下的成像结果不再具有式(16)所揭示的存在2个主要成像区域的特点,而会出现有4个亮弧的情况.

图8 SIE模型下单一点源在不同位置处的引力透镜成像图(第1行显示源天体在源平面上的位置,虚线表征椭圆长短轴的分布及比例,第2行代表相应的像平面上所呈现的像的形状.模拟过程中相应的短轴与长轴比f=0.6)

并且我们给出该模型下源天体不同位置成像的比较示意图,类似图5将源天体在不同位置的示意图及对应成像结果的示意图分别放在一张图内,如图9所示.

图9 SIE模型下单一点源在不同位置处的引力透镜成像比较图(左图代表源天体在源平面上的位置,右图代表像平面上的成像结果,某一颜色的图像表征该透镜图像是由相应颜色的源天体所产生的,虚线表征椭圆长短轴的分布及比例,模拟过程中相应的短轴与长轴比f=0.85)

相比于点质量透镜模型,奇异等温椭球模型的质量分布更为复杂,我们引入椭率ε为

ε=1-f

(27)

改变源天体在源平面上位置的同时,我们改变透镜天体质量分布的椭率,得到如图10所示的结果.

图10 SIE模型不同椭率下单一点源在不同位置处的引力透镜成像比较图(第1列及第3列对应源天体在源平面上的位置,左上角注明SIE模型相应的椭率,第2列及第4列为像平面上对应的成像图,每一幅子图中特定颜色的图像表征该透镜图像是由相应颜色的源天体所产生的,虚线表征椭圆长短轴的分布及比例)

从图10中可以看出,SIE模型下的物像关系明显更加复杂,物像关系同时受透镜天体质量分布和相对位置的制约.此外,注意到当椭率不断减小时,成像结果逐渐趋近于图9,而当ε=0.10时成像结果已经与点质量透镜模型的成像结果(图5)相接近,这也是容易理解的,当ε→0时椭圆趋近于一个圆形.此外,我们注意到SIE模型下单一点源的引力透镜成像图已经比较接近于真实拍摄的图像,如图11所示.

图11 爱因斯坦十字架(Einstein Cross)(哈勃太空望远镜(Hubble Space Telescope)所拍摄的一个距离我们约8亿光年的类星体发出的光所形成的强引力透镜图像,透镜天体是距我们约4亿光年的一个星系.摘自网页http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1990/20/image/a)

4.2 塞西克轮廓

我们给出奇异等温椭球模型下表面亮度分布符合塞西克轮廓的源天体的引力透镜成像示意图,如图12所示.成像结果与图8基本一致,值得注意的是,在特定的椭率下即便是源天体、透镜天体、观测者三者处于同一直线时也不形成标准的爱因斯坦环.

图12 SIE模型下表面亮度符合塞西克轮廓的源天体在不同位置处的的引力透镜成像图(第1行显示源天体在源平面上的位置,虚线表征椭圆长短轴的分布及比例,第2行代表相应的像平面上所呈现的像的形状.模拟中相应的短轴与长轴比f=0.6)

4.3 高斯分布

我们给出表面亮度分布满足式(26)的源天体的引力透镜成像示意图,如图13所示.

图13 SIE模型下表面亮度符合高斯分布的源天体在不同位置处的引力透镜成像图(第1行显示源天体在源平面上的位置,虚线表征椭圆长短轴的分布及比例,第2行代表相应的像平面上所呈现的像的形状.模拟中相应的短轴与长轴比f=0.6)

5 讨论与展望

5.1 内容总结

本文进行的是对两种透镜模型——点质量透镜模型和奇异等温椭球模型的引力透镜效应模拟,用Python语言实现了引力透镜图像的呈现.对于源天体的表面亮度分布分别采用了单一点源、塞西克轮廓和高斯分布3种情况,得到并分析了成像结果.在编写程序之前,我们阅读了一些文献,仔细了解了引力透镜的基本原理,并且独立完成了对于点质量透镜模型的光线偏折角推导.我们旨在通过生成的图像整体情况来反映引力透镜系统的性质,并同时借助比较成熟的透镜模型来检验我们的程序,尤其是源天体生成函数及透镜方程所涉及的坐标变换.事实上,这也是非常重要的一个部分,能够使我们对于不同透镜模型、源天体不同相对位置下的透镜成像原理有更深的了解,让我们在遇到实际的观测图像时,能够更好的推测和约束相应的透镜系统,明确相应的物理图像.

5.2 算法推广与展望

我们最终得到的成像结果已经达到了开始的预期,清楚的展示了引力透镜效应的物理图像.但在阅读了相关文献后,我们意识到引力透镜模拟方面仍有很大的挖掘空间.本文中对于实际程序模拟中的各个参数细节并没有详细介绍,因为我们主要从定性的角度来研究这个问题,但这也是模拟研究中可以深入的地方,尤其是涉及到一些可以进行定量计算的部分.关于进一步的模拟拓展,我们有如下几点想法:

1) 我们希望能够设计出更加有优势的图像生成函数.我们现在所采用的图像生成函数是先对源平面进行坐标变换,然后对新的变换后的坐标使用源天体生成函数(对应单一点源、塞克西轮廓和高斯分布),这样的方法适用于源天体表面亮度的解析形式已知的情形,但对于任一给定的没有解析表达式的表面亮度轮廓,我们还无法获得其引力透镜图像.

2) 我们希望能够模拟有多个源天体、多个透镜天体(例如星系团)的情形,能够达到对于任一给定的源天体图像,我们能读取其强度分布并通过生成函数得到透镜效应后图像的效果.我们希望能够采用我们的函数,在给定实际中源天体的性质后(例如超新星、类星体等),将我们所生成的图像与实际中观测中所显示的图像进行比对,更好的约束我们的模型.

3) 我们希望能够进行一些定量的计算.时间延迟效应效应在引力透镜事件中具有很高的研究价值,可以用于测量哈勃常数.我们希望能对我们的模型做定量的时间延迟的计算,给定相应的角直径距离,得到不同像之间的时间延迟.

4) 我们希望能将该程序设计为一个交互图形界面,能够起到简单的模拟引力透镜的效果,并通过一定坐标范围的调节实现源天体或透镜天体相对运动时引力透镜效应的动态变化示意图.

致谢：非常感谢云南大学中国西南天文研究所尔欣中教授对本文提出的宝贵意见.