固体潮相关的地球表面形变和涨落

于凤军,鞠 林,汤振杰, 田俊龙

(安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳 455000)

在月球和太阳的引力作用下,海水每天两次的周期性涨落现象称为潮汐或海潮.对此, 大学物理教材[1]或研究刊物上[2-4]多次从不同角度进行了讨论.海潮现象非常明显、易于发现.19世纪末,英国人达尔文(Darvin)经过分析观测资料发现,海潮的实际潮高比理论潮高约小三分之一[5].由于理论潮高的计算是基于把地球的固体部分看作刚体而进行的,为了解释上述不相符的问题,只能认为在月球和太阳的引力作用下,地球的固体部分不是刚体而可以发生形变,其表面也发生与海水表面类似的周期性涨落. 地球这种周期性的形变现象称为固体潮.由于人们生活在地球的固体表面上,随着其涨落而同步升降, 因此很难直接觉察它的存在,但能通过仪器观察到这种现象.固体潮与海潮的形成原因虽然相同,但其计算问题远比后者复杂,故在物理教学刊物上鮮有介绍.本文尝试用新的方法计算固体潮相关的地球表面形变和涨落幅度.下面首先介绍静态海潮和固体潮的计算概况,目的是想说明固体潮相对于海潮计算的复杂性，并为本文的方法结果与现有的方法结果进行对比提供支撑. 然后介绍本文的研究方法、计算过程与结果. 最后进行相关问题的讨论.

1 静态海潮和固体潮的计算概况

海潮和固体潮的起因是日、月引潮力.地球由于受日、月引力作用作加速运动,在地球质心参考系-这样一个非惯性系中,日、月引力和相关惯性力的合力分别称作日、月引潮力[1],它们分别有沿地-日连线、或地-月连线方向将地球拉长，沿连线垂直方向将地球压缩的趋势. 图1中阴影部分表示地球的固体部分,实线外圆表示地球不受引潮力时的海洋表面,z轴沿上述某一连线方向,虚线表示地球受引潮力时的海潮表面.

下面以地月系统为例说明海潮表面方程的推导过程.设月球质量为m1,地球质量为m2,半径为R,地月质心距为rm.以地球质心为原点建立坐标系Oxyz，其中z轴沿地月连线.引潮力是保守力,有相关的势能.根据文献[6]式(7),可得地球内部坐标(x,y,z)处质元dm2在月球引潮力场中的势能：

(1)

上式中仅含坐标的二次项,实际上引潮力势能还包含其三次、四次项等[5,7,8],在专业述语中,相关的力场分别叫二阶、三阶、四阶引潮力场,它们引起的潮汐分别称作二阶、三阶、四阶潮汐响应.由于R/rm≪1，故三阶、四阶潮汐响应很微弱,这里只考虑二阶潮汐响应.

计算静态海潮时,忽略地球自转.设地球固体部分(图1的阴影部分)为一刚性球，它的外表面被海水覆盖. 如图1所示，取海水中的质元dm2为研究对象，它不仅受引潮力,还受地球引力,并具有引力势能dVg=-Gm2dm2/r,其中r是质元dm2到原点的距离.使用球坐标(r,θ,φ),它与(x,y,z)的关系为x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ.由以上4个关系式和式(1),可得dm2具有的总势能：

dV=dVt+dVg=

(2)

上式中P2(x)=(3x2-1)/2是二阶勒让德多项式.这里重点考虑紧靠海水表面的质元dm2.当静态平衡时, 各个dm2具有的势能应该相等,否则海水会流动，故海洋表面是等势能面.假设无引潮力时海水表面(见图1中实线外圆)半径为R,则这时该表面上质元dm2具有的引力势能dVg0=-Gm2dm2/R.令式(2)右边等于常量dVg0,可以得到等势能面方程,即在球坐标系中的海洋表面方程：

(3)

(4)

(5)

显然,图1中虚线与x轴的交点是低潮点，与z轴的交点是高潮点，因此海潮最大涨落幅度为

(6)

将日、地、月相关数据:R=6 371 000 m, g=9.8 m s-2,m1=7.35×1022kg,m3=1.98×1030kg,rm=3.84×108m,rs=1.49×1011m,G=6.672×10-11N m2·kg-2代入式(6)，计算可得ΔH=78 cm，这就是海潮的最大涨落幅度.

可以看出,上述海潮的计算过程比较简单,原因有三点:一是采用了“刚性固体球+海洋”模型, 计算时仅需要知道固体球外部的引力场,且dm2具有的引力势能表达式简单:dVg=-Gm2dm2/r;二是海洋质量相对于固体质量很小,其分布变化对固体球外部引力场的影响可以忽略;三是海洋可流动,静态时遵守流体静力学规律[4],这使得其表面与等势面重合, 表面方程即为等势面方程.

然而,对于固体潮的计算,不具备上述便利条件.当整个固体地球被引潮力拉伸变形时,其内部、外部引力势都会变化,计算时要用到内部引力势，而它又与内部密度ρ(r)分布有关，且无解析表达式;地球形变还与其弹性模量有关,而弹性模量与深度有关,且无解析表达式;固体不可流动,外表面不是等势面,其变形时服从弹性静力学规律,故使用弹性静力学方法进行研究[5,7,8].概括地讲,该方法是在地球内部任一点取一质元,写出其受到的弹性力、地球引力、引潮力三者的平衡方程——一个关于形变位移矢量的微分方程,再根据边界条件,通过边值问题的求解，得到地球内部各点的位移分布、应力分布以及表面形状，运算过程的复杂性和难度是可想而知的. 1883年,开尔文最早使用简化地球模型——均匀、不可压缩、弹性球模型计算固体潮,给出了解析解[5,7,8].对于实际地球的固体潮，需要通过数值积分计算.1951年日本人竹内均(Takeuch)使用黑格茨(Herglotz)方程,最早对实际地球计算固体潮[7].1953年苏联人莫洛金斯基把平衡方程化为6个一阶微分方程组成的方程组,使数值计算更加简化[7],之后有其他学者对不同的地球模型进行固体潮计算[8]. 下面只介绍开尔文潮汐理论给出的二阶固体潮地球表面形状的结果.

(7)

显然, 固体潮表面方程(7)和海潮表面方程(4)在函数形式上是一样的,都表示关于z轴对称且被拉长的旋转椭球面(见图2),不同的是勒让德多项式前边的系数不同,因而固体的潮涨落幅度与海潮的不同.

图2 地球固体潮变形

从文献[5]、[7]、[8]介绍的固体潮计算过程可以发现,即使采用最简单的开尔文模型,通过求解微分方程获得表面方程(7)的运算步骤也是很繁琐的.本文采用同一模型,用一种全新的方法导出地球的固体潮表面方程.

2 研究方法

本文的研究方法是在文献[6]的基础上发展而得到的.该文献研究一个均匀不可压缩的流体星球在另一个天体的引潮力作用下的形状问题.引潮力使流体星球作拉伸形变,星球自身引力有抵抗被拉伸、恢复为球状的作用.当该星球由球体形变为长椭球体时,其引力自能Vg增加、引潮力势能Vt降低,当总势能最低时处于平衡状态,且不再形变.这是最小势能原理的体现.从此原理出发，文献[6]求得流体星球平衡时的椭球偏心率e——星球的表面形状参数. 本文研究的是弹性地球,它的内部比流体星球增加了弹性力,弹性力与自身引力一样有抵抗形变的作用.故在上述总势能中增加弹性势能,由最小势能原理可以求得在引潮力的作用下固体潮地球表面的形状参数.

3 计算过程与结果.

仍以地-月系统为例进行计算,设在月球引潮力的作用下，弹性地球所变成的长旋转椭球的偏心率为e,这里e≪1,是待定参数,见图2.对于弹性球的微形变,文献[9]中式(8)和式(32)分别给出了半径为R、切变模量为μ的均匀不可压缩弹性球变成一个偏心率为e的、长旋转椭球时的表面方程和弹性势能：

(8)

(9)

另外根据文献[6]中式(10)可知,地球在月球引潮力场中的势能与其引力自能之和为

(10)

将弹性势能式(9)加入到上式,得总势能：

(11)

由于e≪1,将上式右边前两项对e展开为幂级数,每一项仅保留e的最低次项：

(12)

根据上式,图3画出了V随e变化的曲线.

图3 系统势能随偏心率的变化

由图3可见,当e取某值时,势能V存在极小值,如图3中A点.极小值条件:dv/de=0.根据此方程和式(12)，容易求得偏心率平方的非零解：

(13)

上式与式(7)完全相同，这表明用最小势能原可以导出与开尔文求解微分方程方法一致的结果.

4 讨论

1) 上边的推导过程表明,对于开尔文地球模型,当地球的弹性势能、引力自能、引潮力势能确定之后,用最小势能原理计算地球固体潮形变的过程将变得非常简便.

2) 如果考虑月球和太阳同时对地球产生作用,可以从式(14)从发,重复上边从式(4)到式(5)的演算过程,将会得到当三个星球在同一直线上时固体潮相关的地球表面方程：

(15)

固体潮最大涨落幅度：

Δh=r(0)-r(π/2)=

(16)

上式中μ是把地球看作弹性性质均匀时的切变模量,它是一个未知量.文献[7]给出的Δh约为50 cm,取ρ=5 520 kg/m3,把除了μ以外的其他已知数据(见第1部分)代入上式,计算可得μ=1.05×1011Pa,这相当于某些特种钢的切变模量.

3)如果μ→∞,即地球是刚体,则由式(15)知,Δh=0,即它无涨落,这符合预期结果.

结语:地球固体潮是在月球和太阳的引力作用下,地球的固体部分发生形变,其表面发生与海水表面类似的周期性涨落现象.静态海潮遵守流体静力学规律,而固体潮遵守弹性静力学规律,因而固体潮的计算过程比海潮更加复杂.本文引入地球的引力自能、引潮力势能、弹性势能，运用最小势能原理，对开尔文固体潮模型求出地球表面的形状方程和固体潮涨落幅度，方便快捷地得到与开尔文潮汐理论一致的结果. 本文所用方法新颖简捷, 物理思路清晰, 对物理学或地球物理学专业的本科生进行相关内容的学习、探讨有一定的启发帮助作用.