C60点阵结构排列的三维点电荷系中心轴线上电场强度

金丽珍，吴显丽，王行乐，陈 昊，谢建平

(湖州师范学院 理学院 物理系，浙江 湖州 313000)

电场是电荷及变化磁场周围空间里存在的一种特殊形态的物质.电场强度是静电场中重要的概念之一，它从力的角度反映电场性质的物理量,且电场强度的大小只由电场本身的特性决定.一定电荷分布所产生的空间电势和空间电场的计算一直是电磁学中的一个重要问题.在各种不同的电荷分布结构中，具有高对称性的点电荷系或电荷均匀分布的连续带电体情况的研究比较多，例如均匀带电的任意三角形线框[1]、圆环形线框[2-8]、导体薄圆盘[9-12]、正多边形线框和正多边形盘[13-15]的电场荷分布等等，而对于三维点电荷系的静电场研究鲜见报道.

随着科学研究和工程技术的发展，静电场在越来越多的领域得到了应用，对不同电荷体系的静电场的电场强度计算及空间分布研究显得越加重要.一般来说，空间可能存在由许多点电荷组成的三维点电荷系.富勒烯分子C60发现以来[16]，它的奇特结构和性质实验和理论研究引起人们的广泛关注，研究表明C60分子可以获得或者失去电子，成为带电分子笼，使其在具有光诱导电荷转移特性的新型光电材料开发方面被广泛应用.

本文通过构造富勒烯C60点阵结构排列的三维空间的点电荷系，从电场强度叠加性原理出发[17]，计算了在两种情况下中心轴线上电场强度,进而讨论了中心轴线上位于球体内外和远区的电场强度分布情况.C60点阵结构排列三维点电荷系及某条中心轴线构造示意图如图1所示.

图1 C60结构型三维点电荷系及其中心轴线构造示意图(每个格点均代表一个带单位正电的点电荷，O点阵中心，O′为侧面多边形中心，P为中心轴线x轴上任意一点)

1 模型与原理

本文研究的60个点电荷严格以C60空间点阵结构排布.60个点电荷位于C60的60个格点上，以12个五边形和20个六边形连接而成空心笼状结构[16].假设结构中60个点电荷均带电q=+1.6×10-19C.

计算选取C60点阵结构中心为原点，中心轴线x轴选取分为两种情况：1)x轴从中心指向顶部的五边形中心，即取旋转对称轴为x轴；2)x轴从中心指向顶部的六边形中心，即取旋转对称轴为x轴(六边形的边长由单双键间隔排列，单双键长短不等，此六边形不是正六边形，没有6重旋转对称轴；但此六边形可以看做是两个正三角形的组成，有正三角形的旋转轴对称)[18].

基于上述中心轴的选取的方法，正对坐标轴的方向看，60个点电荷(格点)分布在不同的层面上，每层格点构成正三角形、正五边形及其它们的组合(见结果与分析部分).因此若要得到上述两种情况下中心轴线上任一点的电场强度，只要计算出每层正多边形顶点处点电荷在中心轴线上的场强，再利用叠加性原理即可得出轴线上任意一处的总场强.

2 结果与分析

2.1 选取x轴从中心指向五边形中心(轴)

从几何结构看，C60结构是一个截角的正二十面体[18]，以C60结构中心为坐标原点，选取x轴从中心指向顶部五边形中心时，根据C60的空间结构及各格点位置坐标[18,19]，60个格点上的点电荷分为8个层面，如图2所示，从右至左分别标记为1-4层、4′-1′层.而且每个方向上的8层均为正五边形或者是2个正五边形的组合.第1、2、2′、1′四层中5个格点均构成正五边形.第3、4、4′、3′四层中的10个格点为十边形，此十边形可以分解为2个更基本单元正五边形的叠加组合，组合方式如图3所示. 2个五边形中心重合，其中一个相对另一个旋转一定角度.此外，由于C60点阵结构中12个五边形两两相对，有6个等价的轴向方向(5°轴).

图2 x轴从中心指向五边形中心，60个格点被分割成8层示意图(x轴方向不成比例)

图3 第3、4、4′、3′层中10个格点构成的多边形由2个正五边形组合

根据正多形的对称性，正多边形顶点上的点电荷在中心轴线上的场强只有x方向的分量Ecosθ[17].通过各格点(点电荷)位置坐标[19]，建立几何关系，应用点电荷场强公式，每层中五边形格点处的电荷在x处轴向的电场强度可以表示为

(1)

其中，r为每层面内多边形所在圆的半径(每层多边形中心O′到多边形顶点的距离)，X为中心轴线上任意一点(P点)到每层多边形中心(O′)的距离，d是每层多边形中心(O′)距离原点(球心O)的距离，x为中心轴线上任意一点(P点)距离原点(球心O)的距离.图2所示的每层格点上的点电荷在中心轴线上产生电场强度计算公式由式(1)给出，参数之间的几何关系如图4所示.

第1-4层，x=X+d

第4′-1′层，x=X-d 图4 多边形顶点处(格点位置)点电荷在中心轴线上P点产生的场强几何关系图

第1～4层

第4′-1′层图5 各层多边形格点上的电荷在x轴上产生的电场强度函数曲线图

再次利用场强的叠加性原理，将各层面上电荷在轴向上产生的场强Ei相加得到总场强E1总=ΣEi.过五边形中心x轴向总电场强度函数变化关系如图6所示.由图可知，电场只有x轴方向分量，球心处场强为零，从球心处开始，沿着x轴正向(见图6，x>0区域)，电场强度从零开始先逐渐减小，达到一个最小值(负值)后又逐渐开始增大.最小值Emin=-1.04×10-7V/nm，距原点0.24 nm，位于球内.此后，场强又开始逐渐增大，当x=0.32 nm时，电场强度又一次等于零. 此后电场强度为正，继续随着x增大而增大，当距原点为0.44 nm时，电场强度值达到最大值，Emax=2.89×10-7V/nm.达到最大值后电场强度又开始逐渐衰减，至无穷远时电场强度趋向于零.远场区电场强度与带60个单位正电荷的点电荷在该区产生的电场强度计算结构结果一致. 根据点电荷空间分布的对称性，x<0区域电场强度与x>0区域关于原点对称，如图6所示. 5°轴上有3处场强为零，均位于球内.

图6 选取x轴从中心指向五边形中心时轴线上总场强与距离变化函数曲线图

2.2 选取x轴从中心指向六边形中心(3°轴)

当选取x轴从中心指向顶部六边形中心时，根据在C60的空间结构及各格点位置坐标[18-19]，可将60个格点(点电荷)分为12个层面，12个层面位置关于中心(球心)左右对称(类似图2，从右至左分别标记为第1—6，6′—1′层).12个层面上的格点共构成3种多边形结构，如图7所示.每1个层面上的格点构成1个正三角形或者2个正三角形的组合,如图8所示.例如左右两侧(最外侧)，即第1层和第1′层均为六边形，考虑单双键长短差别，此六边形并非为正六边形，但是可以看成是2个全等正三角形组合而成，如图8所示.此外，由于C60点阵结构中20个六边形两两相对，有10个等价的轴向方向(3°轴).

图7 选取x轴从中心指向六边形中心，C60型点阵中的60个格点被分割成12层(1-6层，6′-1′层)，共有3种多边形结构

图8 由2个正三角形组合成六边形的2种结构

第1—6层

(b) 第6′—1′层图9 选取x轴从球心指向六边形中心，各层多边形格点上的点电荷在x轴上产生的电场强度函数曲线图

中心轴线上总电场强度E2总与距离x的函数图形如图10所示.由图可知，电场也只有x轴方向分量，球心处场强为零.从球心开始沿着x轴正向(见图10，x>0区域)，轴线上任一点的电场强度从0开始增加，在距离原点0.44 nm处到一个最大值，Emax=3.38×10-7V/nm，此后电场强度又开始逐渐减小，到无穷远时，电场强度趋向零.3°轴时，沿着轴向方向，电场强度始终为正.远场区电场强度与带60个单位正电荷的点电荷在该区产生的电场强度计算结果一致. 根据电荷空间分布的对称性，x<0区域电场强度与x>0区域关于原点对称，如图10所示.

图10 选取x轴从中心指向六边形中心时轴线上总场强与距离变化函数曲线图

3 总结

本文根据C60的空间结构及格点位置坐标，构建了以C60点阵排布的空间三维点电荷系.通过建立各点电荷之间的几何关系，应用点电荷场强公式和场的叠加性原理给出两种情况下中心轴线上总电场强度，最后利用Origin软件作图得到中心轴线上电场强度随距离变化的函数关系.

研究结果表明，点电荷系采用C60富勒烯空间格点三维结构排布时，过球心中心轴线上一点的电场强度随中心轴线的选取方向而各异.本文计算了两种情况下中心轴线上的电场强度，即3°轴和5°轴情况，结果表明：

1) 由于格点位置的对称性，两种情况下，中心原点处场强均为0，中心轴线上的电场强度只有轴向分量，并关于中心原点对称.

2) 当选取5°轴为中心轴线时，轴线上的电场强度从中心原点的零值开始，先降低达到一个最小值(负值)后慢慢增加，最终到一个最大值(正值)后，又随着距离增加场强又开始逐渐减少，无穷远处趋向于零.当选取3°轴为中心轴线时，轴线上的电场强度始终大于零，从中心原点的零值开始慢慢增加，在达到一个最大值后逐渐减小，无穷远处趋向于零.

3) 两种情况下，中心轴线场强分布不同一定程度上反应了在这两个方向上点电荷空间分布的不同.但在这两个方向上电场强度最大值所处的位置距中心的长度相等.远场区的电场强度与带60个单位正电荷的点电荷计算结果一致.

最后根据估算：电子直径d～10-15m，而C60格点间距即平均键长[18],D=0.142 nm,D∶d≈105.电荷尺寸远小于电荷之间的间距，本文采用了“点电荷”模型，未考虑量子力学效应.本文的研究结果有助于大学物理教学中学生更好理解计算电场叠加性原理和提高学生解决实际问题的能力.同时也希望本文的计算模型和计算结果对建立采用C60点阵结构排布的三维点电荷系的空间全电场，或者研究外电场与带电C60分子相互作用有一定的参考意义.