竖直悬挂弦上横波的波速

柯红卫，高 磊，周嘉惠

（天津大学 理学院 物理系，天津 300072）

竖直悬挂弦上横波的波速

柯红卫，高 磊，周嘉惠

（天津大学 理学院 物理系，天津 300072）

解析地计算了竖直悬挂弦上横波的相速度，与直接应用张力均匀弦上的波速公式计算结果一致，从而证实了张力均匀弦上的波速公式对张力不均匀弦适用.

弦；横波；波速

弦上横波的波动方程是一个非常典型的偏微分方程，很多数学物理的教材都有该方程的推导.在教科书［1］的推导中，一般都不考虑重力的影响，即认为弦是无重力的理想模型.在大多数情况下，因弦的重力确实可以忽略，所以理论能解释实际现象.但是，在一些情况下弦的重力不可忽略，这时，需要重新考虑其波动方程和传播特性.一个简单的例子就是竖直悬挂弦上的横波.由于竖直放置，弦上某处的张力等于其下端弦的重力，因而处处不相等，文献［2］称这样的弦振动为非均匀的弦振动.

在文献［3］中，作者研究了这种张力非均匀的弦上的波方程和特征频率，指出与张力均匀弦上的波方程和特征频率有一些差异.但没有指出振动状态的传播速度，即相速度是否存在差异.

在文献［4］上有一道习题，要求出竖直悬挂弦上横波的波速，文献［5］给出了解答，其中用到了张力均匀时的相速度v：

其中T为张力，ρ为弦的线密度.这个结果是否能推广到张力非均匀的情况呢？

下面，我们以上端被悬挂，下端自由的弦为例，来计算张力非均匀的弦上的相速度.

1 波动方程及波动解

在文献［2］中，非均匀的弦上横波的波动方程为

这个方程可以根据教材的方法进行类似的推导得到，只要注意到重力的方向始终竖直向下.

文献［3］解出了相应的波动解：

其中J0是零阶的贝塞尔函数与 φn由初始条件决定（Cn是一小量），x为弦上一点的坐标，如图 1．这类似于教材［6］中的驻波，由一列入射波和一列反射波合成．

图1

由边界条件可以得出圆频率：

ξ（0）n为零阶的贝塞尔函数第n个的零点.若取n=10，图2中绘出了cos（ω10t+φ10）=1时的波形图，即各点偏离平衡位置最大（各点作微小横振动，假设C=1 mm）.很明显，张力非均匀弦上的波动方程和特征频率，与张力均匀情形下有差别.

2 振动状态传播的速度

根据式（3）画出图2，可以看到，有一些地方的振幅为0，为波节.图2是根据式（3）画出的，而式（3）是在边界条件和特定的初始条件下导出的，绳上各微元以同一圆频率作简谐振动，不存在振动状态的传播问题.为了求出绳上有横波传播的波速，将该波看成是两列形状相同的入射波和反射波在弦上干涉的结果，很明显在两列波相位完全相反的位置，形成波节.相邻的两个波节处，对于一列行波来讲，是相邻的反相位点.从图上看，相邻波节之间的距离在增加，而周期是一个不变的量，可见各点的波速不一样.

图2

首先，可以根据行波在相邻的反相位点之间传播需要半个周期（T／2），可以算出波在这一段弦上的平均速度.假设当n一定时，xa是一个波节点，对应于零阶的贝塞尔函数第 a个零点， 即xa=.下一个波节点的坐标xa+1，对应于零阶的贝塞尔函数第 a+1个零点于是相邻波节之间的距离为

这两个波节之间的平均速度为

为了能够从平均速度过渡到xa处的瞬时速度，应该选取一个非常大的n（理想情况下为无穷大），即很大，弦上波的圆频率ω很大，xa+1非常接近xa，于是

我们计算弦上几种不同频率的横波（入射波）传播最后半个波长（驻波最后两个波节之间的距离）的时间，见表1.

表1

表1中，t1由式（4）计算得到（实际上是绳上各微元的振动半周期），t2是假定式（8）成立的情况下积分而得（在 n一定的情况下，横波传播距离等于任意相邻两波节之间的距离所需时间）.数值表明两者没有显著的差别，这说明式（8）对于 n小的情况也成立（n=1时，只有悬挂点一个节点，无法数值验证），不同频率的横波波速一致.还需要指出的是，计算出来的波速是行波的波速，即合成式（3）的入射波和反射波的波速.

当然，更一般的情况下，弦上的横波是式（3）所表示的波的叠加：

根据波的独立传播原理，这不会影响我们推导出的结果.

3 总结与讨论

本文研究了竖直悬挂的弦上行波的波速.利用非均匀弦上波动方程的解，确定了弦上波节的位置，相邻波节正好是行波相邻的振动反相位的点，在这段弦上振动状态传播需要的时间是半个周期，于是可以计算出相应的平均速度.在n很大的情况下，相邻波节之间的距离很小，于是得到的速度是某个位置波的相速度，这和由得到的结果完全一致，证实了在均匀张力情况下得到的式（1）是可以应用到本文讨论的考虑重力的竖直悬挂的弦，此时弦上的张力是非均匀的.我们可以这样来理解：对于张力非均匀的情况，弦可以分割成很多的小段，每一小段可以认为张力均匀，可以用张力均匀的公式计算波速，于是整个弦应用式（1）来计算波速也是合理的.由此我们推断，在其他的张力不均匀的情况下，式（1）一般来说可以用于计算波速.

对于竖直悬挂的弦，我们可以求出波速的变化率（加速度），其值为g／2，正好是重力加速度大小的一半.

［1］ 梁昆淼.数学物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1998：136-138，328-331，477-478.

［2］ F.S.克劳福德.伯克利物理学教程：第三卷［M］.卢鹤绂等，译.北京：科学出版社，1983：85.

［3］ 方开源.重力对弦振动特征频率的影响 ［J］.大学物理，1991，10（12）：26-28.

［4］ 吴亚非，等.大学物理（下）［M］.北京：高等教育出版社，2015：78.

［5］ 吴亚非.大学物理学习指导［M］.北京：高等教育出版社，2015：205.

［6］ 漆安慎，杜婵英.力学［M］.北京：高等教育出版社，2005：358-359.

Wave velocity of transverse wave in vertical suspended string

KE Hong-wei，GAO Lei，ZHOU Jia-hui
（Department of Physics，School of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The wave velocity of transverse wave in vertical suspended string is calculated analytically.The result can be also obtained by using the formula of wave velocity in a spring with uniform tension，which means that the formula can be applied for a spring with uneven tension.

spring；transverse wave；wave velocity

O 321

A

1000-0712（2016）11-0018-02

2015-12-23；

2016-03-28

国家自然科学基金项目（11375128）资助

柯红卫（1977-），男，江西崇仁人，天津大学物理系副教授，博士，主要从事理论物理研究工作.