测节仪测量透镜组基点的讨论

刘秋武

（韩山师范学院 物理与电子工程学院，广东 潮州 521041）

测节仪测量透镜组基点的讨论

刘秋武

（韩山师范学院 物理与电子工程学院，广东 潮州 521041）

透镜组的基点在几何光学中占有重要的地位．对平行光束中不同的入射光线经过透镜组后的出射情况进行分析，讨论了透镜组像方节点到测节仪转轴不同距离时的成像规律和用测节仪测量透镜组基点的方法，以加深对透镜组基点的理解和用测节仪测量透镜组基点的认识．

透镜组；几何光学；基点；测节仪；成像规律

透镜组的基点是指透镜组的主点、节点和焦点，包括物方和像方共6个点，它们是透镜组的重要参数．如果确定了透镜组的基点，则入射光线通过透镜组的行为便可完整的描述出来．测量透镜组基点的方法有焦距仪法和测节仪法［1-5］．焦距仪法是用焦距仪测量透镜组焦点以及透镜与焦平面间的相对距离来求出基点的方法，具有较高的测量精度．测节仪法是根据经过透镜组物方节点的入射光线，其出射光线的延长线必过像方节点并与入射光线平行这一性质来测定节点的．目前很多高校都有开设用测节仪测量透镜组基点的实验，在实验教学中发现学生主要有3个疑问：1）光学教科书多以节点的角放大率为1来说明过物方节点的入射光线，其出射光线过像方节点并与入射光线平行出射，没有给出详细的证明．2）不管透镜组在测节仪滑轨上任何位置，物方节点和像方节点都是存在的，为什么转动测节仪前后若像点在横向方向基本不动，则转轴所在的位置为透镜组的像方节点？其他位置会移动的像点就不是呢？3）在寻找清晰地没有横向位移的像点过程中，有没有规律判断像方节点是靠近还是远离了测节仪的转轴，以便更有目的性地对透镜组的位置进行调节？本文就以上问题进行讨论，以加深对透镜组基点的理解和用测节仪测量透镜组基点的认识．

1 平行光束通过透镜组的成像

为描述方便，假设透镜组由两个像方焦距分别为f1′和-f2′的凸透镜L1和凹透镜L2组成，两透镜相距为t，置于空气中，空气的折射率近似为1，如图1所示.

图1　光线通过透镜组时的行为

设透镜组的主光轴与直角坐标系的z轴重合，由于透镜组以z轴旋转对称，故只需讨论位于xz平面内的入射光线.对于 xz平面内的光线，可由它通过的点坐标（x，z）和光线的倾角α确定.一束平行光以倾角α入射透镜组，其中经过参考面Σ0与主光轴交点的光线①，在参考面Σ0上的坐标为=（α，0）（右上标表示光线①，右下标为参考面的编号，下同）.在近轴条件下，由矩阵光学［6-8］可知，光线传播到透镜L1所在的参考面Σ1上的坐标为

其中，-l1是透镜L1到参考面 Σ0的距离（这里 l1是负值）.设透镜组的系统矩阵为，元素a、b、 c、d是高斯常数，并有关系bc-ad=1，则光线传播到透镜L2所在的参考面Σ2上的坐标为

上式表示出射光线的出射方向与入射光线平行，并把这个入射点称为物方节点N1.作出射光线的延长线交主光轴于N2点，把这点称为像方节点.由式（2）可知出射光线在参考面Σ2上的高度为

在△N2AB中，当α很小时，透镜L2到像方节点N2的距离

由式（3）可知，过物方节点 N1的入射光线，其出射光线的延长线必过像方节点N2并与入射光线平行，即角放大率为1，透镜L1到物方节点 N1距离-l1和透镜L2到像方节点N2距离-l2可由式（3）和式（5）确定.

当透镜组处于同一媒质时，两主点分别与两节点重合.假设平行光束的另一光线②与物方主平面的交点为D，坐标为=（α，-h），在近轴条件下，光线传播到参考面Σ1上的坐标为

从参考面Σ1通过透镜组传播到参考面 Σ2上的坐标为

由式（3）和式（7）可知，这两条光线经过透镜组后的倾角是不同的，它们的交点P便是这束平行光的汇聚点.设参考面 Σ2到经过点 P的焦平面Σ3的距离为l3，光线①在焦平面Σ3的坐标为

光线②在焦平面Σ3的坐标为

由图1可知透镜组的像方焦距：

像点P在焦平面上的高度为

作出射光线CP的反向延长线交像方主平面于E点，在△EGP中，当α很小时，有：

由上式可知，光线②在两主平面的横向放大率是1，其出射光线必过汇聚点P.

2 像点位置随透镜组像方节点与转轴距离变化的规律

设有一束平行光平行于主光轴入射到透镜组会聚于像方焦点，保持入射平行光束的方向不变，以主光轴上的一点为转轴转动透镜组.当透镜组位于转动后光轴上的不同位置时，像点的移动情况是不同的.

2．1转轴与透镜组像方节点重合

透镜组转动前的物方节点、像方节点和像方焦点分别为N1、N2和F′，使透镜组绕像方节点N2并垂直于主光轴转动一小角度 α，转动后的物方节点为N′1，如图2所示.转动前后的光路分别用实线和虚线表示.过转动后的物方节点N′1的光线AN′1，其出射光线必过像方节点N2并平行于入射方向出射，与转动后的焦平面交于P点，这就是转动后像点的位置.由光线经过两主平面的横向放大率是1，取N2E=N′1C，连接 EP，则 EP便是光线 BC的出射光线.由图2可知，转动前后焦点由F′纵向移到P点，没有横向移动.由于像屏在透镜组转动时并没有转动，因此，像屏看到的像是转动后的像点 P的光锥截面，像点变得稍微模糊.

2．2转轴与透镜组像方节点不重合

当转轴O与像方节点 N2不重合，转动透镜组后的像点P不在Z轴上.下面分4种情况讨论转轴O到像方节点 N2不同距离时，像点 P的位置变化情况.

1）当转轴O在像方节点N2的右侧并距离较远时，像点的变化情况如图3（a）所示.透镜组转动前，平行光束汇聚于焦点F′，绕转轴O转动角度α后，经物方节点N′1的光线 AN′1必经过像方节点N′2平行于入射方向出射，与转动后的焦平面交于P点，这就是入射平行光束的汇聚点.设转轴O与像方节点N2的距离 ON2=ON′2=Δz，在 ΔN′2BP中 N′2B= N2F′=f′，有BP=αf′.在ΔOBD中，DB=α（Δz-f′），于是可得像点P在转动后的像屏上的位置DP=DB+BP=αΔz，相对于转动前的焦点F′，无论横向还是纵向都发生了移动.当转轴与像方节点的距离Δz越大时，像点P偏离z轴越远.

2）当转轴O在像方节点N2的右侧并距离较近时，像点的变化情况如图 3（b）所示，像点的位置DP=OC=αΔz，由于转轴与像方节点的距离 Δz较小，像点P偏离z轴较近.当转轴与像方节点重叠即Δz=0时，像点的位置DP=0，即P点在z轴上，没有横向移动，如图2所示.

图2　转轴与像方节点重合时转动透镜组前后像点的位置

3）当转轴O在像方节点的左侧并距离较近时，像点的变化情况如图3（c）所示.像点的位置 DP= N′2C=αΔz，由于转轴与像方节点的距离Δz较小，像点P偏离z轴较近，与图3（b）比较，像点 P在 z轴的下方.

4）当转轴O在像方节点N2的左侧并距离较远时，像点的变化情况如图 3（d）所示.在 ΔOBD中，BD=α（Δz+f′）.在ΔN′2BP中，BP=αf′，于是可得像点P在转动后的像屏上的位置DP=DB-BP=αΔz，相对于转动前的焦点 F′，像点 P的位置发生了移动.当转轴与像方节点的距离Δz越大时，像点P偏离z轴越远.

图3　转轴O与像方节点N2不重合时转动透镜组前后像点的位置

2．3像点随透镜组移动的变化规律

当透镜组沿着转动后的主光轴z′从左往右移动时，光线①从物方节点N1入射后在像方节点N2平行出射，交像屏于P1点，如图4所示；继续向右移动透镜组，光线②的像点为 P2，它比 P1到原主光轴 z的距离小；当透镜组的像方节点 N2与转轴 O重合时，像点P3位于原主光轴 z上，像点 P4、P5是透镜组远离转轴时的情况，像点是在原主光轴z的另一侧，而且透镜组越远离转轴，像点越偏离主光轴.当透镜组逆时针转动时，也有类似的规律.因此，可应用上述规律，将透镜组转过某一小角度后并保持不变，在测节仪导轨上按一定方向（顺着光线或逆着光线）移动透镜组，并改变像屏的位置，使其成清晰像点，观察像点的横向位置变化.如果像点越来越偏离主光轴 z，说明像方节点远离转轴；相反，如果像点越来越靠近主光轴z，说明像方节点越接近转轴；如果像点从主光轴的一侧移动到另一侧，则透镜组的像方节点经过测节仪的转轴.当像方节点接近转轴时，可适当增大转角α，便于观察，反复细调，直至找到清晰地没有横向位移的像点，此时透镜组像方节点位于测节仪转轴上.

图4　像方节点距转轴不同距离时的像点位置的变化规律

3 结束语

在用测节仪测量透镜组基点时，必须在理解光线经过节点、主点性质的基础上，根据移动测节仪导轨上透镜组前后像点的变化判断透镜组的像方节点是靠近还是远离了转轴，是保证实验顺利进行的重要环节．要紧紧抓住节点角放大率为1这一性质，指导实验过程中看到的现象．当透镜组从转过一小角度的测节仪导轨的一端向另一端移动时，比较像点偏离原来主光轴的大小和方位，判断透镜组的像方节点是靠近还是远离了转轴，逐步调整透镜组的位置，直至找到清晰地没有横向位移的像点．通过探究像点变化与透镜组移动之间的规律，培养学生理论联系实际的能力，并加深对透镜组基点的理解和用测节仪测量透镜组基点的认识．

［1］ 杨述武．普通物理实验（三、光学部分）［M］．3版．北京：高等教育出版社，2000：49-56．

［2］ 朱鹤年．新概念基础物理实验讲义［M］．北京：清华大学出版社，2013：195-196．

［3］ 刘竹琴．横向放大率法测定光具组的基点［J］．大学物理，2006，25（8）：40-42．

［4］ 冯笙琴，朱世坤．基点测定实验中透镜的选择与搭配［J］．物理实验，1990，10（3）：134-136．

［5］ 母国光，战元龄．光学教程［M］．北京：高等教育出版社，2009：40-42．

［6］ 蔡履中，王成彦，周玉芳．光学［M］．修订版．济南：山东大学出版社，2002：34-41．

［7］ 叶玉堂，饶建珍，肖峻，等．光学教程［M］．北京：清华大学出版社，2013：195-196．

［8］ 王仕璠，朱自强．近代光学原理［M］．成都：电子科技大学出版社，1998：3-12．

Discussion on the measurement of cardinal points of a compound lens using nodal slide

LIU Qiu-wu
School of Physical and Electrical Engineering，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong 521041，China）

The cardinal points play an important role in the geometrical optics．The spread of optical imaging is analyzed when a collimated light beam passes through a compound lens，then the image rule is discussed when the rotational axis of the nodal slide does not coincident with the image nodal point，and the measurement method of cardinal points of a compound lens is presented．These can be used to deepen students’comprehensive understanding of the cardinal points of compound lens and measurement with nodal slide．

compound lens；geometrical optics；cardinal points；nodal slide；image rule

O 435．2

A

1000-0712（2016）10-0035-04

2015-12-02；

2016-03-07

2014年广东省高等教育教学改革项目（GDJG20142402）．

刘秋武（1975—），男，广东潮州人，韩山师范学院物理与电子工程学院实验师，硕士，从事物理学实验教学和光学传感测试研究工作．