水波色散关系测量方法探讨

杨 泓，谯楷耀，阮承宗

（北京师范大学 物理学系，北京 100875）

水波色散关系测量方法探讨

杨 泓，谯楷耀，阮承宗

（北京师范大学 物理学系，北京 100875）

介绍了一种自制的水波测量装置．该装置使用LabVIEW控制，可以用3种方法（驻波法、行波相位法和多普勒效应法）测量水波色散关系．实验比较了3种方法的优劣，并对改进提出了建议．

水波色散关系；实验测量；驻波；行波；多普勒效应

水波是生活中常见的机械波．但它与声波等无色散的机械波不同，水波的波速（相速度和群速度）与波长有关．根据流体力学理论，水波的相速度v可以用波数k表示为

其中g为重力加速度，ρ为水的密度，γ表示水的表面张力系数（γ随温度变化很小，20℃时等于 0．073 N／m，下文默认γ等于该值），h为水的深度［1］.严格说来，“色散关系”一词指的是角频率ω作为k的函数，但为了更直观地看出波速v随波数k的变化，本文使用v（k）来表示色散关系.图1为不同深度下的v（k）曲线，同时从式（1）可以得出：只有当水极浅（h＜4．83 mm）时，v（k）才是一个单调递增函数，在通常情况下（h＞4．83 mm）色散关系曲线先降再升，如同一个打钩形状．本文的工作就是搭建一个实验系统，实测v-k曲线并与理论结果比较．

图1　不同水深下v（k）的函数关系图

1 实验装置

我们搭建的实验装置如图2所示．

图2　实验装置

图2左边为装置主体，水槽等置于一块透明有机玻璃板之上，硅光电池8置于其下．激光器7发出的光束可以透过水面打在硅光电池8上，且二者共同固定在一个订书钉形状的支架上（图2右边）．支架又固定在丝杆上，可以用步进电机移动其位置，从而实现对水槽内水面纵向扫描［2］．这个装置可以用两种方法激发水波：1）扬声器1和矩形振子2之间有一根杆相连，扬声器接信号发生器，接通时带动矩形振子在水面上下振动，在水槽一端激起水波；2）偏心轮电机5与水槽之间也有一根杆相连，偏心轮电机工作时带动整个水槽左右振动产生水波（水槽振幅很小，约为1 mm）．硅光电池和步进电机驱动器通过数据采集卡（NI myDAQ）连接至计算机，用LabVIEW软件进行采集数据和控制．同时也可调用LabVIEW丰富的内置函数分析实验数据．

2 实验方法及数据分析

我们可以用3种方法测量v-k关系，下面分别描述实验方法．

2．1驻波法

启动偏心轮电机，带动整个水槽周期性振动，使得水波在水槽左右壁来回反射并叠加，形成驻波．利用激光器和底部的硅光电池可以探测水面驻波．原理是激光照射在不同位置，折射后底部光斑的振幅就不同，照射在波腹时振幅最小，照射在波节时振幅最大（见图3）．振幅大到一定程度时硅光电池会有一段时间照不到激光，此时光斑的平衡位置在硅光电池中间，也就是说当激光照射在波腹时光斑基本停留在硅光电池中间不动（见图4），硅光电池不间断地照射到激光，会持续输出电压信号，占空比为1．振幅最大时光电池输出的平均电压应该是最小的（因为信号占空比最小）．控制步进电机的转速，使激光器和硅光电池缓慢地扫描（1 mm／s），由LabVIEW软件记录硅光电池输出的平均电压（每1s左右平均一次）并绘制出不同位置的输出电压值（如图5）．

图3　激光束（直线）在水面驻波上的折射

图4

理论上只要算出光强-位置曲线（图5）的相邻极小值点之间的平均距离就得到半波长了，但这样实际上只利用了很少一部分的数据点，容易受到噪声的影响．我们采用 LabVIEW内置的“单频测量”函数计算曲线的空间频率，从而得到波长．单频测量函数利用傅里叶变换和特有的搜索算法提取信号包含的最大频率分量，能够最大程度利用所有数据点，提高测量准确度．驱动频率则直接让LabVIEW根据硅光电池输出的电压波形多次采样进行计算．这样水波波长λ和振动频率f都能得到，改变偏心轮电机的转速可以测不同的λ和 f，我们就可以由此得出水波的色散关系曲线（见图6），由图可见，实验与理论相比基本吻合.

图5

图6　驻波法测得的色散关系曲线

我们只测了 v（k）递减的低频部分，原因在于装置制作的精度不够高，水槽难免会有轻微地垂直于导轨方向的晃动．如果偏心轮电动机转速过大，由于当波长开始小于水槽宽的两倍时，水槽中的驻波不再是一维条纹状的，而是二维网格状的了．垂直导轨方向振动模式的干扰导致底部光斑的运动轨迹很复杂，无法再通过上述方法找出驻波的波长．

2．2行波相位法

用信号发生器驱动扬声器，带动矩形振子在水槽左端上下振动产生水波．水波在槽中传播时衰减很快，所以另一侧器壁的反射波可以忽略，可视为行波．测量行波采用的是相位法，即测量不同位置水波振动与扬声器驱动信号的相位差．为了提高测量准确度，我们采用关联函数的方式计算两个信号的相位差．具体做法是：同时采集一段（整数个驱动信号周期）驱动信号和光电池信号，将二者相乘并做平均．设行波表达式为sin（kx+ωt），其中 x为距振源距离.令 x=0即得信号发生器输出的信号表达式sin（ωt）.当步进电机控制激光器以速率 u匀速扫描时x=ut，硅光电池输出的电压信号为sin（kut+ωt），它们乘积的周期平均为

实验中u比较小（一般只有 1～2 mm／s），2ω+ku比ku大至少3个量级，故上式等号右边第二项相比第一项可以忽略，所以有：

图7　两个信号乘积的平均值与振源距离的关系

我们为行波相位法准备了两个30 cm长的水槽，宽度分别为5 cm和20 cm，这一宽一窄两个水槽给了我们精确度不同的结果（见图8）．

图8　行波相位法测得的色散关系曲线

对比宽窄水槽的实验数据，不难发现宽水槽与理论值基本吻合，而窄水槽的实验值整体明显偏小，这无疑是系统误差．实验发现在不同水深下宽窄水槽都表现出这种现象．是什么导致了窄水槽的系统误差？只有一端的矩形振子在驱动水波，我们猜测是水波传播的时候受到了两侧器壁的黏滞阻力，拖慢了波速，而狭窄水面两侧器壁的影响要更大，器壁黏滞阻力的影响对较开阔的水面应该可以忽略．驻波法中由于整个水槽中的水都在周期性晃动，器壁的影响当然也可以忽略，所以也没有明显的系统误差．

2．3多普勒效应法

装置设置与行波相位法相同．在这里波源是矩形振子，观测者是激光器和硅光电池，对于波源不动、观测者运动的多普勒效应满足下式：

f是由信号发生器给定的波源实际振动频率，f′为测量到的频率，让 LabVIEW根据硅光电池输出的电压波形多次采样进行计算并平均即可得到．v为水波波速，u为步进电机精确控制的激光器和硅光电池扫描速度（控制在 5～10 mm／s），也就是观测者速度．这样 f、f′和 u三者都已知，就可以根据式（4）求出未知的波速 v.我们用多普勒效应法测量了离振源不同距离x处的波速，结果如图9所示.

图9　多普勒效应测得的不同距离处的波速

理论上波速与观测者和波源的距离无关，但从图中我们发现，当距离比较近时，测得波速涨落较小，而且与行波相位法的结果比较一致，但当距离较大时，测量结果涨落变大，最大值和最小值相差竟有50 mm／s，平均值的不确定度也变得很大，这时即便给出一个波速平均值也是没有意义的．我们猜测出现问题的原因可能有两个：1）远离波源信号变弱，测量结果受噪声影响变大；2）槽内水波可能不能简单地看成一维行波．但具体的原因还待进一步研究确定．

3 总结和讨论

我们利用自己搭建的实验装置，采用驻波法、行波相位法和多普勒效应法测量了水波的色散关系，测量结果基本符合理论公式．实验发现3种方法各有优缺点．使用激光器与硅光电池探测水面情况，定位客观准确．使用步进电机便于精确控制位移和速度．而LabVIEW这样的专业级编程平台也为我们代劳了不少繁琐的工作．我们也发现，驻波法和行波相位法是不能用同一个容器的，前者需要尽量窄的水槽以避免二维驻波的出现，而后者需要尽量宽的水槽以减小器壁黏滞阻力的影响．此外，行波相位法中窄水槽的系统误差来源和多普勒效应法中数据不稳定性的原因也有待于进一步定量分析．

4 致谢

笔者搭建这个实验装置从摸索到最后测量出全部数据用了将近4个月时间，其间北师大物理系的白在桥老师给予了我们很多帮助，这里向他表示感谢！

［1］ 吴云岗，陶明德．水波动力学基础［M］．复旦大学出版社，2011．

［2］ 童培雄，赵在忠．测量水的振动频率与水波传播速度［J］．物理实验，2005（5）：6-9．

Discussion on methods of measuring the dispersion relation of water wave

YANG Hong，QIAO Kai-yao，RUAN Cheng-zong
（Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

We introduce a water wave measuring device which is controlled by LabVIEW．Three methods such as standing wave method，phase of traveling wave method and Doppler effect method can be used to measure the dispersion relation of water wave．We compare the advantages and disadvantages of these three methods and put forward some recommendations for improvements．

dispersion relation of water wave；experimental measurement；standing wave；traveling wave；Doppler effect

O351．2；O4-33

A

1000-0712（2016）10-0052-04

2015-09-25；

2016-01-13

杨泓（1994—），男，福建漳州人，北京师范大学物理学系2013级本科生．