基于不动点法研究梯形电阻网络的等效电阻

嵇英华，胡菊菊

(江西师范大学 物理与通信电子学院，江西 南昌　330022)



基于不动点法研究梯形电阻网络的等效电阻

嵇英华，胡菊菊

(江西师范大学 物理与通信电子学院，江西 南昌330022)

给出了一种求n级梯形电阻网络等效电阻的简捷计算方法，并将该方法应用于几种典型的梯形电阻网络，得到了相应的解析表达式.

不动点定理；梯形网络；非线性数列；等效电阻

最近10年来，几种典型梯形网络等效电阻的计算受到人们较大的关注[1,2].文献[3]应用费波那契数列，计算了梯形网络的等效电阻. 文献[4]根据非线性数列的结构特点，通过求解差分方程给出了梯形网络的等效电阻. 文献[5]则基于网络的对称与传输参数，应用网络分析法给出了梯形网络等效电阻的一般表达式. 然而，尽管方法各有不同，这些文献给出的等效电阻的推导过程不仅有些繁琐，而且通用性不强. 本文应用不动点理论，给出了几种典型梯形电阻网络等效电阻求解的一般方法.

1　不动点法

不动点理论已成为非线性分析的重要组成部分，在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域有重要的应用. 为了方便后面的叙述与理解，先简要给出不动点的概念及其基本定理.

定义：对于函数y=f(x)，存在x0∈R，使得x0=f(x0)成立，则称x0为函数y=f(x)的不动点.

定理：若

(1)

的两个不动点为x1，x2；则对于递推数列an+1=f(an)，可以证明，当

1)x1≠x2，数列

(2)

是公比为

(3)

的等比数列.

2)x1=x2，数列

(4)

是公差为

(5)

的等差数列.

2　梯形电阻网络的等效电阻

应用不动点定理，可以非常简便地给出梯形电阻网络的等效电阻. 首先计算图1所示第一种类型梯形电阻网络的等效电阻. 在图1中，电阻r1、r2与r均为n个，网络最右端的一个电阻负载电阻为r0.

图1　第一种类型梯形电阻网络

为方便计算，通常采用由右往左进行计算. 将各级等效电阻分别用R1、R2、R3、…、Rn-1与Rn表示. 显然，由图2，容易得到第n级梯形电阻网络的等效电阻为

(6)

方程(6)与方程(1)形式完全相同，是一个非线性数列. 方程(6)的不动点x1、x2满足如下方程：

x2-(r1+r2)x-r(r1+r2)=0

(7)

由式(2)与式(3)，容易得到如下梯形网络等效电阻的通项表达式：

(8)

式中

(9)

方程(8)正是文献[4]、[6]通过求解差分方程给出的解析表达式.

在图1中，设r2=0，r1=r0=r=R，由式(8)与式(9)，可以得到

(10)

图3所示为第二种类型的梯形电阻网络，相应的等效电路见图4.

图3　第二种类型梯形电阻网络

由图4，容易得到第n级梯形电阻网络的的等效电阻为

图4　第二种类型梯形电阻网络的等效电路

(11)

方程(11)也是一个非线性数列. 不难得到方程(11)的不动点y1、y2满足如下方程：

y2+r1y-r1r2=0

(12)

基于式(2)与式(3)，同样容易得到第二种类型梯形电阻网络的等效电阻

(13)

式中

(14)

方程(13)给出了第二种类型n级梯形电阻网络等效电阻简洁的解析表达式.不难证明，当n→∞，由方程(13)，得到

正是文献[1]通过数学归纳法给出的半无穷梯形电阻网络的等效电阻.

3　结束语

本文应用不动点法，给出了几种典型有限级梯形电阻网络等效电阻的一般求解方法. 从前面的分析计算过程可以看到，基于不动点法给出的求解思路简捷清晰，能够统一处理. 在这类问题中，非线性数列的不动点是求递推数列通项公式的关键点与切入点.需要说明的是，当两个不动点相异时，本文递推公式(2)是应用双不动点给出的；事实上此时也可仅通过选择一个不动点，给出通项公式.

[1]李建新，刘检江.n级梯形电阻网络的研究[J].大学物理，2003，22(7)：20-21.

[2]李京秀. 梯形电阻网络的两个通项公式[J].电气电子教学学报，2003，25(2)：68-71.

[3]吴秀芳, 柳涛. 用费波那契数列计算规则连接的电阻、电容网络的等效值[J].大学物理，1997，16(10)：9-10.

[4]陆建隆，谭志中. 关于梯形网络等效电阻的普适研究[J].大学物理，2001，20(10)：26-28.

[5]李永安. 梯形网络等效电阻的网络分析[J].大学物理，2002，21(12)：9-10

[6]邵建新. 梯形电阻网络等效电阻的通项公式[J].物理实验，2006，16(4)：29-33.

Research on the equivalent resistance of ladder resistance network based on fixed point method

JI Ying-hua, HU Ju-ju

(College of Physics and Communication Electronics, Jiangxi Normal University, Nanchang, Jiangxi 330022, China)

We propose a simple method for equivalent resistance ofn-level ladder resistance network. The method is applied in several typical ladder networks and the analytical expressions are obtained.

fixed point theorem; ladder network; nonlinear sequences; equivalent resistance

2015-10-30；

2016-01-07

江西省高等学校教学改革研究课题(JXJG-14-2-30)资助

嵇英华(1960—)，男，江西临川人，江西师范大学物理与通信电子学院教师，主要从事电路分析教学工作.

O 441

A

1000- 0712(2016)07- 0012- 02