对RL-C并联谐振电路阻抗最大值的研究

刘松山

(河南艺术职业学院　教务处，河南　郑州　451464)



对RL-C并联谐振电路阻抗最大值的研究

刘松山

(河南艺术职业学院教务处，河南郑州451464)

对RL-C并联谐振电路，严格计算了电路阻抗模的最大值|Z|max与电路谐振时阻抗Z0的关系.提出并证明了判断Z0是极值的方法.分析了Z0与|Z|max之间的相对误差，这个相对误差随着电路品质因数的增大而减小，当电路的Q值在几十以上时，Z0与|Z|max的差别可以忽略，可近似认为该电路谐振时的阻抗Z0=L/RC是最大值.

谐振电路；阻抗；极值

谐振是正弦稳态电路的一种特殊现象，广泛用于无线电和电工技术的诸多领域之中.有关对图1的RL-C并联电路谐振时阻抗Z0=L/RC的讨论，有些文献认为该阻抗为最大[1-3]，文献[4]只是简单说它不是最大，文献[5]对图1电路阻抗的最大值做了不太严格的推导.本文严格计算了图1电路阻抗模的最大值|Z|max与电路谐振时的阻抗Z0之间的关系，通过定义伴生角频率的概念，提出并证明了判断Z0是极值的简便方法，针对实际应用，分析了Z0与|Z|max相对误差的关系.该项研究完善了对谐振电路的阻抗或导纳取极值的分析方法和判断方法.

1　推导阻抗模的最大值

图1电路的输入导纳为

(1)

(2)

图1　RL与C并联电路

(3)

在此有的文献[1-3]根据电路谐振时式(1)的虚部等于0，判断Y0是最小值，得出Z0是最大值的结论.此概念不全面，因为导纳的实部一般是角频率的函数，当它的虚部等于0时，导纳的模不一定是最小值.正确的计算方法是计算谐振电路阻抗模的极值.由式(1)得阻抗的模为

(4)

因为R、L、C均为定值，|Y|2是ω的连续函数，所以可求|Y|2对ω的导数为

(5)

令式(5)等于0，得

(6)

(7)

由式(7)可见，图1电路谐振时的阻抗Z0不是最大.设图1电路的L=10 mH，C=100 μF，当R=5 Ω时，由式(3)、式(7)分别可得Z0=20 Ω，|Z|max≈22.4 Ω；当R=2 Ω时，可得Z0=50 Ω，|Z|max≈50.99 Ω.可见Z0与|Z|max相差不大.当L=10 mH，C=100 μF，R=5 Ω或R=2 Ω时，由式(4)画出图1电路阻抗的频率特性如图2所示，曲线上标有黑色小圆点的纵、横坐标分别表示谐振时的阻抗值和角频率.

图2　不同电阻值的阻抗频率特性

2　判断Z0是极值的方法

图1电路谐振时，由式(3)、式(4)有

化简得C2L4ω4-2CL3ω2+L2C2R4=0

3　Z0与|Z|max的相对误差

在实际应用中，若以Z0为最大值，由此引起Z0与|Z|max的相对误差，可把式(3)、(7)代入下式计算相对误差

(8)

(9)

(10)

图3　δ与Q的关系曲线

Q δ/%118.9534.6661.32100.49200.12300.06

4　结论

电路谐振时的阻抗(或导纳)是极值的简便判断方法是，当电路输入阻抗(或导纳)的实部等于该电路谐振时的阻抗(或导纳)时，电路谐振时的阻抗(或导纳)是极值.至于该极值是最大值还是最小值，需要通过计算谐振电路阻抗模的极值进行判断，或者，画出阻抗的频率特性曲线进行判断. 图1电路谐振时的阻抗Z0=L/RC不是最大值，而该电路阻抗的最大值由式(7)确定.当图1电路的Q值在几十

以上时，Z0与|Z|max的差别可以忽略，应用时可近似认为电路谐振时的阻抗Z0=L/RC是最大值.由此可见，科学既是严谨的也是近似的，在认识客观规律建立概念的过程中必须严谨，在实际计算过程中需要合理近似，才能使分析的问题得到简化.

[1]石生.电路基础分析[M].3版.北京:高等教育出版社，2008:153-155.

[2]康华光.电子技术基础[M].5版.北京:高等教育出版社，2006:442-444.

[3]王桂梦，王幼林.电工电子技术[M]. 北京:机械工业出版社，2013:72.

[4]邱关源.电路[M].4版.北京:高等教育出版社，1999:210-218.

[5]汪小娜，单潮龙，王向军，等.关于RL与C并联电路阻抗的最大值[J].电气电子教学学报，2010，32(5):29-31.

[6]刘松山.对谐振电路品质因数定义的再认识[J].西南师范大学学报(自然科学版)，2014，39(9):200-203.

[7]陈水生，郑富年.RL-C并联谐振态量与Q的几个关系式[J].大学物理，1999，18(10):23-25.

Study of the maximum impedance value in the RL-C parallel resonant circuit

LIU Song-shan

(Dean’s Office, Henan Arts Vocational College, Zhengzhou, Henan 451464, China)

For aRL-Cparallel resonant circuit，the relation between the maximum impedance value |Z|maxand the impedance of resonantZ0is presented strictly. The discrimination method ofZ0to be an extreme value is proposed and proved.The relative error ofZ0to|Z|maxis analyzed, the relative error decreases as the circuit quality factor increases. If theQis large enough, the difference ofZ0and|Z|maxshould be negligible, in this case the circuit resonant impedanceZ0=L/RCarrives at the maximum value.

resonant circuit; impedance; extreme value

2015-11-15；

2016-01-13

河南省高等教育教学改革研究项目(2014SJGLX474)资助

刘松山(1958—)男，河南郑州人，河南艺术职业学院副教授，学士，主要从事电路理论教学与应用研究工作.

O 441.4

A

1000- 0712(2016)07- 0014- 03