缺陷周围载流子分布的时域GUI演示

陈凤翔，许伟康，汪礼胜

（武汉理工大学理学院物理科学与技术系，湖北武汉 430070）

缺陷周围载流子分布的时域GUI演示

陈凤翔，许伟康，汪礼胜

（武汉理工大学理学院物理科学与技术系，湖北武汉 430070）

半导体材料中的微量缺陷能够在很大程度上影响其光电特性，不同类型的缺陷造成的影响也不一样.本文以数学物理方法中的差分解法为基础，对半导体物理中的连续性方程进行离散处理，同时借助Matlab中的GUI界面作为演示工具，分别展示了局域光照和均匀全域光照下，点缺陷、线缺陷对半导体中非平衡载流子空间分布的影响.通过相关参数的选择设置及物理图像的演示，可以让学生了解数学物理方法的应用，同时在半导体物理课程学习中获得更直观的学习体验.

缺陷；载流子浓度；时域演化；扩散长度

在晶体中，原子或者是离子、分子在空间周期性重复排列［1］，但任何实际晶体中都会有不完整的地方，称为缺陷.缺陷主要分为点缺陷、线缺陷和面缺陷.对于半导体材料而言，极微量的缺陷，也能够对其物理性质和化学性质产生决定性的影响［2］.晶体缺陷的产生、发展、运动和相互作用、以至于聚集或消失决定性地影响晶体的基本物理性质［3］，尤其在晶体的光电性能研究中扮演了主要角色.大部分与半导体物理学相关的教材中都给出了光注入后过剩载流子的空间分布模型和公式，也讨论了其运动模式和影响参数.但若是半导体材料中存在缺陷，缺陷如何对周围载流子的分布和运动造成影响，相关的理论分析和实验仿真却很少.

“数学物理方法”是高年级物理专业以及多数工科专业学生的必修基础理论课程，同时它也是一门被学生广泛反映难度较大的课程［4］.由于课程具有“数学与物理相结合”的特点，这门课涉及的数学基础知识面较广，又与许多具体的物理问题、工程技术密切相关，加之近年来教学课时的压缩，导致了本课程成为一门公认的难教、难学的理论课程.学生们在学习时会练习求解相关数学方程的技巧，但是在题目做完、做对之后，却往往不知道自己求解过程的物理图像是什么，更不用说将其推广到其他的物理问题上了，无法体会到该门工具课程的真正实用价值［5］.

本文利用数学物理方法的差分解法来求解连续性方程，讨论缺陷对半导体材料中载流子运动的影响.借助Matlab强大的数值处理能力和GUI可视化功能［6-8］，分别演示了在局域光照和均匀全域光照的情况下，当载流子扩散和复合运动并存时，缺陷周围的载流子浓度如何随时间演化，并讨论了不同的复合参数及扩散系数等对载流子空间分布的影响，展示了数学工具与物理学问题的有机结合.

1　半导体中非平衡载流子的运动

光照可以在半导体内部产生非平衡载流子，称为非平衡载流子的光注入.一般光注入时，注入的非平衡载流子浓度低于平衡时的多数载流子浓度，却远高于平衡时的少数载流子浓度.因此实际上往往是非平衡少数载流子起着重要作用，相对而言非平衡多数载流子的影响则可以忽略，所以通常非平衡载流子都是指非平衡少数载流子.本文主要讨论p型材料中非平衡载流子——电子的分布情况，n型材料可做类似讨论.光照后，半导体受光面将产生高浓度的光生电子-空穴对，因而沿光照方向会出现电子和空穴的浓度梯度，并导致相应的扩散流［9］，扩散长度由材料的少数载流子寿命和扩散系数决定.除扩散运动外，半导体内还存在着复合运动，这两者最终会达到一个平衡.而半导体中的杂质和缺陷则会影响这一平衡的建立，它们除了影响非平衡载流子的寿命以外，也会影响半导体的光电特性.

图1为本文所考虑的含点缺陷和线缺陷的半导体样品，结合实验中常用的测试条件，光照可分为局域光照和均匀全域光照两种情况.为避免点缺陷和线缺陷间的相互影响，对样品中点缺陷和线缺陷的行为分开讨论.

图1　含点缺陷和线缺陷的半导体样品

2　连续性方程的差分化解法

连续性方程是半导体中少数载流子所遵守的基本运动方程.如图1所示，在一块p型半导体表面利用光注入产生非平衡载流子，那么光照后半导体的少数载流子将会同时作复合运动和扩散运动.单位体积内载流子浓度随时间的变化率满足［2］

其中n表示电子浓度，n/τ是单位时间单位体积里复合的电子数，Dn是电子扩散系数，τ表示载流子复合率的倒数，为区分样品中有无缺陷处不同的载流子复合率，分别用τb和τd表示无缺陷区和缺陷处的少子寿命，gn表示由光注入所引起的单位体积单位时间里电子浓度的变化.

通常实验结果只能观测平面上的载流子浓度分布，对应此时的连续性方程为

由于样品中有缺陷的存在，而缺陷会对载流子的空间分布造成影响，因此上述方程的解的解析表达式难以给出.采用数学物理方法中的差分解法来求解，以差商近似微商，可对问题进行离散运算.

利用中心差商，有［10］

则过剩载流子浓度表示为［11］

为确保方程（5）的收敛性，时间步长需选择Δn/Δt＜10%.通过设定不同的缺陷位置、扩散系数和复合参数就可分析不同光照下的情形.

3　光照下缺陷行为的GUI演示

整个演示界面如图2所示.左边为光源与缺陷类型选择及参数设置项，根据实际需求可选择不同的光源和缺陷.在参数设置上，首先需要设置半导体样品的尺寸和缺陷离坐标原点的距离.对于不同的缺陷，则需要设定缺陷的尺寸以及缺陷内外的少子寿命，同时给定样品的扩散系数，最后设置演化时间，点击“自定义演示”，就可以得到载流子空间分布演示.对载流子空间分布演示给出3维空间分布和2维平面投影，两者相结合可以清晰地观察缺陷对载流子分布的影响.为了方便教师的课堂展示，也可以采用“默认演示”来快速设置参数和获得演示结果.

3.1局域光照下点缺陷的影响

在局域光照下，系统默认光照点位于坐标原点.图3给出了局域光照情形下，点缺陷对周围载流子分布的影响.图3（a）和图3（b）分别对应演化时间为10 ns和100 ns的载流子瞬态分布.在Matlab演示中，数值高低自动用不同颜色表示，如数值条所示.红色代表较高载流子浓度，而蓝色对应较低载流子浓度.对比图3（a）和3（b）可以看出，当光注入刚开始时，注入光源的影响范围较小，而且由于点缺陷和注入光源之间有一定间距，点缺陷并不能立刻对过剩载流子的分布造成影响，图3（a）的投影可以视作为一个圆形.但经过一段时间后，过剩载流子逐渐扩散到了缺陷点处，受缺陷点的复合，载流子浓度远低于空间其他位置，在图3（b）中可以观察到一个凹坑，此时二维投影中载流子的分布也不再是轴对称，而是存在一个点缺陷造成的“缺口”.

图2　缺陷周围载流子空间分布的时域演化GUI界面

3.2局域光照下线缺陷的影响

线缺陷是由半导体中的位错或孪晶引起的［12］，与点缺陷不同，线缺陷在二维平面上表现为一条狭长的细线.设置线缺陷长为50 μm，宽度为2 μm，图4给出了不同扩散长度下线缺陷对载流子空间分布的影响.在扩散系数相同的情况下，扩散长度Ln由载流子寿命τb决定，寿命越长，扩散长度越长.为了更好的演示出缺陷的影响，演化时间设定为100 ns.

从图4（a）和图4（b）中可以发现：线缺陷的存在像在载流子的空间分布面上“切了一刀”，但还是有一部分载流子能够到达缺陷背后.而且随着扩散长度的增加，线缺陷影响的范围更加明显，这是因为扩散长度的增加将导致更多的载流子能够扩散到线缺陷处，遭到线缺陷的复合，从而引起缺陷后面载流子浓度的显著下降.而对比图3和图4，最明显的区别是线缺陷的复合影响下，载流子浓度的峰值明显地偏离了原点，当扩散长度为10 μm时（图4（b）），载流子的峰值在x轴负方向上偏移了约5 μm.虽然局域光照下点缺陷也会造成载流子峰位与原点的偏移，但在线缺陷影响下，偏移现象更加明显.

3.3均匀全域光照情况下点缺陷的影响

与局域光照一样，均匀全域光照也是常用的一种实验光照条件.此时样品表面全部受到均匀光照，若样品表面无缺陷，则无过剩载流子的横向运动.若有点缺陷或线缺陷时，因为缺陷处的载流子浓度低于周围的载流子浓度，载流子会发生横向扩散.图5给出了均匀稳态光照下，点缺陷对空间载流子分布的影响，点缺陷设置在坐标原点，图5（a）、图5（b）分别代表演化时间为10 ns和100 ns时的载流子浓度分布图.

从图5（a）和图5（b）中可以看到，点缺陷的存在使得缺陷周围的载流子浓度产生了不同程度的下降，越靠近缺陷，过剩载流子浓度越小.和局域光照时载流子分布呈锥形面不同，均匀全域光照时过剩载流子浓度分布呈漏斗状，无缺陷区域载流子浓度高，而缺陷处载流子浓度低.随着演化时间增长，漏斗开口的面积变大，载流子像是通过点缺陷“漏掉”了.在时域PL实验结果中［12］，平面上的点缺陷表现为一个黑点，随时间延长黑点不断变大，与模拟结果一致.

3.4均匀全域光照情况下线缺陷的影响

图6展示了均匀全域光照情况下，线缺陷带来的影响.线缺陷的尺寸定义与图4中的一致，长为50 μm，宽度为2 μm.图6（a）和（b）分别对应扩散长度为3.16 μm和10 μm的载流子浓度图，演化时间设置为100 ns.由于扩散长度的变化不大，因此图6（a）和图6（b）的结果较类似，但仔细分析缺陷处载流子浓度可以发现：图6（a）中的缺陷处浓度约为光照处浓度的30%，但在图6（b）中，缺陷处浓度降为了光照处浓度的20%，表明对于扩散长度越长的样品，线缺陷造成的载流子复合影响越强.对比图4与图6可发现：均匀全域光照下，远离缺陷处的载流子浓度远高于缺陷附近的载流子浓度，线缺陷造成的复合像个线状口径的“漏斗”，在二维平面上投影成一个特别的“眼图”.

图3　局域光照下，不同演化时间点缺陷对载流子空间分布的影响

图4　局域光照下，不同扩散长度样品中线缺陷对载流子空间分布的影响，演化时间均为100 ns

图5　均匀全域光照下，不同演化时间时点缺陷对载流子空间分布的影响

图6　均匀全域光照下，不同扩散长度样品中线缺陷对载流子空间分布的影响，演化时间均为100 ns

4　结论

本文借助Matlab中的GUI界面仿真了半导体材料中缺陷周围的载流子浓度空间分布，利用微分方程的差分解法来求解连续性方程，将“半导体物理学”知识点与“数学物理方法”的应用紧密结合.演示了不同光照时刻和不同扩散长度下，局域光照和均匀全域光照中点缺陷和线缺陷对过剩载流子浓度的空间分布带来的影响.通过3维空间分布和2维平面投影的结果分析，可以让学生更直观和全面地理解缺陷对载流子运动带来的影响.此举能够加深学生对于半导体物理中连续性方程的学习，使得学习过程不仅仅停留在方程表面，而能更深入理解方程本身所刻画的模型以及相应参数在模型中的作用，紧密联系半导体物理的理论知识和实际应用.

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The temporal evolution of carrier distribution around defects by GUI

XU Wei-kang，CHEN Feng-xiang，WANG Li-sheng
（Department of Physics Science and Technology，Wuhan University of Technology，Wuhan，Hubei 430070，China）

Even minor defects in semiconductor material will effectively affect its photoelectric properties，and different types of defects have different effects.In this paper，we use different methods of mathematical physics to solve continuity equation of semiconductor physics，and demonstrate the results with GUI tool by the Matlab software.The influences of defects on the spatial distribution of carrier under different illuminations，for example，local illumination and uniform global illumination，are shown in this GUI.After setting the related parameters and the subsequent demonstration，this GUI is helpful to guide the undergraduate students to understand the application of mathematical physics method，and allow them to gain a more intuitive learning experience in studying the semiconductor physics.

defects；carrier concentration；temporal evolution；diffusion length

O 483

A

1000-0712（2016）09-0024-06

2016-01-04；

2016-03-29

武汉理工大学教学研究项目（w2014080；w2015053）资助

陈凤翔（1979—），女，湖北黄冈人，武汉理工大学理学院物理科学与技术系副教授，博士，主要从事半导体物理、数学物理方法的教学和高效太阳能电池的研究工作.