留数定理计算无穷求和及其推广

周运清，黄文涛，周恺元

(浙江省海洋大数据挖掘与应用重点实验室；浙江海洋学院 物理系，浙江 舟山　316000)



留数定理计算无穷求和及其推广

周运清，黄文涛，周恺元

(浙江省海洋大数据挖掘与应用重点实验室；浙江海洋学院 物理系，浙江 舟山316000)

先讨论了留数定理在某些无穷项级数求和问题中的应用，然后推广至含正弦或余弦三角函数的无穷项级数求和，并作了严格证明，最后举例中两种方法对比说明结果的正确性，及说明留数定理在简化无穷级数时的有效性.

留数定理;无穷项级数求和;三角函数

留数定理是复变函数论的重要部分，在计算实数与复数积分中都有广泛的应用，复变函数和数学物理方法书籍上均对这些内容进行了详细的论述[1-3]，然而对留数定理在某些无穷项级数求和中的应用论述相对较少. 最近，有作者详细讨论了应用留数定理计算积分和一些具体级数和[4，5]. 本文则先系统地论述留数定理在无穷级数求和中的应用，再推广至含三角函数的无穷级数求和，并给出公式及其严格证明，最后给出一个实例，与傅里叶级数展开结果进行比较，可以明显看出我们结果的合理性，而文献[1，2]的推广方法欠妥.

图1　积分围道CN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

把式(5)代入式(3)即可得到式(4)，即我们的推广式(4)得证. 值得注意的是，推广式(4)在θ=0时即为式(2).

解：由式(4)可得

(6)

由式(4)两边取虚部得

(7)

为了验证我们得到的结果的正确性，把式(7)右边进行傅里叶级数展开得

(8)

其中傅里叶系数分别为：

(9)

当n=1，2，3，…时

(10)

(11)

而式(7)左边为

(12)

本文先论述了用留数定理求无穷级数的一般方法，接着推广至含三角函数的无穷级数求和，然后举例说明我们推广的合理性，从例子可以看出，对于某些傅里叶级数求和问题，可以用留数定理化成较为简单明了的结果，将更容易分析其物理规律.

[1]胡嗣柱，徐建军. 数学物理方法解题指导 [M]. 北京: 高等教育出版社，1997: 85；115-117.

[2]Mitrinovic D S, Keckic J D. The Cauchy Method of Residues [M]. Dordrecht: D Reidel Publishing Co，1984: 211-218.

[3]吴崇试. 数学物理方法[M]. 北京：北京大学出版社，2003: 96-97.

[4]林金楠. 基于留数定理的一种级数求和法[J]. 高等数学研究，2009(12)：110-113.

[5]朱顺东. 应用留数定理计算一类级数求和问题[J].丽水学院学报，2005，27(5):10-12.

Evaluation of infinite sum by residue theorem and its generalization

ZHOU Yun-qing, HUANG Wen-tao, ZHOU Kai-yuan

(Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining & Application of Zhejiang Province; Department of Physics,Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316000, China)

We discuss the method of summation of some infinite series by the residue theorem, then extend to infinite series containing trigonometric function and give rigorous proofs. Finally，we illustrate the correctness of the present results and compare the result of an example by using two different methods. From an example, we see the effectiveness of residue theorem in the simplification of infinite series.

residue theorem; sum of infinite series; trigonometric function

2015-06-24；

2015-12-01

浙江海洋学院校级重大项目(X12ZD10)和大学生科技创新项目(XJ201561)、浙江省自然基金项目(Y6110250，LY14A040001)、国家自然基金(11304281，31201001)资助

周运清(1976— )，男，湖北监利人，浙江海洋学院物理系副教授，博士，主要从事大学物理和理论物理方面的教学和研究工作.

O 411

A

1000- 0712(2016)04- 0026- 04