两维离子晶体的马德隆常数

邱为钢

(湖州师范学院 理学院,浙江 湖州　313000)



两维离子晶体的马德隆常数

邱为钢

(湖州师范学院 理学院,浙江 湖州313000)

由无穷求和技巧和渐近展开，得到了两维正方形和正六边形晶体马德隆常数的解析表达式.

马德隆常数；无穷求和;正六边形

马德隆常数的物理意义很明确，麻烦的是如何给出解析表达式或者具体数值. 常用的手段是数值计算，文献[1]数值计算了两维正方形晶体的马德隆常数，文献[2]则给出了两维正三角形(正六边形)晶体马德隆常数的数值解. 数值方法简单直观，但要达到需要的数值精度，计算时间一般以小时为计. 如果这两个常数有解析表达式，数学软件马上就可以给出所需精度的数值表示. 我们发现，利用数学上的无穷求和技巧，是可以得到文献[1,2]上两个常数的解析表达式的. 文献[2]中马德隆常数与本文解析值前7位相同，文献[3]中马德隆常数与本文解析值前6位相同,验证了本文所用方法的合理正确性.

设两维格点(晶体)上有固定离子，离子之间的相互作用势是

(1)

定义无量纲的马德隆常数为

图1　正方形晶体离子分布示意图

(2)

式(2)中第一个两重无穷求和要扣除(0,0). 当0

(4)

利用单位跃迁函数H(x)[4]，可以把式(3)中有限求和化为无穷求和

(5)

其中求和遍及除去原点(0,0).利用跃迁函数积分表示[4]:

(6)

以及积分变换公式:

(7)

式(5)化为

(8)

令q=exp(-(z+t))，利用两重求和恒等式[5]:

(9)

式(8)化为

(10)

继续利用(6)、(7)两式，式(10)化为

(11)

考虑到跃迁函数的作用，式(11)化为

(12)

其中N(R,m)是R2/(2m+1)的整数部分. 在式(7)中，令z=k+λ，两边对k从0到n求和，得到

(13)

同样两边对k从0到n积分，得到

(14)

式(13)减去式(14)，并利用Hurwitz Zeta 函数ζ(s,λ)[7]的积分表达式[6]：

(15)

得到

0

(16)

当圆半径R趋向无穷大时，利用式(16)，式(12)化为

(17)

式(17)可以化为

(18)

式(18)右边的第一项是发散项，随圆半径R增大而增大. 同样，利用两重求和恒等式[5]

(19)

沿用以上方法，计算得到

(20)

由此得到正方形晶体马德隆常数解析表达式为

ζ(s,3/4)][ζ(s)-ζ(s,1/2)]

(21)

(22)

这与文献[3]的数值计算结果一致.

图2　正六边形晶体离子分布示意图

定义无量纲的马德隆常数为

(m+1/3)(n+1/3)]-s

(23)

由文献[5]中的两重无穷求和恒等式：

(24)

(25)

沿用以上方法，计算得到二维正六边形晶体马德隆常数的解析表达式为

αΔ(s)=6×3-sζ(s)[ζ(s,1/3)-ζ(s,2/3)]-

3×6-s{ζ(s,1/3)[ζ(s,1/6)-ζ(s,2/3)]+

ζ(s,2/3)[ζ(s,1/3)-ζ(s,5/6)]}

(26)

(27)

这与文献[2]的数值计算结果一致.

马德隆常数的数值计算虽然很直接,但是先要按一定规则对晶格划分编号,再手动编写程序,最后输入计算机数值计算,整个过程还是麻烦. 马德隆常数的解析计算只有有限几种情形,包括本文的正方形晶格和正六边形晶格,计算过程中要用到积分表示，积分变换,特殊函数和渐近展开,可以作为数学物理方法在固体物理应用的教学例子之一.

[1]刘策军. 二维NaCl晶体马德隆常数计算[J]. 大学物理,1995,14(12): 21-22.

[2]黄仕华，徐晶晶. 二维三角离子晶体马德隆常数的计算[J]. 浙江师范大学学报(自然科学版)，2007，30(3): 282-286.

[3]詹泸成，罗志琳. 离子晶体的马德隆常数计算[EB/OL].北京：中国科技论文在线[2010-05-06].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201005-161.

[4]跃迁函数[EB/OL]. http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html

[5]Itzykson C， Luck J M. Arithmetical degeneracies in simple quantum systems[J]. J Phys A: Math Gen,1986,19: 211-239.

[6]Srivastava H M,Junesang Choi. Series associated with Zeta and related functions[M]. Kluwer Academic Press,2001: 92-93.

[7]王竹溪，郭敦仁. 特殊函数概论[M].北京：北京大学出版社，2000.

The Madelung constant of two-dimensional ion crystal

QIU Wei-gang

(School of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou,Zhejiang 313000，China)

The analytical expression of Madelung constant of two-dimensional square and hexagon ion crystal is derived from the infinite summation technique and asymptotic expansion method.

Madelung constant;infinite summation;hexagon

2015-04-07；

2015-09-17

国家自然科学基金(11475062，11275067)资助.

邱为钢(1975—),男,江苏张家港人，湖州师范学院理学院副教授，博士，主要从事数学物理和大学物理的教学研究工作.

教学讨论

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1000- 0712(2016)04- 0019- 03