垂直激励低黏度硅油的法拉第波研究

刘财兴，杜会静，王怀翔，牟从普，孙继浩，白象忠

(1. 燕山大学 材料科学与工程学院，河北 秦皇岛　066004； 2. 燕山大学 理学院，河北 秦皇岛　066004；3. 燕山大学 建筑工程与力学学院，河北 秦皇岛　066004)



垂直激励低黏度硅油的法拉第波研究

刘财兴1，杜会静2，王怀翔1，牟从普2，孙继浩2，白象忠3

(1. 燕山大学 材料科学与工程学院，河北 秦皇岛066004； 2. 燕山大学 理学院，河北 秦皇岛066004；3. 燕山大学 建筑工程与力学学院，河北 秦皇岛066004)

从实验研究与理论分析两个方面研究了垂直激励低黏度硅油在低频范围内的法拉第波的特性，观测到奇特而且清晰的“油星星”和其他丰富的表面驻波图案(2峰～8峰模态)．通过系统的实验及理论研究，发现这类驻波是以重力为主要回复力的亚谐共振，并且采用无黏色散关系可以很好的描述这类表面波的色散关系．实验中将驻波图案按照容器表面出现的波峰数目进行分类，发现随着驱动频率增大，驻波图案的峰数增加，模态复杂化，对应的驱动振幅减小．通过对驻波图案的波长以及振动阈值等进行分析，较好的解释了这一实验现象．本文的研究结果对充液刚性容器中的波动问题的理论研究与工程应用具有一定的参考意义．

法拉第波；亚谐共振；黏滞流体

液体随着容器垂直上下振动，在液体表面会形成非线性表面驻波，该现象由法拉第在1831年首先发现，因此被称为法拉第波(Faraday wave)，此类波动问题研究具有重要的工程背景和理论意义．例如，充液容器受外激励所产生的表面波对容器有作用力，会影响飞行器的稳定性和整体结构的正常工作．通过对此类晃动引起的流体动力学问题的研究，可以控制充液容器运动的稳定性，并对系统的工程设计提供理论依据，因此，近20年来对表面驻波的研究依然十分活跃．实验上已经观测到丰富的、具有旋转对称的驻波图案[1-3]，得到了相关的模态相图，并且在一定程度上给出了参数与图案的对应关系．法拉第波属于经典的流体力学不稳定难题[4-6]，表面波模态对驱动频率、振幅、液体黏度、表面张力等参数极为敏感[7,8]，共振时还存在竞争和滞后的现象[3,9]，因此几乎不可能通过初始参数去理论预测出对应的表面波模式．当前，理论分析和实验研究的定量结果还不能非常好的符合，属于流体力学三大不稳定性难题之一．

研究和发现新的驻波模态，探寻驻波模态与实验参数的关系，对于深入研究和理解法拉第波及相关流体动力学问题有着重要的意义．2013年J.Rajchenbach等人在垂直振动的硅油中发现了新型的星星状表面波图案[10]，命名为“油星星”，这引起了人们对垂直振动硅油中的表面波问题的广泛研究兴趣[11-13]．传统的垂直激励方法一般采用容器侧壁不动，只是对容器底部施加激励，这种情况下容器侧壁和黏滞流体间相互作用的边界效应对实验影响很大，因此，本文的实验研究采用了容器和流体整体垂直振动的方法．

目前对于黏性流体表面驻波的研究主要集中在大频段、大容器尺寸，观察到了一些实验现象．Bink等人[1]在直径为440 mm的容器，22～45 Hz的驱动频率范围观察到了四边形和六边形的振动模态，指出若要观察到更加复杂的振动模态，则需要进一步降低硅油的黏度系数，增大容器的尺寸．本文的实验旨在小频段范围(5～30 Hz)、小容器尺寸(直径90 mm)情况下，观察低黏度硅油的表面波的形成和演化规律．实验采用激振器作为驱动源，研究随着驱动频率增加，图案模态的变化规律，并对驻波波长和振动阈值进行理论分析，从而对低黏度硅油的表面波的形成和演化规律加以解释．

1　实验

1.1实验装置

为观测到多样驻波图案，需减小液体运动时的耗散[14]和温度变化对实验的影响，因此本实验选择了低黏度、低表面张力、黏温系数小的硅油作为实验液体．20 ℃时其运动黏度ν为10 mm2/s，表面张力σ为0.018 N/m，密度ρ为963 kg/m-3．为保证实验可靠，必须选用刚性容器，避免能量的额外耗散及振动迟滞．本实验选择直径为90 mm的玻璃皿为刚性充液容器．由于硅油自身为透明液体，不方便观察振动过程中的图案．为避免有机染料着色硅油影响硅油自身物理参数，因此本实验在玻璃皿外底涂上厚度约为0.1 mm红色涂料，这对于振动的影响可以忽略不计．涂红的外下底面反射垂直入射光线，使硅油呈现出红色，非常有利于振动过程中各类图案的观察．

选用激振器(型号JZ-5)作为驱动源，可产生0～3 mm范围的振幅和5～5 000 Hz频率范围的垂直振动，驱动振幅和驱动频率均可连续调节．实验过程中，通过改变驱动源的振动频率以及振幅，观察了硅油表面所形成的驻波图案．玻璃皿与驱动源之间采取刚性连接，因此驱动源的频率可认为就是玻璃皿的振动频率．为方便对振动产生的驻波图案进行描述，以表面驻波在最大振幅时所形成的稳定的波峰数目，即法拉第波表面形成的突出的峰的数目，定义为峰数，将振动过程中形成的图案进行分类．

1.2振动表面波模态的实验观测1.2.1典型“油星星”表面波模态的观察

实验选用直径为90 mm的玻璃皿，硅油厚度为9 mm，驱动频率14 Hz，实验温度控制为20 ℃，驱动振幅由零开始缓慢增大．当驱动振幅小于1.4 mm时，硅油表面无明显波动现象，硅油整体随着玻璃皿一起垂直上下振动．当振幅为1.4 mm时，液面上开始出现细小的波纹．继续增大振幅，可观察到液体表面振动逐渐增强．振幅增至1.45 mm时，液体表面形成稳定的对称的驻波图案，5个波峰垂直上下振动，将此振动称为五峰图案，其振动周期为0.14 s．波峰向下振动成为波谷时，对应的5个波谷表现为类似的枝晶结构图案．玻璃皿中央油面最薄处，呈现出清晰的五角星图案．如图1(a)所示．在波峰向波谷过程中还观察到了5个凸起波峰组成的“五瓣花”图案，图案中心呈现出清晰的正五边形．振幅继续增大，5峰驻波图案立即消失，液面呈现混乱振动状态．继续增加驱动振幅，液面波形断裂，部分硅油表面振动急剧加大，有小的硅油液珠由表面垂直喷射溅出．

向下振动达最大振幅,中心呈清晰五角星图案

将驱动频率上调至15 Hz，初始驱动振幅从零缓慢增加，当振幅达到1.2 mm时液面开始出现几个振幅很小的波峰．增大振幅至1.24 mm，可观测到稳定的由6个波峰组成的类似倒金字塔图案，如图2(a)

向上振动过程中的五瓣花图案,中心呈现清晰五边图案

所示，该6峰波形振动周期为0.13 s．当6个波峰向下振动转换成波谷时，可以清晰地看到波谷边缘，如图2(b)所示，呈现为类似于晶格的正六边形．在波峰向波谷转换过程中时，还观测到与J. Rajchenbach等[10]人观察到的类似的“油星星”图案．图3(a)所示是本实验在6峰振动过程中观察到的图案，其中心呈现出5条突起的棱所组成的枝状星星图案，与J. Rajchenbach等人观察到的“油星星”图案类似图3(b)．但是图3(a)中的振动模态与J.Rajchenbach等人观察到的“油星星”图案相比，有着更丰富的模态信息，其外缘呈现出棱角鲜明的五角星图案，其5个角是由对应的6峰振动模式的外缘的5个峰引起．

向上振动达最大振幅,6个波峰组成倒金字塔结构

向下振动达最大振幅,波谷边缘呈晶格状六边形图案

本实验的油星星图案(硅油厚度9 mm,驱动频率15 Hz,驱动振幅1.24 mm)

Rajchenbach等人观察到的油星星图案(硅油厚度7 mm,驱动频率8 Hz,驱动振幅1.95 mm)[10]

1.2.2其他振动模态观测

通过调节激振器的振幅、频率等参数，可以观测到多种高度对称的奇特驻波图案．图4给出了容器直径为90 mm，硅油厚度为9 mm，驱动频率及振幅改变时，出现的几种驻波图案．按照表面波呈现的波峰的数目，标示为2峰、3峰、4峰、7峰图案，分别示于图4(a)—图(d)中．继续缓慢增大频率至30 Hz以上时，驻波图案峰数增加，图案越来越复杂，甚至显示出混沌的状态[15，16]．

2峰驻波图案,驱动频率10 Hz,驱动振幅2.20 mm

3峰驻波图案,镶嵌三角图案,倒大三角内嵌正小三角,驱动频率11 Hz,驱动振幅1.80 mm

4峰驻波图案,中央呈现正四边形,驱动频率12.5 Hz,驱动振幅1.580 mm

7峰驻波图案,驱动频率16.6 Hz,驱动振幅0.90 mm

1.2.3实验现象规律总结

由于实验设备的限制，本文没有对大振幅(>3 mm)、高频率(>30 Hz)或者更大的硅油厚度(>9 mm)条件下进行系统的实验研究和分析，只是定性的进行了实验观察，并得到了大致的实验规律．主要原因为由于玻璃皿侧壁高度为15 mm，大振幅、高频率或者更大硅油厚度条件下，硅油容易出现喷溅出玻璃皿的情况，导致硅油的厚度及重量发生变化，影响后续的测量．另外，玻璃皿与激振器置物台间的互联没有通过胶粘的形式，因为二者之间涂抹的胶水势必会引起弹性滞后或者能量损耗，因此只是将玻璃皿放置在了置物台上．此种情况下进一步增大振幅或者增大振动频率，会引起玻璃皿发生跳起，脱离置物平台，影响进一步的实验测量．另外由于实验选用的观测设备是普通的数码相机，其帧频是50 Hz，即每秒最多记录50帧图像，当激振器的频率接近50 Hz时，从数码相机记录的图像数据中很难采用截帧法分析出可靠的振动数据．玻璃皿直径、硅油厚度、驱动频率及驱动振幅等参数改变时，法拉第波的变化规律如下：

在硅油深度相同时，玻璃皿直径越大，相同的振动频率条件下，法拉第波的图形越复杂，表现为硅油表面呈现的法拉第波峰数越多．这是由于同频率条件下，所对应的法拉第波的波长不变，因此，当玻璃皿直径变大时，硅油表面所能容纳的完整的驻波波数增加，因此图案变得越复杂．而减小玻璃皿直径时，同频率条件下，观察到的法拉第波波峰数减小，图形变得简单单调；硅油厚度、玻璃皿直径保持不变时，连续改变驱动频率， 随着频率增大，表面波共振时，驻波图案在液面产生的波峰个数增多，即表面模态随着频率的增加趋于复杂化．

在玻璃皿直径相同时，改变硅油的厚度，厚度越大，同频率条件下，得到的图案越简单，即硅油表面呈现出的波峰数目减少．这是由于硅油的厚度越大，重力越大，同时硅油与玻璃皿侧壁的黏滞力也增大大，因此若要获得相同的振动图案，需要克服重力及黏滞力变化带来的影响，需要输入比较大的振动能量，因此在玻璃皿直径相同时，硅油的厚度增大，若要得到同样的振动图案，需要的频率越高．相反，减小硅油的厚度，同频率条件下，得到的图案越复杂，但是此时对应的法拉第波的振幅偏小，普通相机难以拍摄出清晰的图案；在保持玻璃皿直径、硅油厚度、振动频率不变的情况下，增大驱动振幅，对应法拉第波振幅增大，驻波波峰越明显，但是对应图案的复杂程度基本保持不变．

若要系统观察到高频、高振幅条件下的法拉第波振动，必须配备高速摄像机、驱动振幅更大的激振器以及侧壁高度较大的玻璃皿，由于实验条件的限制，目前本文尚不能对此进行深一步的研究．

2　实验分析及讨论

2.1驱动频率和振幅对法拉第波的影响

本文仅对硅油厚度为9 mm，容器直径为90 mm时，在低频段5～30 Hz范围内连续改变驱动频率，对驻波图案的形成规律进行了系统的研究，得到了表面驻波图案的驱动振幅与驱动频率的关系，如表1所示，更多的复杂振动模式未在表中给出．

表1　不同驻波图案的振幅、驱动频率

实验研究发现，随着频率增大，表面波共振时，驻波图案在液面产生的波峰个数增多，即表面模态随着频率的增加趋于复杂化．为了分析这一实验规律，研究了表面波波长和驱动频率的关系，并与理论曲线(由色散关系解得)进行比对，如图5所示．由图可以看出，随着驱动频率增大，表面波波长减小．在一定直径的圆柱形容器里，表面波波长越小，液体表面能容纳的波峰数目越多，宏观上看图案也就越复杂，从而可以定性的对我们得到的实验规律进行解释．

图5　表面驻波波长λ与驱动频率f的关系

从表1中还可以看出，表面驻波图案从2峰向8峰过渡过程中，随着驱动频率的增加，对应的驱动振幅呈现减小的趋势．为解释这一现象，引入一个参数共振方程——Mathieu 方程．T.B.Benjamin的理论[17]证明Mathieu方程可以用于研究黏度较小的法拉第波现象．

对于一个无穷小的流体面Mathieu方程可表示为

(1)

z代表液面的垂直方向，μ是阻尼率，ω0是表面波角频率，α(t)是一个无量纲的振动参数函数．在这种垂直振动系统中(z=Asinωt)，该函数可表达为

(2)

Γ表示最大加速度amax与重力加速度g的比值，很容易求得垂直激励对应的最大加速度为amax=Aω2．因此式(1)可写为

(3)

Γ=Aω2/g

(4)

可将Γ定义为驻波图案的阈值[10,19,20]，每个驻波图案都有一个相应的阈值，当驱动源的最大加速度与重力加速度之比达到这个阈值Γ时，才有可能激发共振，从而在流体表面出现驻波图案．由此可计算出本实验观测到的各种驻波图案(2峰到8峰)对应的阈值Γ，图6给出了阈值Γ与对应驻波图案的关系图．由图可以看出，在本实验研究的低频率范围内(5～30 Hz)，阈值Γ与驻波图案的峰数变化没有明显的线性关系，但其大小Γ始终维持在1左右基本不变[3]．由式(4)可以看出，维持阈值Γ基本不变，当驱动频率增加时，驱动振幅一定会对应减小．这与本实验在5～30 Hz的小频段范围内，观察到的驻波图案峰数增加，对应的驱动频率增大，驱动振幅总体呈现减小的实验现象是一致的(表1)．

图6　振动阈值Γ与对应驻波图案的关系

黏滞流体垂直振动产生的法拉第波问题属于流体力学不稳定性问题，几乎不可能通过初始实验参数，从理论上预测出对应的表面波模式．目前，理论分析和实验研究的定量结果还不能非常好的符合．对于法拉第波的形成原因，一般认为是在重力和表面张力共同充当回复力作用下的非线性振动[2]．这种非线性振动使液体表面形成多个表面波，表面波耦合共振从而形成了多样的驻波图案[16]．探寻驻波模态与实验参数的关系，对于深入研究和理解法拉第波及相关流体动力稳定性问题有着重要的意义．

2.2色散关系研究

二维表面波在同一介质中的传播速度并不是唯一不变的，因此研究表面波的色散关系至关重要．目前关于黏滞流体的色散关系有两个常用的理论，一个是1994年Kumar等人[16]提出的黏滞流体色散理论，另一个是Benjamin等人[17]提出的无黏流体的色散理论．表面波的色散关系受流体的深度、黏度系数、驱动频率、容器尺寸等因素的影响．Edwards等人[9]在对甘油的法拉第波的研究中发现在低频范围内，甘油的表面波色散关系可以近似用无黏流体的色散关系描述．M.T.Westra等[2]也从理论和实验的角度对硅油表面波的色散关系进行了研究，发现在大尺寸容器中(440 mm)，硅油厚度在2 mm以下时，实验数据和理论无黏色散关系才会出现偏差．

连续改变驱动源频率，在低频率范围内(5～30 Hz)，通过摄像机记录了厚度为9 mm的硅油在实验过程中形成的稳定的表面驻波图像，进而测得表面驻波的频率f0和波长λ．由此绘制了表面波角频率ω0=2πf0和波数k的色散关系图，如图7中的分散点所示，并将实验得到的数据点与无黏流体表面波的理论色散关系(图7实线)进行了比对．无黏流体的色散关系表达为[19]

(5)

式(5)中h为液体厚度，g为重力加速度，σ和ρ分别表示液体的表面张力和密度．

图7　色散关系ω0-k图(对数坐标)

由图7可以看出，在低频率(5～30 Hz)范围内，本实验观察到的表面波的色散关系与理论无黏流体的色散关系拟合的很好，其色散行为可以近似用无黏色散理论进行描述．这主要是由于实验所用硅油黏度较低(20 ℃，运动粘度10 mm2/s)，驱动频率在低频(5～30 Hz)范围，黏度导致的耗散较小引起的．

2.3表面波的谐振分析

表面波的频率和容器的垂直驱动频率存在一定的关系．Benjamin[17]给出了描述自由表面运动的振幅方程，即Mathieu方程，并用稳定性理论指出亚谐波和谐波在一定的条件下都有可能出现在表面波共振中．Kumar等人[16]通过Floqut理论计算指出实验中观察到的起始不稳定性总是亚谐波，而当表面波的波长与液体的深度量级为同一量级时，流体底部边界层的耗散作用将起主要作用，所激发的表面波是简谐的，在高黏滞液体中也可以先出现谐波形式．

图8给出了本研究在不同驱动频率下，出现稳定驻波图案时，表面波的角频率与驱动角频率的关系图．由图可以发现表面驻波的角频率ω0近似等于驱动角频率ω的一半，图8内嵌的小图中可以更清楚地看出二者之间的1/2的比例关系．忽略实验测试误差的影响，可以认为实验观察到的表面波为亚谐波，表明低黏度、低表面张力的硅油在低频率范围内的垂直激励作用下，发生的是亚谐共振，这与文献[3，18]所得到的结果是一致的．本实验的硅油厚度为9 mm，而表面波波长范围为10～80 mm(参考图5)，并且实验选用的为低黏度的硅油，因此所观察到的表面波为亚谐波．根据Kumar等人[16]的理论研究结果，若要在本实验中观察到谐波共振，需要进一步降低硅油的厚度或者增大硅油的黏度，从而增大流体底部边界层的耗散作用．

图8　不同驻波图案的表面波角频率ω0(实线)和驱动角频率ω(虚线)关系

2.4表面波的回复力组成分析

垂直激励的刚性容器内的液体表面产生的法拉第波，是重力和表面张力共同充当回复力引起的非线性振动，重力和表面张力在回复力中所占比重对表面驻波模式有着明显的影响．本实验选用的硅油厚度h为9 mm，色散公式(5)中的tanh(hk)可近似等于1[2]，由此色散关系式可变形为

(6)

G+E=1

(7)

ω0临=(4g3ρ/σ)1/4

(8)

根据菅永军等人[6]对刚性充液容器内竖直激励表面波的理论模拟研究，当驱动频率进一步加大，表面波的模式较复杂时，表面张力对模式选择的影响才会明显超越重力的影响．本实验在低频范围观察到以重力为主要回复力的表面波与他们的模拟结论是相符的．

3　结论

利用激振器作为垂直激励源，对低黏度、低表面张力硅油的低频范围内(5～30 Hz)的法拉第波进行了研究，得到了清晰的“油星星”图案及其他丰富的表面驻波模式．研究发现这类驻波属于亚谐共振，其色散关系可以用无黏流体的色散理论描述．其回复力以重力为主，表面张力为辅．采用液体表面出现的稳定的波峰数目将表面波图案进行分类，实验发现随着驱动频率增加，对应图案越复杂，而驱动振幅呈现减小的趋势．理论计算表明表面波波长随着驱动频率增加逐渐减小，而对应的振动阈值维持在1附近小范围波动．波长减小使特定尺寸的容器表面呈现的波峰的数目增多，而稳定的表面波模态振动阈值的维持，必然会出现随着激励源的驱动频率增加，驱动振幅逐渐减小的现象．

由于实验条件的限制，本文仅对低频率范围内的低黏度硅油的法拉第波进行了系统的理论和实验研究，但所观察到的实验现象仍然可以扩充人们对这类流体中的非线性振动行为的理解和认识．

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The faraday wave of the low-viscosity silicon oil excited by vertical oscillation

LIU Cai-xing1，DU Hui-jing2，WANG Huai-xiang1，MU Cong-pu2，SUN Ji-hao2, BAI Xiang-zhong3

(1. College of Material Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China;2. College of science, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China;3. College of Civil Engineering and Mechanics,Yanshan University,Qinhuangdao, Hebei 066004, China)

The faraday wave of the low-viscosity silicon oil excited by vertical sinusoidal oscillation at low frequencies is studied from experimental and theoretical aspects. A series of clear standing wave patterns (2-crest pattern to 8-crest pattern), especially the stars-shaped one have been observed.Systematic study shows that the waves belong to subharmonic resonance with frequency of half the excitation frequency. The dispersion relation of the observed surface wave can be described by the inviscid theory and gravity is the dominant restoring force. The standing wave patterns are classified by the number of the wave crest. In experimenting with the increase of the driving frequency, the wave patterns become complicated and show up as the increase of the wave crest number, while the corresponding amplitude decreases. This experimental phenomenon is explained well by analyzing the wavelengths and excitation threshold of the different patterns of the standing waves. The study in this paper has certain reference significance to the research of the surface wave of a fluid in a rigid container due to external excitation.

faraday wave；subharmonic resonance； viscid fluid

2015-04-22；

2015-11-16

河北省教育厅高等教育教学改革研究与实践项目(2015GJJG029)、燕山大学研究生教育教学改革项目(JG201512)资助

刘财兴(1995—)，男，湖北黄石人，燕山大学材料科学与工程学院2012级本科生.

杜会静，email:hjdu@ysu.edu.cn

O 3-53.2

A

1000- 0712(2016)04- 0052- 08