方波电动势激励下的RLC串联电路共振特性研究

陈　杰，贺泽东，南　楠

(湖北汽车工业学院 理学院，湖北 十堰　442002)



方波电动势激励下的RLC串联电路共振特性研究

陈杰，贺泽东，南楠

(湖北汽车工业学院 理学院，湖北 十堰442002)

从理论上研究了方波电动势激励下的RLC串联电路共振特性，得出电容两极间电压共振的条件及波形特点，并对研究结果进行了模拟.

方波；RLC串联电路；共振

RLC电路特性在电路及信号系统的分析中都有广泛的应用，其研究涉及到物理学的许多领域．RLC电路的共振特性在很多物理学教材都有详细的论述，并且都是以电路中外加正弦规律变化的电动势来进行阐述的，通过求解电路满足的二阶微分方程得到电共振的条件．对于方波电动势情况，现行教材和文献少有提及，本文针对这一问题从理论上进行了分析，得到电容两极间电压的共振条件及波形特点，并对分析结果进行了模拟．

1　方波电动势激励下的RLC串联电路共振分析

1.1正弦波电动势下RLC串联电路共振[1]

如图1所示的RLC串联电路，在外加电源电动势u(t)=u0sinωt持续作用下，其电容两极间电压uC振荡的微分方程可描述为

图1　RLC串联电路

图2　方波电动势

(1)

uC(t)=uC0sin(ωt+φ)

(2)

式中

(3)

1．2方波电动势下RLC串联电路共振

在图1所示电路中，如果外加电源电动势E呈现如图2所示的方波变化，其满足如下函数关系

(m为整数,T为周期)

(4)

那么，电容两极间电压的共振特性将复杂很多．为了研究此情况下的共振特性，我们将方波函数按傅里叶级数展开，得到

(n为正整数)

(5)

式中ω=2π/T．可以看出，展开式中除了第一项为直流部分外，其它项都为谐波，这些谐波频率比为1:3:5:7:…，且振幅比为1:1/3:1/5:1/7:…．为求方波电动势激励下方程(1)在稳定情况下的通解，我们将式(5)中各项分别代入方程(1)，得到各部分对应的二阶微分方程的特解[2]．其中，直流部分对应的特解为E/2，谐波部分对应的特解为

(6)

式中

(7)

则方波激励下方程式(1)在稳定状态下的解为

(8)

由各谐波共振条件可知，逐渐增大方波电动势频率ω，RLC串联电路电容两极间电压依次出现由高倍频谐波至基频谐波的多次共振，且各次共振振幅不同，其比例为…:1/7:1/5:1/3:1，呈逐渐增大趋势．

由式(8)可以看出，uC振荡波形跟方波电动势频率ω相关，其振幅会受到各谐波项的调制。其中，基频谐波项对波形幅度的调制起主导作用．

2　模拟分析

针对上述理论分析，在弱阻尼情况下，我们分别对部分谐波的振幅和uC随ω的变化情况进行了模拟，模拟中参数取值为:E=0.5 mV，R=15 Ω,L=10 mH，C=0.04 μF，结果分别如图3、4所示. 可以看出，方波频率取ω≈7 143 s-1、10 000 s-1、16 667 s-1和50 000 s-1时，uC波形分别出现7倍频谐波共振、5倍频谐波共振、3倍频谐波共振和基频谐波共振.其中基频谐波共振振幅最大，更高倍频共振振幅较小，表现不是很明显.这些特性与上述分析一致．

同时，我们也对uC随时间t的变化情况进行了模拟，结果如图5所示．从图中看，除了幅度上的差别外，uC振荡波形跟方波频率的ω取值有关．在ω较高的情况下，uC振荡的波形为正弦波形，而ω较低时，uC振荡的波形为非正弦波形．我们分析认为，对uC振荡波形的影响主要来自方波中基频部分，其它谐波影响甚微；随着方波频率ω的增大，uC振荡的波形越来越趋近于基频部分的正弦波形．uC振荡的波形的这一变化特性可以从图3各谐波的振幅变化情况中大致看出，在ω>25 000 s-1情况下，uC振荡的幅度基本取决于式(8)中的基频部分，即uC振荡的波形表现为正弦波形.ω<25 000 s-1情况下，基频谐波一直都对uC振荡的幅度有不可忽略的调制作用， 而各高次谐波只在各自对应的共振频率附近时

图3　部分谐波振幅随ω的变化情况

图4　uC随ω的变化情况

对uC振荡的幅度有主要贡献，且共振频率间的间隔随着ω的减小越发变小，由于这些谐波共同的调制，所以uC振荡的波形表现为非正弦波形.

图5　uC随时间t的变化情况

结束语

方波是物理学中一种常见的波形，在RLC电路的暂态特性实验中也常作为激励电源的特定波形被选用，由此引起电路的一些新的特性应该受到关注．本文针对方波电动势激励下的RLC串联电路的共振特性做了分析和模拟，得到一些具有参考意义的结论:1) 在方波电动势激励下，电容两极间电压uC可以实现多次共振，各次共振振幅不同；2)uC振荡的波形取决于方波电动势频率，ω较高的情况下，uC振荡的波形为正弦波形，而ω较低时，uC振荡的波形为非正弦波形.

[1] 程守洙，江之永． 普通物理学下册[M]．6版.北京：高等教育出版社, 2006：22-29

[2] 同济大学数学系．高等数学上册[M]．2版.上海：同济大学出版社, 2009：275-279

Resonance characteristics ofRLCseries circuit stimulated by electromotive force with square wave

CHNEN Jie,HE Ze-dong，NAN Nan

(School of Science,Hubei University of Automotive Technology,Shiyan,Hubei442002,China)

Resonance characteristics ofRLCseries circuit stimulated by electromotive force with square wave are theoretically studied,and the resonance condition and waveform feature of capacitor voltage are obtained．All these results are also stimulated．

square wave;RLCseries circuit; resonance

2015-05-18；

2015-08-10

校教学质量工程(SJ201320)资助

陈 杰(1977—)，男，湖北大悟人，湖北汽车工业学院理学院讲师，硕士，主要从事大学物理的教学研究工作.

O 453

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1000- 0712(2016)01- 0028- 03