线源时间域垂直磁场全区视电阻率求解

赵福元, 周 磊, 李宁生, 仵 阳, 虎新军, 安百州

(1.宁夏回族自治区地球物理地球化学勘查院，银川 750001；2.长江大学 油气资源与勘探技术教育部重点实验室，武汉 430100)

0 引言

在数字滤波的广泛应用下，时间域一维瞬变电磁测深响应的求解已经比较成熟，从频率域中转换到时间域中的方法也比较多且各具特色。在瞬变电磁测深法视电阻率的定义和求解方面，以往多采用早晚期近似的方法, 这就忽略了过渡区的电性信息，从而使得瞬变电磁测深存在盲区，而全区视电阻率则可以很好地解决这一问题。由于瞬变电磁场与电阻率之间的关系比较特殊,一般都非常复杂且呈非线性，因此很难获得其解析表达式[1]。频率域电法中主要是利用CSAMT中场单分量定义[10-11]，时间域中,严良俊等[2]在长偏移距瞬变电磁测深中通过研究垂直磁场和电阻率的单值关系，给出了全区视电阻率的定义，并从感应电动势转化为垂直磁场进行计算效果很好；白登海[3]主要是根据中心方式磁场垂直分量时间变化率的核函数表现特征，在瞬变过程中的早期、早期到晚期的转折点和晚期阶段,得到早、晚期视电阻率，最后通过转折点得到完整的全区视电阻率曲线；杨生[4]在中心回线装置中，采用迭代反演计算方法得到全区视电阻率；李建平[5]主要是在回线装置下，利用分解的水平电偶极子求取全区视电阻率；王华军[6]利用电导率、发射回线边长与观测时间的平移伸缩特性，直接计算全区视电阻率；陈清礼[7]利用二分搜索算法，直接用实测的感应电动势计算出不同时刻的视电阻率，该算法快速精确，计算所得全区视电阻率相对误差不超过0.1%。上述这些计算方法都只是针对偶极子或回线激发源而言，没有专门针对线源的计算。实际工作中，若在近区接收端距离发射端足够近或回线边长足够长时，可以近似看作线源，利用线源的理论来解释。这样在近区可以扩大观测区域，同时能获得更好的信号强度，然后采用改变时间窗的方法来达到探测不同深度目标体的目的，这是频率域中所无法比拟的。

1 全区视电阻率计算方法

瞬变电磁场响应的计算一般有两种途径：①在时间域里直接求解，②在频率域中求解，然后将结果转换到时间域。

目前，频率域中一维正演求解方法已比较完善，从频域到时域的转换方法也比较多，如最早主要采用傅里叶变换进行转换，但这种方法对核函数抽样太多，产生更多的滤波系数，计算速度慢。笔者是在求解频率域的响应时，使用基于汉克尔变换理论的正余弦滤波算法进行离散化求解，精度高、速度快。求解时间域响应时采用余弦变换求解[8]。对于线源而言，若规定电流源在y方向无限延伸，则频域线源层状介质下垂直磁场Hz(ω)表达式为：

(1)

利用基于汉克尔变换理论的正弦变换滤波算法的原理先对其离散化后有：

(2)

前人研究表明[8]：由于用余弦变换从频率域正演的结果转换到时间域的过程中存在实、虚部的选取，利用Hz(ω)的虚部导出的hz(t)具有较高的精度。因此可得：

(3)

为了检验经过基于汉克尔变换的余弦变换滤波算法的计算精度和频率域转时间域的余弦变换的精度，利用均匀半空间的解析解进行了计算对比。

由前人的推导可以得到线源时间域垂直磁场和垂直磁场随时间变化率的解析表达式为：

(4)

图1 hz(t)解析解与数值解对比Fig.1 The contrast between numeric solutions and analytic solutions

图2 hz(t)与电阻率的关系Fig.2 The corresponding relationship between field and resistivity

计算时激发电流为1 A，均匀半空间电阻率为100 Ω·m，收发距为100 m。

计算结果表明：利用余弦变换从频率域转换到时间域具有很高的精度，滤波算法与解析算法的曲线几乎是重合的，所得的结果也同纳比吉安计算的结果相同。计算结果的相对误差均不超过1%，晚期的响应也比较稳定,但是该算法的计算速度较慢。

在收发距为1 km，激发电流为10 A，选取不同的时间道，计算了hz(t)与真电阻率之间的关系(图2)。由图2可以看出：在不同的时间道,场hz(t)与真电阻率的对应关系是严格单调的，呈“一对一”关系，这使得由场值反推得到的电阻率值是唯一的。

表1 三层地电模型参数

图3 A型曲线Fig.3 T Type A curve

图4 H型曲线Fig.4 T Type H curve

图5 K型曲线Fig.5 T Type K curve

对式(3)进行变形后有：

可得：

(5)

令：

(6)

2 模型计算

这里给出了三层典型模型的计算结果。

在几种典型的层状模型下，由垂直磁场定义的全区视电阻率在不同的收发距(分别为10 m、100 m、1 000 m)情况下模拟的结果如图3～图6所示(计算时的电流强度为1 A)。计算时的三层理论地电模型参数如表1所示。

图6 Q型曲线Fig.6 T Type Q curve

图7 不同收发距时的求解Fig.7 The results at different transmitter-receiver distances

图8 含噪声时不同收发距的结果Fig.8 The results at different transmitter-receiver distances after adding noise(a)r=1 km;ρ=100 Ω·m;(b) r=2 km;ρ=100 Ω·m;(c) r=4 km;ρ=100 Ω·m;(d) r=6 km;ρ=100 Ω·m

从图3～图6可以看出，利用垂直磁场定义的全区视电阻率效果很好，高、低阻界面反映清晰，和MT的形态比较接近，但是曲线没有像MT那样的假极值。曲线形态几乎不受收发距的影响，和水平电场定义的视电阻率[9]相比较，晚期结果也没有分叉，结果很稳定。可以看出，在极近区，研究垂直磁场定义的视电阻率有重要意义。

3 结果分析及讨论

图9 收发距与最小起始观测时间的关系Fig.9 The relationship between T-R distance and minimum observation time

图10 不同收发距时hz(t)与电阻率的关系Fig.10 The corresponding relationship between hz(t) and resistivity at different transmitter-receiver distances

垂直磁场定义的视电阻率简单而且唯一，并且在近区结果稳定，不存在不收敛和无解的情况，因此利用垂直磁场定义视电阻率是可行的,但是在收发距较大时，早期的结果也会出现偏差。笔者利用均匀半空间电阻率为100 Ω·m的模型计算了在较大收发距时的结果(图7)。从图7中可以看出，随着收发距的增大，早期对应的视电阻率下降很大，而晚期对应的结果一直很稳定，这和文献[9]中水平电场的情况刚好相反。

为了模拟实际问题，也加入了5%的随机噪声后计算的结果如图8所示。从图8中可以看到，收发距在1 km时，噪声对早期的结果几乎没有影响，但是随着收发距的不断增大，早期结果与理论值出现很大的偏差，而且振荡截止的时间也越来越晚。因此，收发距越大，早期数据偏差越大，受到噪声的影响也大。

由于噪声对垂直磁场的影响相对比水平电场的影响小，文中以偏离理论值达到2%时的相对误差为限，与无噪声下的理论结果对比后得到最小起始观测时间与收发距的关系，由图9可以看出：在一定收发距下，如果时间小于该收发距下所对应的时间，则计算的结果会不稳定，超过了所允许的误差而不能被接受，这在实际应用中具有参考、指导意义。如果在较大收发距情况下，对于线源来说没有意义。

为了说明上述出现的现象，即垂直磁场定义的全区视电阻率在早期收发距大的情况下，结果不是很理想。因此选定早期时间为0.001 s，模型为均匀半空间模型，电阻率为100 Ω·m，计算不同收发距情况下的结果如图10所示。从图10中可以看出，收发距为100 m的时候，随着真电阻率的变化，相邻真电阻率对应的场值之间的差异比较明显，因而计算时能够区分出来正确的值。当收发距为1 km的时候，随着真电阻率的变化，相邻真电阻率对应的场值之间的差异减小，所以求解时无法区分正确的值，从而得到错误的解。收发距达到10 km时，在常用的电阻率范围内，场值几乎没有变化。这就是收发距越大，电阻率偏差的越大的原因。

从以上讨论可以看出，垂直磁场定义的视电阻率比较稳定，在极近区可以加大采集的时间窗，选择较大的最晚时间，因为晚期的响应结果很稳定，受噪声影响小，所以它可以在极近区达到很大的探测深度。

任何方法都有其利弊，在求解场值时，我们从频率域向时间域的转化过程中本身经过滤波算法就已经存在误差，因此最终的求解可能和真实结果稍有偏差。

4 结论

由于源的特殊性，其各个场分量与电阻率均有一定的关系，笔者利用垂直磁场分量求解并定义全区视电阻率，最后在一维层状介质模型下进行模拟计算，从模拟结果来看，这种算法是可行的。研究结论如下:

1)在时频转换过程中，利用余弦变换从频率域转换到时间域，具有很高的精度，但相对计算速度较慢。

2)利用了二分搜索算法求解全区视电阻率，表明该方法计算速度极快，而且精度也较高，收敛性好。

3)通过正演模拟，对时间域线源在计算时产生的一些结果进行讨论：在时间域无限长线源这一条件下，利用垂直磁场分量定义的全区视电阻率能够准确地区分高、低阻分界，从而反映出地下电阻率变化的信息。另外，从模拟结果可以看出，利用垂直磁场定义的全区视电阻率在收发距发生变化时，其结果会受到一定影响，如在比较有意义的极近区可以加大采集的时间窗，选择较大的最晚时间可以取得较稳定的结果。再者，垂直磁场定义的视电阻率较之以往水平电场定义视电阻率[9]来说受到噪声的影响也比较小。因此，在实际应用中，利用垂直磁场的信息效果可能会更好。