使用最小二乘迭代相移方法测量透明元件*

李泾渭，辛 青，郁 杰，侯昌伦

(杭州电子科技大学 电子信息学院，浙江 杭州 310000)

0 引言

光学元件面形最主要的检测方法是相移干涉法，在传统情况下，被检测的光学元件只有一个光滑表面，使用传统的相移干涉算法，能检测到高精度的光学元件面形[1-2]。但是，当传统的相移干涉算法检测前后两个表面都光滑的光学元件时，由于被测元件前后两个表面都会产生反射光，所形成的干涉图像由多表面干涉形成，传统的相移干涉无法分离各自的干涉条纹，故无法测得此时的光学元件的面形。

目前常用的消除多表面干涉的方法是使用折射率匹配的消光漆或凡士林涂抹在被测光学元件的后表面，抑制后表面的反射，或者使用多模激光器[3]使后表面的反射光与测试光不相干。但是前者方法需要接触测试面，可能导致其面形遭到破坏；后者方法使用的实验装置过于复杂，其受环境影响较大，其结果不够精确。TSURUTA T等学者使用白光干涉仪测量多表面面形[4]，此后其他作者也使用了白光干涉测量法[5-6]，此方法可以使多个表面引起的干涉条纹交替分离，由分离的干涉条纹可以测量出测试元件的面形现状。但是，由于此测量方法使用白光LED作为光源，其相干长度允许范围小于2 μm，并且，当测试样品的厚度大于1 mm时，由于透射光的光程差的零位置随每个波长不同而不同，测量精度会降低。此外，徐建程等提出了一种单幅三表面干涉条纹空域傅里叶分析方法[7]，此方法基于多表面干涉时每个面反射率不同，在频谱域中各个面的反射条纹将被分离，但是需要引入空间载波且精度较低。

使用波长调谐干涉仪[8-10]，可以解决上述问题。如果波长调谐干涉仪的光源波长根据时间线性变化，其与干涉光束的光程差成比例，当扫描时的波长变化小于1 nm时，其表面面形将以纳米精度确定[11-13]。由于使用单色光作为光源，干涉图像由不同表面形成的干涉条纹组成，为了在干涉图像中正确地提取特定干涉信号的相位，需要使用一个特殊的相移算法。本文基于最小二乘拟合算法，使用最小二乘迭代的方法对多表面干涉图进行分析，并使用窗函数对不同表面的干涉图进行分离。

1 原理

1.1 多表面干涉原理

图1为用泰曼格林干涉仪测量透明板的干涉条纹图。如图所示，波长可调谐的激光器首先经过一块准直透镜将光束准直，由准直透镜发出的平行光进入到分光镜中，反光镜将激光分成两束，一束激光射向参考面，另一束激光射向测试面，这两束激光由于反射便再次进入分光镜中，并产生干涉。最后将干涉光透过凸透镜，将其会聚至CCD，由CCD采集干涉条纹。

由于被测面是透明板，当激光射向透明板时，其前表面与后表面都会反射激光。这两束光与参考面反射回的光束，均存在一定的相位差，因此三束光两两之间会产生干涉，换而言之，参考光与前表面的光束，参考光与后表面的光束，前表面的光束后表面的光束都会产生干涉。最终产生的干涉条纹将由这三种不同的干涉叠加而成。

假设参考面为面 1，为理想平面，其相位分布为 0，测试面的前表面为面2，后表面为面3，这三个面反射的光都会进入CCD，形成多表面干涉图。面1与面2的光形成的干涉图为I1，则I1的表达式为：

式中a1(x，y)表示干涉条纹的背景，b1(x，y)为干涉条纹的调制度，λ表示激光的初始波长，L(x，y)为两个面之间的距离，即为干涉腔长。面 1、面 3与面2、面 3都会产生如式(1)所示的双光束干涉。

图1 泰曼格林干涉仪示意图

1.2 相移算法

相移算法有很多种，如特征多项式法[14]，它基于算法和多项式之间的一对一对应的关系，推导出满足如何要求的算法，直到任意算法，在使用此方法时需要使用的样本数太大；平均方法[15]，此方法通过相位偏导公式，减小系统的误差；辅助函数的加法[16-17]，该方法可以用于具有周期性但并不一定是正弦相位的测量系统，但是此算法的误差略大；联立线性方程的方法[18-19]，适用于相移校准器不准确的情况下，消除非正线特性的影响；扩展平均方法[20]，此算法可以消除相移误校准和检测器的非线性误差，但是对相移图的帧数要求过高；递归方法[21]对于不同的误差源不敏感；最小二乘拟合算法[9]可以在较短的时间内计算出面形，但是当出现误差时，其精度不高。上述算法大多都用于双光束的干涉，存在相应的优点和缺点。本文使用的最小二乘迭代算法是在最小二乘拟合算法的基础上实现的，弥补了最小二乘法对误差的不敏感。

当激光的波长改变了m次后，即激光的波长由λ变为 λ-Δλm，则第m次的干涉条纹 I1m可表示为：

将式(2)的三角函数中的式子展开为：

CCD中的干涉条纹表示为：

式中t表示干涉条纹强度的理论值，i表示第i幅双表面干涉条纹，Am表示背景值。其干涉条纹的第(x，y)个像素的最小二乘误差表示为：

式中 Im(x，y)表示实际得到的干涉条纹强度。假设 θ1，m已知，式(6)可改写为：

式 中 a=Am，b=bmcosφ1，c=bmsinφ1，d=bmcosφ2，e=bmsinφ2，f=bmcosφ3，g=bmsinφ3，根据最小二乘原理，若要使其误差最小，则其偏导为0，根据其偏导求解各个未知量，可以将其改写为矩阵方程求解，其矩阵方程为：

矩阵中各个量的表示为：

矩阵中各个量的表示为：

式中k表示迭代次数。此时得到的相位分布即为最终值。

2 仿真实验与分析

2.1 仿真三表面干涉条纹

模拟得到的三表面面形为：

式中x和y的范围为0至512，其单位为像素。根据上式看得到模拟的面形如图 2所示，其中图 2(a)为 φ1所对应的面形，图 2(b)为 φ2所对应的面形，图 2(c)为 φ3所对应的面形。其三表面所得到的最终干涉条纹如图3所示。

2.2 使用最小二乘迭代算法求其面形

本次仿真使用7幅多表面干涉条纹作为原始数据，对其进行表面面形的恢复。对多表面干涉条纹图使用汉明窗作为窗函数，窗函数如图4(a)所示，此窗函数可以减小旁瓣对算法的影响，有效分离不同的干涉条纹。图4(b)为没有加窗函数时干涉条纹的频谱值，如图所示，此频谱图旁瓣较大，对运算的结果存在较大的误差。图4(c)为加窗函数时的频谱图，如图所示，此频谱图的旁瓣被窗函数所削减，其旁瓣的值趋向于0。

最终得到的面形与原始面形进行对比，发现其相位提取误差为：PV值与RMS值误差均小于0.006λ。并且由次算法得到的面形与原始面形分布大致一样。

2.3 对比仿真

如使用的相移算法为最小二乘算法，即不加入迭代过程，其最终的面形图如图7、图8所示。图7为最小二乘法得到的前后表面的面形图，从图中可以看出其面形图与迭代算法得到的面形差异不大，但是PV值和原始面形差异较大。此算法得到的面形PV值误差小于0.03λ，RMS值误差小于0.008λ。

图2 仿真三表面面形图

使用单幅干涉图，利用傅里叶变换测得的前后表面面形[22]如图8所示。从图中可以看出，利用傅里叶变换得到的面形图其边缘位置误差较大，整体面形与原始图对比也存在一定的差距。此方法得到的面形的PV值误差均在0.05λ范围内，RMS值误差小于 0.03λ。

图3 多表面干涉图

图4 频谱图

图6 解包裹后的面形图

图7 最小二乘得到的面形图

由此可知，最小二乘迭代算法计算表面面形的精度好于其他两种算法，面形差异与原始输入面形的差距不大。此算法使面形的精度再一次得到了提高。

3 实验

本文使用苏州维纳仪器有限责任公司的自制干涉仪得到相应的干涉条纹。其干涉仪如图9所示，由该干涉图得到的多表面干涉条纹如图10所示。

由上述干涉条纹图，截取其中的256×256个像素点作为实验的原始数据，根据其原始干涉图，苏州维纳仪器有限责任公司自制的干涉仪所得的面形如图11所示。

使用相同的干涉条纹，使用最小二乘迭代算法得到的面形如图12所示。

根据所得的面形可知，其中图11是由自制的干涉仪测量得到的面形结果，图12是由最小二乘迭代算法得到的面形，图11所得的面形与图12所得的面形轮廓大致相同。比较第一个表面的面形，图11(a)面形与图12(a)面形的 PV值误差为 0.032λ，RMS值误差为 0.008λ。比较第二个表面的面形，图 11(b)面形与图12(b)面形的PV值误差为 0.086λ，RMS值误差为 0.018λ。根据上述分析可知，使用最小二乘迭代算法求得的面形值PV值小于 0.09λ，RMS 值小于 0.02λ。

图8 傅里叶变换得到的面形图

图9 干涉仪装置图

图10 由波长调谐激光干涉仪得到的干涉图

4 结论

本文提出了最小二乘迭代算法，通过不断迭代最小二乘算法，优化了基于最小二乘的相移算法，最终得到精度更高的面形图。该算法可以对多表面干涉时产生的干涉条纹进行运算，从而得到每个表面的面形。由仿真实验可知，当使用该算法对多表面干涉图进行相位提取时，其PV误差值小于0.006λ。当使用最小二乘法或单幅干涉图傅里叶变化法时，其得到的相位PV误差均大于0.01λ。虽然该算法需要得到相移时的初始相移值与大致的相移量，但是该算法可以通过每次的迭代校正相移量，由此无需精确的相移值，从而使得到的面形值更加精确。

图11 由波长调谐激光干涉仪得到的干涉图

图12 由最小二乘迭代得到的面形图