基于混沌特性的跳频序列复杂度分析

李思奇，全厚德 ，崔佩璋,沈雅琴

(1.军械工程学院，河北 石家庄050003;2.工业和信息化部电信研究院，北京100191)

跳频通信技术因其抗干扰和抗衰落能力强等一系列优点，在战术无线通信中得到了广泛应用[1]。跳频序列作为跳频通信的重要组成部分，其性能的好坏直接影响着整个跳频系统的抗干扰能力，特别是抗跟踪干扰能力。

跳频序列的性能主要涉及均匀性、随机性、汉明相关性、复杂度和宽间隔特性等[2]。而复杂度直接决定了跳频序列的抗破译性能，进而影响着整个跳频系统的抗跟踪干扰性能。

[3]基于跳频图案的产生方法，从非线性反馈移位产生伪随机序列和伪随机序列到跳频序列之间的非线性变换分别定义了第1类和第2类非线性变换，最后用两类非线性变换复杂度的乘积表征了跳频序列的综合复杂度。该计算方法仅适合于用移位寄存器产生的跳频序列，在实际应用中受到了限制。

已有研究结果表明，部分跳频序列具有混沌特性[4-5]。本文基于实际观测的跳频序列，分析其混沌特性，提出了一种用关联维数度量跳频序列复杂度的方法。该计算方法适合于所有满足混沌特性的跳频序列，对于跳频系统选择跳频序列对抗跟踪干扰有实际意义。

1 混沌特性的复杂度计算

参考文献[6]指出混沌是确定性系统中出现的类似随机的现象，主要表现为对初始值的敏感性，具有小数维的奇异吸引子，具有正的李雅普诺夫(Lyapunov)指数，具有短期可预测性和长期不可预测性[7]。表1反映了随机过程、混沌系统、周期系统与定常系统的各种特征量之间的关系。

表1 各种系统的特征量

如果观测到的跳频序列满足表1中混沌系统的特征量，则表明跳频序列具有混沌特性。对观测得到的跳频序列进行基于混沌特性的复杂度计算的流程如图1所示。

图1 跳频序列复杂度计算流程图

1.1 跳频序列的相空间重构

相空间重构是分析跳频序列混沌特性的基础，相空间重构是从时间序列出发创建的一个多维状态空间，它保持了不动点特征值、吸引子维数和轨迹的Lyapunov指数等几何不变量的不变[8]。

根据F.Takens的延迟嵌入定理[9]，设观测到的跳频序列为{x1,x2,…,xn}，对该跳频序列进行延迟采样，设延迟时间间隔为τ，则可将跳频序列延拓为一个m维的相空间：

其中相空间中的每一列向量为：

对跳频序列进行相空间重构需确定延迟时间τ和重构维数m，通常要求m≥2d+1，d为吸引子维数。计算延迟时间常用的方法有自相关函数法和平均互信息法，下面以自相关函数法计算延迟时间。

对于延迟时间为τ的跳频序列,线性自相关函数为：

1.2 最大李雅普诺夫（Lyapunov）指数

最大Lyapunov指数是判断跳频序列是否为混沌系统的重要参数，如果最大Lyapunov指数为正，则意味着相邻轨线按指数发散，即系统是混沌的。

由观测时间序列计算最大Lyapunov指数的方法主要有WOLF A等提出的轨线法[10]和Rosenstein等提出的小数据法[11]等。由于Wolf法需要较大的数据长度，计算结果受各种参数影响，因此实现较困难。本文采取参考文献[12]提出的基于Rosenstein改进的小数据量Kantz法计算最大Lyapunov指数。

记重构相空间中一对向量为：

则它们之间的欧式距离为‖Xi-Xj‖，记Xi′为相空间n-(m-1)τ个列向量中与Xi最近的点,记 di=‖Xi-Xi′‖。 取一适当的时间步长或演化时间k，则di经过k个离散时间步长后的距离记为di(k)。最大Lyapunov指数可表示为：

其中 Δt为样本周期，通常取 1，M=n-(m-1)τ。通常取不同的离散时间步长 k，求出不同的 lndi(k)的平均值＜lndi(k)＞，通过作图的方法求出最大Lyapunov指数。

1.3 关联维数

关联维数是系统复杂程度的一种很好的度量，它刻画了相空间中点的分布。于是可通过计算重构相空间的关联维数来度量跳频序列的复杂度。

根据观测得到的跳频序列，可由GRASSBERGER P和 PROCACCIA I给出的 G-P算法直接计算[13-14]。设在m维的重构空间中，W表示除Xi本身外到Xi的距离小于r(r为一个小的正数)的Xj的点数。

其中 H(·)为 Heavside 函数，满足：

则定义重构的跳频序列的关联积分为：

其中 N0=(m-1)τ+1，CM(r,τ,m)描述了距离小于 r 的对点数的分布情况，如果在r的某一区间段内有：

则称d是关联维数，它近似刻画了产生跳频序列的系统复杂程度的某种维数。对观测得到的跳频序列,可在r的某一区间段内通过对数lnCM(r,τ,m)-lnr图观测的办法求出关联维数d。

2 跳频序列构造

本文基于L-G模型和Logistic-Kent级联映射构造了32个频隙的跳频序列,对该两跳频序列进行了复杂度分析。

2.1 基于L-G模型构造跳频序列

L-G模型是基于m跳频序列构造跳频序列的常用方法，通常有非连续抽头模型[15]、时钟采样模型和一般模型[16]。本文采用非连续抽头模型构造跳频序列,原理如图2所示。

图2 L-G模型

取r个非相邻级控制跳频，即可产生2r个频隙的跳频序列，关系运算式为：

本文基于17阶的m跳频序列构造了32个频隙的跳频序列(序列长度为217-1)。

2.2 基于Logistic-Kent级联映射构造跳频序列

本文采用参考文献[17]提出的 Logistic-Kent级联映射构造混沌跳频序列。

Logistic映射定义为：

其中 3.75＜R≤4，0＜xn＜1。

Kent映射定义为：

其中 0＜R＜1，0≤xn≤1。

构造准则如图3所示。本文中取 R=4，a=0.21，x1=0.3，N1=100，N2=1 000，M=32,则可构造序列长度为100×1 000的32个频隙的混沌跳频序列。

图3 混沌跳频序列构造流程图

3 仿真及结果分析

按照图1的计算流程，对采用上述两模型构造的32个频隙的跳频序列进行了复杂度计算。

分别从两跳频序列中选取1 000个跳频码进行归一化处理，形成[0-1]区间的时间序列。下面以m跳频序列和混沌跳频序列分别代表基于L-G非连续抽头模型和基于Logistic-Kent级联映射构造的跳频序列。首先对两序列进行相空间重构，由式(3)可得出两序列的自相关函数CL(τ)与延迟时间 τ的关系如图4和图5所示。

图4 m跳频序列的延迟时间计算

图5 混沌跳频序列的延迟时间计算

取 CL(τ)从起始到第一个斜率由负转正的 τ为延迟时间间隔，则由图4和图5可知，m跳频序列的延迟时间 τ=2，混沌跳频序列的延迟时间 τ=3。

对跳频序列进行相空间重构后，由式(5)可求取两序列的最大Lyapunov指数。取不同的演化时间k可求出不同的 lndi(k)的平均值＜lndi(k)＞。 对于混沌系统，其＜lndi(k)＞-kΔt曲线有一段比较平直的区域，该段区域的斜率就是最大Lyapunov指数λ。本文取重构维数m=7,8,9,Δt=1，图6和图7反映了两跳频序列的＜lndi(k)＞-kΔt曲线。

图6 m跳频序列的最大Lyapunov指数计算

图7 混沌跳频序列最大Lyapunov指数计算

当重构维数增加到一定程度后，不同重构维数对应的平直区域大致相同,图6和图7中的虚线表示＜lndi(k)＞-kΔt曲线的平直区域。求出两平直区域的斜率可近似地表示两序列的最大 Lyapunov指数,经计算,λ1=0.113 3，λ2=0.068 6。

由式(8)可作出对数lnCM(r,τ,m)-lnr图,如图8和图9所示，进而计算其关联维数。

图8 m跳频序列关联维数计算

图9 混沌跳频序列关联维数计算

由图8和图9可知，当重构维数增加到一定程度后，lnCM(r,τ,m)-lnr的斜率会趋于稳定值，该稳定值就是关联维数 d。 经计算，d1=6.653，d2=5.278。

对基于L-G模型和Logistic-Kent级联映射构造的同族的其他跳频序列进行计算，其关联维数也在6.653和5.278左右，说明基于同种模型构造的跳频序列族具有相同的复杂度。

由以上的仿真计算可知，两跳频序列均具有正的最大Lyapunov指数，其关联维数都是有限的正数，则说明两跳频序列具有混沌特性,且由d1＞d2可知，基于 L-G非连续抽头模型构造的跳频序列复杂度大于基于Logistic-Kent级联映射构造的跳频序列。

本文基于时间序列的混沌特性，提出了一种计算跳频序列复杂度的方法。按照相空间重构并求取最大Lyapunov指数和计算关联维数的顺序对基于L-G模型和Logistic-Kent级联映射构造的32个频隙的跳频序列进行了复杂度分析，通过对两者关联维数的比较，得出了L-G非连续抽头模型构造的跳频序列复杂度大于Logistic-Kent级联映射构造的跳频序列的结论。

该计算方法相对于已有的跳频序列复杂度分析方法更具有普遍适用性，能对实际观测或实验得到的具有混沌特性的跳频序列进行复杂度计算，对于分析跳频序列的抗破译性能具有实际意义，在军事通信对抗中有一定的应用价值。

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