基于渐近趋近律的永磁同步电机滑模控制研究

潘雄杰，赵世伟，杨向宇，肖盼盼

(华南理工大学 电力学院，广州 510640)

0 引 言

永磁同步电机(以下简称PMSM)因结构简单、控制灵活等优点，在冶金石油、纺织机械等领域得到广泛应用。常规PI控制虽能满足特定工况下的控制要求，但被控对象模型的精准性对其控制性能有着直接影响，且易受到电机参数变化和外部干扰影响，鲁棒性差，难以满足高性能应用要求。PMSM具有耦合性强、非线性的特性，为解决传统PI控制的问题，国内外学者将现代控制理论研究成果用于PMSM矢量控制系统。

滑模变结构控制对模型依赖性低，抗外部负载扰动对和内部参数摄动能力强，能迫使系统按照预先设计的滑动模态轨迹运动，被广泛应用于PMSM调速控制系统[1]。当系统到达滑模面后，会沿着滑模面做高频率小幅度穿越运动，即产生抖振，可能激发系统未建模动态成分，影响控制器性能。我国高为炳院士采用趋近律的方法削弱系统抖振[2]，改善系统运动动态品质。文献[3]结合新型扩张扰动观测器提出一种新型变指数多幂次趋近律滑模控制器，加快系统收敛速度，有效抑制了抖振;文献[4]提出一种变指数快速幂次趋近律积分滑模控制器，响应速度快，鲁棒性好；文献[5]提出了一种基于特定双幂次趋近律的滑模控制方案，指出其具有固定时间收敛特性，并给出了收敛时间的一个上界；文献[6]在幂次趋近律基础上加入指数项和系统状态变量，自适应调整趋近速度的同时抑制了系统抖振；文献[7]将终端吸引子与状态变量幂函数引入到一种新型趋近律中，提高趋近速度并有效抑制抖振，但控制器设计复杂；文献[8]将状态变量趋近速度与切换面函数相关联，实现趋近速率自适应调节；文献[9]提出一种新型自适应终端滑模趋近律，提高控制精度和趋近速度，并结合扩展滑模扰动滑模观测器提高系统鲁棒性；文献[10]提出一种基于反双曲正弦函数的新型变速趋近律，采取变带宽趋近方式抑制转矩脉动，并与传统PI控制相结合构成混合速度控制器，有效解决滑模启动时电流过大问题；文献[11]提出考虑反双曲正弦和反正切函数的混合趋近律，并结合高阶终端滑模观测器，提高了系统收敛速度和抗干扰性能；文献[12]提出一种新型指数趋近律，使用连续切换函数来平滑控制信号，同时结合转子位置观测器进行积分滑模控制，抑制滑模固有抖振，提高电机抗外部干扰能力；文献[13]将状态变量绝对值反正切函数引入到新型趋近律中，并用变边界层饱和函数代替常规符号函数，抑制抖振效果较好；文献[14]提出一种将幂次趋近律和等速趋近律相结合的新型混合趋近律，采用具有连续性的tanh(x)函数代替断续sign(x)函数削弱抖振，并设计了负载扰动观测器，有效提升趋近速度，提高鲁棒性；文献[15]基于非线性积分滑模面和新型快速趋近律进行滑模控制器设计，但设计过于复杂，且未考虑存在干扰时系统能否收敛至滑模面的问题；文献[16]提出一种与摄动估计结合的多幂次趋近律离散滑模控制，在提高收敛速度的同时，保证了较好的控制精度。

本文基于上述文献的思想，综合参考各方案优点，在传统指数趋近律基础上，提出一种新型滑模渐近趋近律，将系统状态变量趋近速度与滑模面切换函数相关联，实现趋近速率自适应调整，减小控制器响应时间，提高趋近速度的同时有效抑制抖振。同时为进一步削弱控制系统的抖振，选取在零点连续的开关控制函数取代原有的断续切换函数。基于所提的新型滑模渐近趋近律设计了新型滑模速度控制器，仿真和实验验证了所提方案具有一定的优越性。

1 新型滑模渐近趋近律

1.1 新型滑模渐近趋近律的提出

滑模变结构控制系统的运动由趋近运动和滑模运动两部分组成。滑模可达性仅要求系统从状态空间任意位置在有限时间内到达滑模切换面，但对于以何种方式趋近并未具体规定。可以采用趋近律方法来抑制系统抖振，改善趋近运动动态性能。以传统指数趋近律为例：

(1)

通过调整趋近律参数ε和k，可以改善滑动模态到达过程中的动态特性，但较大的ε会导致高频抖振。传统指数趋近律中符号函数sign(s)的存在使得系统运动切换轨迹为带状，这意味着系统状态不能稳定于相平面原点，而是在原点附近不断抖振。为克服传统指数趋近律的缺点，本文在其基础上，将系统状态变量趋近速度与滑模面切换函数相关联，提出一种新型滑模控制趋近律，其具体形式为：

(2)

D(s)=δ0+(k1-δ0)e-α|s| β

(3)

为进一步削弱到达平衡点前系统控制的抖振，克服不连续函数sign(s)在零处的不连续切换作用，使控制信号更加平滑，选取在零点连续的开关控制函数sigmoid(s)作为替代。其函数表达式如下：

(4)

图曲线

1.2 新型滑模控制趋近律性能分析

为对比分析传统指数趋近律和新型趋近律性能，以典型系统为例进行研究。

(5)

选取系统滑模面为s=Cx，两边同时求导得：

(6)

联立式(5)和式(6)，可得控制系统输出：

(7)

将(2)式代入式(7)，可得到新型趋近律控制函数：

(8)

在相同参数下，在MATLAB中分别对指数趋近律和新型趋近律进行仿真对比，结果如图2、图3所示。由仿真结果对比可知，所提出的新型渐近趋近律在趋近速度和抑制抖振效果均优于传统指数趋近律，减小了趋近滑模面的时间，提高了趋近速度，控制输出更为平滑。

图2 传统指数趋近律控制性能

图3 新型渐近趋近律控制性能

2 滑模速度控制器设计

2.1 永磁同步电机数学模型

永磁同步电机电磁关系较为复杂，要建立精准的数学模型比较困难。为简化分析过程，现作如下假设：永磁体在定转子气隙内产生的磁场以正弦波分布，转子无阻尼绕组；定子三相绕组对称分布；忽略铁心涡流、磁滞损耗和磁饱和；认为绕组电阻参数不变。

PMSM电压方程：

(9)

PMSM转矩方程：

Te=1.5p[ψf+(Ld-Lq)id]iq

(10)

采用id=0的转子磁定向控制策略，则转矩方程可化简：

Te=1.5pψfiq

(11)

PMSM运动方程：

(12)

式中:ud，uq，id，iq，Ld，Lq分别为d，q轴定子电压，电流和电感；Rd=Rq为定子电阻；p为电机极对数；ω为电机机械角速度；ψf为永磁体磁链；J为转动惯量；Te为电磁转矩；TL为恒定负载转矩。

2.2 设计滑模速度控制器

定义系统状态变量为转速误差及其导数，如下所示：

(13)

式中：ω*为参考转速，ω为实际转速。则联立式(11)～式(13)可得：

(14)

(15)

选取滑模面为线性滑模面s=cx1+x2，对其求导并将式(15)代入得：

(16)

则控制器输出：

(17)

将所提出的新型趋近律表达式代入式(17)并积分，可得速度控制器输出：

(18)

可以看出，选取转速误差及其导数作为系统状态变量，在控制律作用下经积分项输出作为q轴电流输入参考。由于控制输出包含积分项，抑制系统抖振的同时能消除稳态误差，改善系统控制性能。

2.3 稳定性证明

(19)

成立时，满足稳定性条件。

将新型趋近律表达式代入式(19)可得到:

(20)

式(20)表明，所提出的新型趋近律满足滑模到达条件，保证系统运动轨迹收敛于滑模切换面。系统到达滑模面后，有下式成立:

(21)

从而解得速度误差x1=c0e-ct，由该式可知，系统能实现无超调速度跟踪，系统品质主要由滑模面参数决定，对外界负载扰动不敏感，因而鲁棒性较好。综上所述，当系统采用线性滑模面和渐近趋近律时能实现全局稳定。

3 仿真与实验分析

在MATLAB环境下搭建仿真模型，电机具体参数为：定子电阻Rs=0.25 Ω，d、q轴电感Ld=0.12 mH，Lq=1.15 mH，永磁体磁链ψf=0.019 98 Wb，转动惯量J=0.09 g·m2，极对数p=4。PMSM调速控制系统结构如图4所示。

图4 PMSM调速控制系统框图

PI控制、传统指数趋近律及新型趋近律滑模控制下系统启动和突加负载仿真结果如图5所示。

图5(a)为给定指令转速为1 000 r/min、负载转矩在0.2 s时由0突增至10 N·m时，三种控制策略下整体转速响应对比；图5(b)～图5(d)分别为三种控制策略下转矩响应曲线。图6为系统空载运行至稳态后突增负载时转速、转矩响应实验结果。其中，图6(a)～图6(c)分别为系统空载运行至稳态时转速响应曲线；图6(d)～图6(f)分别为系统稳态运行后突加负载转矩情况下转速响应局部放大曲线，可以看出，PI控制下转速跌落约为106 r/min，调节时间较长约为1.73 s，而在滑模控制下，基于传统指数趋近律速度跌落约为60 r/min，调节时间约为0.63 s；基于新型渐近趋近律速度跌落约为16 r/min，调节时间极短约为0.21 s，动态性能最好；图6(g)为指数趋近律和新型渐近指数趋近律控制器输出对比曲线，可以看出，所提出的渐近趋近律速度控制器输出波动显著减小，系统抖振得到明显抑制。

图6 系统起动与突增负载实验结果

从上述仿真与实验结果可知，仿真结果与实验结果基本一致。当施加一定大小的外界负载扰动时，PI控制对负载转矩扰动较为敏感，转速存在明显波动，转速下降幅度较大，转速恢复到原有转速需要较长的调节时间，转矩响应调节时间也较长。而在渐近指数趋近律滑模控制策略下，转速波动小，转速和转矩响应调节时间较短。与指数趋近律滑模控制策略相比，渐近指数趋近律滑模控制策略转速响应更快，转速响应抖振和转矩响应抖振减小，控制器输出切换幅度明显减小，有效削弱了系统抖振，当受到外界负载扰动时，转速下降幅度更小，调节时间更短，鲁棒性更好。

4 结 语

本文提出一种新型渐近指数趋近律，将系统状态变量趋近速度和滑模面切换函数相关联，实现趋近速度自适应调整，提高了全局趋近速度，同时有效抑制了滑模固有抖振。基于该新型趋近律设计了PMSM矢量调速系统滑模速度控制器，并与PI控制、传统指数趋近律控制进行分析对比。仿真和实验结果表明，所设计的滑模渐近趋近律速度控制器能有效抑制系统抖振，显著改善系统调速品质，提高系统动态、静态性能和鲁棒性。