基于卡尔曼滤波器的永磁同步电机自抗扰控制

朱德明，张 军，白晨光

(1.南京电子技术研究所，南京 210039；2.南京师范大学 电气与自动化工程学院，南京 210046)

0 引 言

永磁同步电机(以下简称PMSM)由于其调速范围宽、转矩脉动小、响应速度快、运行稳定性好等特点，在各个工业和军事领域得到广泛应用[1-4]。传统的PMSM驱动控制中常使用比例积分(PI)算法，其控制结构简单、易实现、通用性强，在工业生产中有无可比拟的优势。然而，PMSM是一个非线性、强耦合、多变量的复杂控制对象，并且在控制过程中总存在参数变化和外部不确定扰动等干扰，PI控制难以快速消除这些扰动[5-7]。

为解决PI控制不足，提高PMSM驱动系统抗干扰能力，国内外学者提出诸多先进控制算法，如滑模变结构[8]、预测控制[9-10]、自适应控制[11]、模糊控制[12]、自抗扰控制[7]等。在这些控制方案中，自抗扰控制(以下简称ADRC)由于其不依赖于精确的数学模型和内部参数，对外部扰动具有强鲁棒性，得到普遍研究[13-14]。文献[15]将线性自抗扰控制器(LADRC)应用在PMSM无传感器控制系统中，用扩张状态观测器(以下简称ESO)替代传统滑模观测器，从而减小位置观测的相位延迟和速度观测的抖振。文献[16]将自抗扰控制器与滑模观测器结合，应用在PMSM驱动系统的电流环中，利用ESO观测出的扰动实时更新控制律，保证电流环快速跟踪性能。文献[17]提出一种LADRC结合负载转矩观测器的控制方案，从而提高转速环的抗干扰能力，但是该方法并没有解决系统噪声对ESO观测精度的影响。

ESO是ADRC最核心的部分，它在状态观测器的基础上扩张了一阶状态，用于对系统总扰动的估计[7]。然而，当负载转矩扰动较大时，ESO的观测结果误差大。另一方面，噪声总存在于实际系统中，不能一味地追求高带宽的ESO来提升系统性能，这也限制了ADRC的进一步发展[18-19]。

卡尔曼滤波器(以下简称KF)[20-21]是方差最小意义上的最优估计方法，它直接用递归方法处理随机噪声干扰，对模型的依赖性较低。本文将KF与ADRC相结合，采用KF估计负载转矩和转子角速度，既降低了ESO需要观测扰动的幅值，又抑制了噪声[22-24]，达到了提高ESO观测精度和提升系统性能目的。

1 传统ADRC数学模型

1.1 PMSM 数学模型

PMSMd，q坐标系下的转矩方程：

Te=1.5piq[id(Ld-Lq)+ψf]

(1)

式中：Te为电磁转矩；p为极对数；ψf为转子磁链；id,iq分别为d,q轴电流；Ld和Lq分别为d,q轴电感。

表贴式PMSM，Ld=Lq，则转矩方程简化：

Te=1.5pψfiq

(2)

PMSM运动方程：

(3)

式中：ωm为电机机械角速度；J为转子惯量；Kt为扭矩系数；TL为外部负载扭矩；B为阻力系数。

为了方便研究，对电机旋转角速度进行转换，将其变换为转速，具体关系如下：

(4)

将式(4)代入式(3)并进行标幺化处理：

(5)

将上述方程变换为状态方程：

(6)

式中：x1，x2分别为转速nN和集总扰动a(t)的状态变量；y为系统输出量。

1.2 转速环ADRC控制器

传统ADRC多数采用ESO观测系统状态和扰动，再经过线性比例控制律生成控制量，即P+ESO的结构。将式(6)代入到ESO的具体算法中，可得转速环ESO的数学模型：

(7)

将上述方程进行Laplace变换，可得其特征多项式：

λ(s)=s2+β01s+β02

(8)

为了保持该系统的稳定性和过渡过程，需要对参数进行整定，按照文献[25]的整定方法，多项式可整定为(s+ω)2的形式，则：

β01=2ω，β02=ω2

(9)

ω=(5～10)ωc

(10)

式中：ω为扩张状态观测器的带宽；ωc为整个系统的带宽。则ESO参数整定可以按照期望带宽进行设计。

由式(6)、式(7)可得观测器误差状态方程：

(11)

式中：β01=2ω，β02=ω2，经Laplace变换得：

(12)

可以看出，观测误差随着带宽的增大而减小。传统线性比例控制律的控制量计算如下：

(13)

对其进行微分变换可得：

(14)

为了使误差收敛至零，线性反馈控制律如下：

(15)

式中：kp为比例增益。

由式(14)、式(15)可得最终系统的控制量表达式：

(16)

将式(16)中的状态量x2替换为ESO的观测值z2，则式(16)变为：

(17)

传统ADRC中如果z2观测不精确，那么系统控制性能将恶化。因此，保证ESO的观测精度对整个控制系统至关重要。

2 转速环KF-ADRC控制设计

2.1 卡尔曼滤波器状态估计建模

实际系统中，考虑电机参数和外部负载变化的PMSM运动方程：

(18)

式中：ΔKt、ΔB和Δiq分别为转矩系数、粘滞摩擦系数和q轴电流的偏差值。

将式(18)整理得：

(19)

根据电机运动方程，得到状态方程和输出方程，即：

(20)

考虑实际系统过程噪声和测量噪声，状态方程表达式：

(21)

式中：V，W分别为系统噪声和测量噪声，通常系统噪声和测量噪声为均值零的高斯白噪声[26]。

卡尔曼滤波器算法中用到了V，W的协方差矩阵，定义如下：

(22)

一般V，W相互独立，非对角元素对估计效果的影响可以忽略，故Q和R取对角矩阵：

式中：Q1是角速度协方差值；Q2是角位移协方差值；Q3负载转矩协方差值；R1为角位移测量协方差值。

为在数字系统中实现KF算法，将式(20)状态方程离散化：

(23)

式中：A′，B′，C′分别为离散化的传输矩阵，输入矩阵和输出矩阵。它们的值：

Ts为系统采样频率。离散卡尔曼滤波器的状态预测方程：

(24)

离散卡尔曼滤波器的状态更新方程：

(25)

式中：K(k+1)为k+1时刻的校正增益矩阵。经过上面5个式子的递推，实现系统状态估计。将KF观测的负载转矩补偿进ESO，表达式变为：

(26)

(27)

2.2 非线性状态误差反馈控制律的设计

fal(e,α,δ)函数具有“小误差大增益，大误差小增益”的特点，适合在非线性系统中应用。即：

(28)

式中：e为输入误差；α和为δ为常值系数，分别代表函数的非线性程度和线性区程度。线性区的引入是为了避免高频抖振。

线性控制律的误差状态方程：

(29)

系统的稳态跟踪误差：

(30)

同样的，非线性控制律的误差状态方程：

(31)

系统的稳态跟踪误差：

(32)

由式(28)、式(29)可知，非线性控制律的误差收敛速度明显快于线性控制率，它是以指数衰减的。而且收敛速度和参数α有关，α值越趋于零，误差收敛速度越快，稳态误差越小；但过小的α值会引起抖振，实际使用需要权衡取值。由此可见，非线性控制律比线性控制律具有更高的控制效率。

最终，得到KF-ADRC方案的控制量：

(33)

由此构建的转速环KF-ADRC结构框图如图1所示。

图1 转速环KF-ADRC结构框图

3 实验研究

为验证本方案的有效性，以400 W表贴式PMSM驱动系统为研究对象，进行常规PI、传统ADRC和KF-ADRC三种控制策略的速度阶跃响应、突加突卸负载和低速轻载对比实验。其中，电机参数如表1所示。

表1 电机参数

3.1 速度阶跃响应实验

空载时转速0～1 800 r/min和1 800 r/min～-1 800 r/min速度阶跃响应波形如图2所示。KF-ADRC控制策略的速度阶跃响应具有最短的稳定时间，转速在0～1 800 r/min过渡过程中，转速稳定时间为160 ms，优于常规ADRC的240 ms和传统PI控制策略的320 ms。转速在1 800 r/min～-1 800 r/min的过渡过程中，转速稳定时间为200 ms，优于常规ADRC的280 ms和传统PI控制策略的560 ms。

图2 正反转阶跃响应实验

同时，由速度阶跃响应波形可以看出，PI控制策略不仅响应速度慢，而且有较大的速度超调量，而ADRC和KF-ADRC控制策略均无速度超调。

3.2 突加突卸负载实验

图3为额定转速，突加突卸抗额定负载实验。突加负载时，KF-ADRC控制策略的转速瞬间跌落为80 r/min，远小于传统ADRC控制策略的150 r/min和常规PI控制策略的350 r/min。突卸负载时KF-ADRC控制策略的转速瞬间上升为80 r/min，远小于传统ADRC控制策略的150 r/min和常规PI控制策略的400 r/min。

图3 突加突卸负载实验

同时，KF-ADRC控制策略的转速恢复时间为80 ms，远远小于传统ADRC控制策略的160 ms和常规PI控制策略的210 ms，表现出较强的抗负载扰动能力。

3.3 低速轻载实验

图4给出转速为300 r/min，突加突卸1 N·m负载转矩实验。低速下，KF-ADRC控制策略和传统ADRC控制策略的转速波动为10 r/min，远小于常规PI控制策略的90 r/min的转速波动。三种控制策略中，KF-ADRC控制策略的恢复时间最短，为8 ms，其次为传统ADRC控制策略，常规PI控制策略则为240 ms。

图4 低速轻载实验

从上述实验可以得出，常规PI控制策略难以兼顾跟踪性和抗干扰性，只能在二者之间取平衡。传统ADRC和KF-ADRC控制策略可以二者兼顾，且KF-ADRC的性能要更为优越。

4 结 语

针对PMSM驱动系统的高动态性能要求，本文在分析传统ADRC控制策略的数学模型基础上，将卡尔曼滤波器与ADRC相结合，提出一种基于卡尔曼滤波器自抗扰控制策略。实验结果表明，本控制策略比常规PI控制策略和传统ADRC控制策略拥有更高效的跟踪性能和更强的抗干扰能力。