横向磁场电机变量循序组合优化设计研究

谢 嘉，王世明，高中勇，高艾琳，赵升吨

(1.上海海洋大学，上海201306;2.西安交通大学，西安710049)

0 引 言

横向磁场电机(以下简称TFM)是一种具有较高转矩密度的特种电机，在直驱型舰船电力推进和海洋能发电等领域极具发展前景［1］。该电机的概念是德国不伦瑞克理工大学电机专家Herbert Weh教授提出的［2］，其采用独特的结构，解决了传统电机中电枢绕组横截面和齿槽宽度相互制约的矛盾，能同时提高电机的电负荷和磁负荷，从而提高电机电磁能量转换的能力。同时TFM 还具有体积小、重量轻、调速范围宽、可控性好等优点［3－10］。

TFM 具有较高的设计自由度，这为其满足不同应用而进行自由设计提供了良好的条件，但是该电机的详细设计却遇到了相当大的困难。在传统电机设计过程中，进行详细设计时会在磁路设计的基础上引进各种修正系数，把电机中复杂的磁场问题简化和近似，转换为一些集中参数，然后在积累了一定的经验、获得了各种实际的修正系数值后，其计算精度就可以达到工程实际的要求。显然，这种方法耗时并且设计费用大，难以满足现代电机设计的需求;另外，TFM 磁路是一种典型的三维磁场，电机磁路结构灵活多样、磁场分布更趋复杂，那么采用修正系数来描述磁路就会变得异常复杂，这样就不易得到准确的磁路计算结果。

为此本文提出采用优化设计方法来进行TFM的详细设计，从而一方面完成详细设计的任务，同时使得设计结果达到最佳。TFM 的详细设计包括多个变量的确定，同时优化设计目标也往往不是一个，因此是一个多变量多目标优化设计问题。在现代电机设计领域，对于多变量多目标优化设计问题，国外研究工作者采用了响应面分析法(以下简称RSM)结合试验设计(以下简称DOE)的方法［7，11－12］，取得了一定的效果，但是该方法在实际应用中存在两个问题:1)如果变量多于三个就很难得到满意的优化设计结果，往往发现变量较多时，其拟合响应面的多重相关系数和修正的多重相关系数都会偏小，从而拟合度小拟合误差大，同时变量较多时计算量相当大;2)优化时发现在拟合成的响应面图形中，往往表现出某些变量之间并没有很强的耦合关系，经过对电机物理结构性质的分析，发现这些变量之间基本是相互独立的，在一定的范围内它们之间对优化目标是叠加的关系，不必放在一个响应面数学模型中进行优化设计。因此，本文提出了变量循序组合优化设计方法来进行TFM 详细设计，该方法将传统多变量优化设计的变量轮换法和RSM 及DOE 结合起来，将变量在不同的优化阶段进行组合实施优化设计，最终得到详细设计的结果，并使设计结果达到最佳。

本文首先描述了所研制的爪极式组合定子横向磁场电机(以下简称ACPTFM)分析模型，并对其优化设计目标和优化设计变量进行了分析。然后提出了变量循序组合优化设计方法，论述了其设计过程。接着采用变量循序组合优化设计方法对ACPTFM进行了优化设计，最终使电机的主要参数输出转矩为1701.76 N·m，转矩脉动控制在4.63%以内。优化过程中充分考虑了所有结构尺寸对磁路的影响，最终得到的ACPTFM 设计达到了最佳，满足了电机的设计要求。

1 ACPTFM 模型及优化设计目标和变量分析

1.1 ACPTFM 模型

爪极式组合定子横向磁场电机(ACPTFM)是为了实现低速、大转矩的应用功能而设计的，其定、转子齿极和定子轭部都由简单的平面硅钢片叠制而成，定子设计成模块化组合方式，转子采用聚磁式结构。电机能够提供复杂的三维磁路，同时气隙磁通密度高并且制造工艺简单、导磁性强。图1 是ACPTFM 单相定、转子组装结构图和一对极三维磁路，其中标出了永磁体磁化方向长度hPM、永磁体径向长度tPM、转子齿极倒圆角半径r 和定子每极铁心有效长度le。

图1 ACPTFM 模型

1.2 ACPTFM 优化设计目标和优化设计变量分析

ACPTFM 属于永磁电机，其通过永磁体产生的磁场和电枢线圈产生的磁场相互作用产生转矩，推动转子旋转。设计ACPTFM 的最大目的是要其能提供足够的转矩，且转矩脉动要小。下面从电机磁链的角度来分析ACPTFM 的转矩，因为ACPTFM 各相都是相同的，所以只分析单相情况，电机在负载情况下某相电枢绕组磁链:

式中:Ψ 为绕组总磁链;ΨPM为永磁体单独作用时的磁链;Ψa为电枢线圈单独作用时的磁链，Ψa可以表示为Li，其中L 为电枢线圈电感;i 为电枢线圈电流。

当电机运行时，在忽略电枢线圈铜耗的情况下，ACPTFM 的单相瞬时电磁功率:

式中:pm为单相瞬时电磁功率;θ 为电机转子机械角度;Ω 为电机转子机械角速度。式(2)中第二项为电感储能，不参与电机的机电能量转换，因此ACPTFM 的单相瞬时电磁转矩Tmi为:

式(3)是在电机电源输出能量的基础上得到的，此式计算得到的转矩即是电机转轴输出的转矩。事实上，在ACPTFM 的瞬时转矩中还有一项，它是指在电机电枢线圈不通电时，仅仅由永磁体激励源与定子开槽的相互作用而产生的转矩，称为齿槽转矩或自定位转矩。自定位转矩在一个电周期内其与横轴包围的正负面积相等，所以求平均转矩时是零，它不会真正给机械负载输出能量，但会引起转矩脉动。自定位转矩可以表示:

式中:Tc为自定位转矩;WPM为电机电枢线圈未通电时，永磁体单独作用时的磁场能量。

式(3)表明ACPTFM 输出转矩和电机的磁链及电枢电流关系密切，而磁链的变化由永磁体和电枢线圈中的电流以及主磁路的磁阻决定;式(4)表明自定位转矩和永磁体用量及其尺寸有关。而主磁路磁阻在磁路其他部分满足磁通连续性定理要求下，其主要是由气隙面处定、转子齿的形状决定(因为气隙处的漏磁最大)，因此，在其他变量通过实际需求的结构尺寸和磁通连续性定理等因素确定的基础上，ACPTFM 中影响电机转矩的关键参数:

式中:hPM，tPM和r 既确定了转子的尺寸和永磁体的尺寸，同时还确定了气隙面处转子齿的形状;le确定了气隙面处定子齿的形状尺寸;NI 为ACPTFM 的安匝数，其代表电机的电枢线圈激励源的作用。

ACPTFM 的优化目标之一为最小化转矩脉动Tr，即:

式中:T0p为瞬时电磁转矩峰值与电机三相总的平均电磁转矩的差值;Tm为电机三相平均电磁转矩，如下:

式中:Δθ 为0°～180°电角度对应的机械角度的差值。

平均电磁转矩代表电机的输出转矩，在追求转矩脉动最小时，需要保证电机有足够的转矩输出，因此也将电机总的三相平均电磁转矩作为另一个优化目标，即达到:Tm= 1 600 N·m。

2 变量循序组合优化设计方法

2.1 变量循序组合优化设计过程

优化设计往往是一个循序渐进的过程，优化设计变量的组合排列、设计范围和最佳设计结果，都需要有一个反复的过程来逐渐逼近最终目标。变量循序组合优化设计方法综合了传统多变量优化设计的变量轮换法和RSM 及DOE 方法，将RSM 及DOE 和电磁场直接优化设计方法紧密结合在一起，其中的关键是进行变量循序组合。变量循序组合包括两个方面的含义:1)优化设计过程中，变量的组合是依据对优化设计对象物理结构性质的分析来确定的;2)优化设计过程中，变量的组合是依据响应面的分析计算结果确定的。可以看出，保证了上述两点，变量的组合原则就得到了全面的考虑，即既考虑到了优化设计对象的物理性质，又考虑了响应面优化设计模型对于变量的分析结果。而一般的优化设计方法往往都忽视了优化设计对象的物理性质，只进行纯粹的数学讨论。图2 是本文提出的变量循序组合优化设计方法的设计过程，在其中，变量循序组合上述两个方面的含义决定了优化设计变量的每一次组合。

图2 变量循序组合优化设计过程

2.2 响应面分析法和试验设计方法

响应面分析法(RSM)是数学方法和统计方法相结合的产物，该方法用来建立响应变量和多个输入变量之间的函数关系，最终目的是优化这个响应变量［13］。在RSM 中，获得试验样本数据的方法有两种:①以实际的实验进行试验分析，来获得各种试验样本数据;②虚拟试验，即用计算机仿真代替实际的试验分析，以获得试验样本数据。很明显，虚拟试验节省了实验器材和实验材料，极大地减少了人力和时间的投入，同时避免了人为和环境对试验结果影响，但是其结果的精确性受到所用软件计算精度的限制。无论是实际的实验还是计算机仿真，都需要在试验前进行试验设计(DOE)。DOE 是指一个经过设计或精心安排的试验过程，目的是使试验能科学有序进行，做到以尽可能少的试验次数来获得足够可靠的试验样本信息资料，以保证所获得信息的真实性和全面性［14］。响应面分析法一般要和试验设计方法结合运用。

进行响应面拟合时，可以采用一、二阶数学模型，一般的二阶响应面数学模型:

式中:ε 为随机误差;β 为回归系数，β 的估计值可以采用最小二乘法通过回归分析计算得到。

拟合一、二阶数学模型时，每个优化变量都可以定义成3 个水平级。在实际中，中心组合设计(以下简称CCD)经常被用来进行相应的试验设计且证明很有效［14］，因此本文采用CCD 进行试验设计。CCD 是在2k要因试验设计(或2k部分要因试验设计)的基础上增加若干扩充点得到的，这些增加的扩充点是若干个中心点和2k个距离中心各为±α的坐标轴上的点。

3 ACPTFM 优化设计过程及结果

永磁体磁化方向的长度hPM、永磁体径向长度tPM和转子齿极倒圆角半径r 是属于电机转子部分的尺寸，而定子每极铁心有效长度le属于电机定子部分的尺寸。由ACPTFM 转子结构可以看出，确定hPM和tPM的同时也就是在确定电机转子齿极的尺寸，所以hPM和tPM是转子部分最重要的尺寸。同时，由ACPTFM 的磁路分析可以得出，转子和定子这两部分尺寸对磁链的影响没有很强的耦合性，所以可以分开分步骤优化，这样可以减少优化计算量，同时也保证了优化结果的准确性。因此先确定电机转子部分的尺寸，而定子每极铁心有效长度le先预定为电机单相轴向长度的一半，39 mm(这个尺寸的确定依据于磁通连续性定理)，即定子爪齿之间轴向没有叠加现象。

3.1 永磁体磁化方向长度优化确定

三相平均电磁转矩Tm和转矩脉动Tr与3 个转子设计变量hPM:x1、tPM:x2和r:x3之间的函数关系是一个曲面，所以用二阶响应面数学模型去逼近。对于3 个设计变量，CCD 需要进行15 次试验。CCD试验设计时3 个转子设计变量的变化范围和水平级如表1 所示，其中α =1.216(此取值可以得到正交的中心组合设计)。

表1 CCD 试验设计变量x1，x2，x3 的范围和水平级

根据表1 的优化设计变量范围，采用Ansoft Maxwell 软件进行15 次仿真试验，可以得到变量不同组合的平均转矩和转矩脉动的数据样本。然后采用最小二乘法计算β 的估计值，从而可以得到3 个转子设计变量x1，x2和x3的平均转矩和转矩脉动的拟合响应面模型，直接由响应面模型可以得到转矩脉动和平均转矩的响应面优化图，如图3 和图4 所示。图3 只以转矩脉动最小为优化目标，得到转子设计变量x1，x2和x3的优化值分别为7.302 mm，6.92 mm 和6.364 4 mm，显然此优化值不能保证平均转矩的数值目标。图4 是以转矩脉动最小和平均转矩为1 600 N·m 共同为优化目标，得到x1，x2和x3的优化值分别为7. 154 6 mm，15. 170 5 mm 和5.665 mm。优化过程中发现，拟合响应面的多重相关系数和修正的多重相关系数数值较小，拟合度较小拟合误差较大，所以由此次优化求解不能最终得到转子的全部参数优化值，但是可以确定部分参数并且可以重新确定优化变量的范围。因此综合图3和图4 的结果，当永磁体磁化方向长度hPM:x1往大取值时，转矩脉动会有所加大，但是平均转矩会增大，这样兼顾考虑到永磁体的加工方便性，确定其值为7.5 mm。对于永磁体径向长度tPM:x2和转子齿极倒圆角半径r:x3，根据上述的优化结果可以重新确定出它们的变量变化范围，再次应用RSM 方法进行优化设计。

图3 变量x1、x2 和x3 变化时转矩脉动Tr 响应面优化图

图4 变量x1、x2 和x3 变化时转矩脉动Tr 和平均转矩Tm 响应面优化图

3.2 永磁体径向长度和转子齿极倒圆角半径优化确定

对于2 个设计变量x2和x3，CCD 需要进行9 次试验。2 个变量时，α =1 就可得到正交的中心组合设计。根据上面3.1 中的分析，可以将转子优化设计变量x2和x3的范围重新界定，如表2 所示。

表2 CCD 试验设计变量x2，x3 的范围和水平级

经过9 次计算，得到的变量不同组合的平均转矩和转矩脉动的数据样本，然后计算得到β 的估计值，从而可得到2 个转子设计变量x2和x3的平均转矩和转矩脉动的拟合响应面模型，由响应面模型可以得到它们的响应面优化图，如图5 所示。图5中得到的转子设计变量x2和x3的优化值分别为15 mm 和6. 583 mm。虽然平均转矩和优化目标有6.2%的差距，但是本文后面会进行继续的优化设计，最终将满足平均转矩的优化要求，因此可以根据此优化确定设计变量x2和x3的数值。但是为了加工方便，转子齿极倒圆角半径r 确定为6.5 mm，此时，平均转矩为1 523.09 N·m，转矩脉动为3.65%。

图5 变量x2 和x3 变化时转矩脉动Tr 和平均转矩Tm 响应面优化图

3.3 定子每极铁心有效长度优化确定

在ACPTFM 转子部分的尺寸确定后，进而优化确定电机定子每极铁心有效长度le。图6 是当le变化时平均转矩和转矩脉动的相应变化情况。由图6可以看出，当le由电机单相轴向长度中间位置延长，即定子爪齿之间轴向开始叠加时，平均转矩在增大。但是当le到了一定的长度，平均转矩基本保持不变，说明此时le对电机的平均输出转矩已没有影响。而转矩脉动在le增加时，基本处于增大的趋势，说明电机定子爪齿之间叠加越大，越造成输出转矩的波动。在工程上，一般应该把转矩脉动控制在5%以内，所以，以转矩脉动为优化目标可取得le为47 mm。此时，平均转矩为1 714.99 N·m，满足转矩设计要求并有一定的余量，转矩脉动为4.46%。

图6 定子每极铁心有效长度le 变化对平均转矩Tm 和转矩脉动Tr 的影响

3.4 电枢线圈安匝数和永磁体径向长度最终优化确定

ACPTFM 在前面设计中，一直以最初的安匝数NI 估计值1 050 AT 作为电枢线圈的加载，这个数值比较保守。在此，电机的所有结构尺寸已全部基本确定，因此可以在电机结构尺寸的基础上对电枢线圈加载的安匝数进行校核确定，这个数值是后面电机线圈匝数和电枢电流参数确定的基础。改变电机电枢线圈的安匝数，可以得到相应的平均转矩和转矩脉动的变化情况，如图7 所示。由图7(a)可以看出，在安匝数较小时，由于磁路的非饱和性，平均输出转矩随电流呈线性变化。当安匝数继续增加超过一定数值时，由于受磁路饱和的影响，平均转矩和安匝数不再是线性关系，而是基本不再有较大的增加。在电机设计时，一般应使磁路处于接近饱和的状态，即曲线的膝部［15］。因为如果低于曲线的膝部，铁心物理磁路没有得到充分的利用，造成铁心材料和电机空间体积的浪费;而当高于曲线的膝部，铁心物理磁路处于饱和状态，安匝数的增加不会带来电机输出转矩相应较大的增加，从而浪费了铜线以及线圈所占的空间，这也不合理。图7(b)表示除过第一个点外，转矩脉动随电枢线圈安匝数的变化不是很大，所以就以安匝数对平均转矩的影响来确定电枢线圈的安匝数，在曲线的膝部取安匝数为1 200 AT(对应的电流密度为2.1 A/mm2，满足铜的电流密度要求)，此时，平均转矩为1 905.99 N·m，转矩脉动为5.48%。

图7 电枢线圈安匝数NI 变化对平均转矩Tm 和转矩脉动Tr 的影响

上面的数据显示，平均转矩已经超过了最初的优化目标，因此对电机的永磁体径向长度再做调整，以节省材料，达到最佳设计。图8 是当永磁体径向长度tPM变化时平均转矩和转矩脉动的相应变化情况。根据所得数据，考虑电磁场有限元模拟可能的误差，将平均电磁转矩向大的方向取值。因此，最终选择永磁体径向长度为12mm，此时，平均转矩为1 701.76 N·m，转矩脉动为4.63%。

图8 永磁体径向长度tPM变化对平均转矩Tm 和转矩脉动Tr 的影响

4 结 语

TFM 属于一种特种电机，具有较高的转矩密度，其设计自由度高，容易设计成多极电机，很有利于在低速、大转矩场合应用。对于该种电机，传统的基于磁路修正系数的详细设计方法已经很难获得良好的设计结果。本文提出的变量循序组合优化设计方法，综合运用了变量轮换法和RSM 及DOE 设计方法，其设计过程以变量循序组合为关键，既考虑了所建立的优化设计模型本身优化计算结果的数学分析，又考虑了优化设计对象物理结构性质的分析，使优化设计过程既依据严密的数学计算又兼顾优化对象本身的特性，将优化设计数学模型和工程实际设计模型紧密的结合起来，从而很好地解决了实际问题。本文采用该方法对ACPTFM 进行了详细设计，使得电机的主要参数输出转矩为1 701.76 N·m，转矩脉动控制在4.63%以内。实际应用表明，该方法在优化过程中充分考虑了所有结构尺寸对磁路的影响，最终得到的ACPTFM 设计达到了最佳，满足了电机的设计需求。

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