提高永磁同步电机鲁棒性的有源阻尼控制方法

孙明翰

(北京工业大学 信息学部，北京 100124)

0 引 言

永磁同步电机具有功率密度大、结构简单、损耗小、控制性能好的特点，在电机控制领域中应用广泛[1-3]。随着当今社会对于环保问题的日益关注，越来越多的学者投入到了永磁同步电机的研究行列。对于控制精度及性能的进一步提高，永磁同步电机在控制结构及控制算法方面的研究就越来越重要[4-5]。在永磁同步电机之前串入LC滤波器可以有效地滤除谐波，但是由于带LC滤波器的永磁同步电机属于高阶系统，容易发生谐振尖峰等问题，进而造成系统的控制性能下降。采用有源阻尼是当前比较常用的一种抑制谐振的方式[6-7]。

文献[8]指出数字控制引入的控制延时对于LCL并网逆变器有源阻尼控制方法有很大的影响，使得有源阻尼方法等效在滤波电容上并联电阻与电抗，电阻不再是纯粹的电阻，而是一个与频率相关的阻抗。文献[9-10]指出LCL并网逆变器采用传统的电容电流反馈有源阻尼方法时，在谐振频率高于1/6倍开关频率时，等效阻尼电阻的方向由正变为负。而且当谐振频率等于1/6倍开关频率时难以通过反馈系数实现系统的谐振抑制。

电机在运行过程中系统的参数会因其运行温度而发生改变，其中电枢电阻约变化20%～40%，电感约变化20%～50%[11-12]，电机参数的变化会导致谐振频率发生变化，从而使得谐振频率跨越1/6倍开关频率进入负阻性区间，降低了系统的鲁棒性。

本文利用复阻抗法推导了前置LC滤波器永磁同步电机用有源阻尼方法时控制延时所带来的虚拟电阻和虚拟电抗的影响。提出一种带有补偿系数的延时补偿方法，通过降低系统的控制延时来应对电机参数宽范围变化的影响，提高了系统的鲁棒性。

1 前置LC滤波器永磁同步电机电容电流反馈拓扑结构

1.1 主电路拓扑结构

前置LC输出滤波器的永磁同步电机电容电流反馈有源阻尼拓扑结构如图1所示。图1中，Udc为母线电压，idc为母线电流，逆变器为三相桥式逆变电路，永磁同步电机前置LC滤波器进行滤波处理，Lf为滤波电感，Cf为滤波电容，PMSM为永磁同步电机。

图1 前置LC输出滤波器永磁同步电机控制系统

1.2 系统控制结构

为了简化分析，忽略电压外环，仅分析电流单闭环结构，在两相静止坐标系采用空间矢量脉宽调制算法，电流环控制器采用PI调节器，如图2所示。

图2中，Gpi(s)为电流环调节器，KPWM为逆变器的传递函数，Gd(s)为控制器及计算过程中所产生的延时总和，K为电容电流反馈系数。

图2 电容电流反馈有源阻尼电流环控制框图

数字控制会引入固有的控制延时，它包括采样与计算产生的一拍滞后和零阶保持器产生的半拍滞后，两者分别被称作计算延时和脉宽调制延时。

计算延时可以表示：

Gdelay(s)=e-sTs

(1)

脉宽延时为数字PWM过程，具有零阶保持器的特性，可以表示：

(2)

由式(1)、式(2)可得，电容电流反馈有源阻尼总的等效控制延时：

Gd(s)=Gdelay(s)·GH(s)

(3)

2 考虑控制延时下电容电流反馈有源阻尼虚拟电阻与电抗的影响

考虑控制延时情况下，有源阻尼等效虚拟阻抗在LC滤波器谐振频率处的特性实际上是影响有源阻尼控制稳定性的关键因素，因此有必要对虚拟阻抗在不同频率区间所表现出来的特点进行研究。

前置LC滤波器永磁同步电机电容电流反馈有源阻尼方法的控制对象等效为图3。

图3 有源阻尼的控制对象

为详细分析前置LC滤波器永磁同步电机电容电流反馈有源阻尼方法对于谐振频率的作用效果，以下对虚拟电阻的正负阻性，虚拟电抗的感性容性做了如下分析。

2.1 虚拟等效电阻对谐振抑制的影响

本文仅讨论等效电阻对谐振抑制的效果，因此在图3中忽略等效电抗Xeq，根据复阻抗法分析传递函数，认为(Lq+R)与(Req//Cf)并联。

(4)

可得有源阻尼等效电阻的控制对象QactivedampR：

(5)

式中：Req为等效电阻；R为电机定子电阻；Lf为滤波电感；Cf为滤波电容；Lq为电机电感。等效电阻Req的正阻性特性对于谐振抑制具有抑制作用，将s=jω代入式(5)中可得：

QactivedampR(jω)=

(6)

为体现有源阻尼对于谐振的抑制效果，令：

Lf+Lq=LfLqCfω2

(7)

将ω=2πf代入式(7)，可得实际的谐振频率：

(8)

虚拟电阻分析中谐振频率为固有参数，不含等效电阻Req，电阻的正负特性不会导致系统的谐振频率的移动。当谐振频率如式(8)时可以有效地抑制谐振，此时的QactivedampR如下：

(9)

当等效电阻Req<0时，参考文献[13-14]计算虚拟电阻的方法，代入得到虚拟电阻，显然式(5)中右半平面存在开环极点，系统由最小相位系统变为非最小相位系统，系统不稳定，因此应该避免有源阻尼等效电阻的阻性由正阻性变为负阻性。

2.2 虚拟等效电抗对谐振频率的影响

由于等效电阻仅起到谐振抑制的作用，对于谐振频率的移动并无影响，故这里忽略等效电阻，仅考虑虚拟电抗呈现感性的情况，呈容性和以下分析一致。

根据复阻抗法，可得有源阻尼等效电抗的控制对象QactivedampL如下：

同理，为分析等效电感对于系统谐振频率移动的影响，将s=jω代入上式：

QactivedampL(jω)=

(11)

令：

LfLeq+LfLq+LqLeq=LqLeqLfCfRω2

(12)

等效电感Leq影响下的谐振频率：

(13)

电抗呈感性时系统的谐振频率发生右移，相同的分析可以得到电抗呈容性时会使得谐振频率左移。

上述分析中，有源阻尼等效电阻呈正阻性可以有效地抑制LC滤波器产生的谐振，但当等效电阻呈负阻性时，系统由最小相位系统变为非最小相位系统进而失去了稳定性。等效电抗的感性或容性会导致系统谐振频率的移动。

3 电容电流反馈有源阻尼稳定性分析

前置LC滤波器永磁同步电机采用电容电流反馈有源阻尼方法电流环开环传递函数如下式：

(14)

文献[11-12]中提到的电机在运行过程中，电机的参数会因其运行温度而发生改变，其中电枢电阻约有20%～40%的变化，电感出现20%～50%的变化。

3.1 定子电阻和电感的变化对系统稳定性的影响

为了验证定子电阻与电感给系统稳定性带来的影响，分别讨论定子电阻与电感不发生变化，定子电阻与电感分别变为1.2Rs与0.8Lq，定子电阻与电感分别变为1.4Rs与0.5Lq三种情况，三种情况下开环传递函数Gopen(s)的Bode图如图4所示，在穿越-180°线时相位裕度增加以及相位裕度减小的方向分别用下标(+)和(-)表示。

图4 不同电阻电感下采用数字控制开环传递函数Bode图

图4中，幅值曲线与相频曲线分别以0为纵轴分界点，相频曲线由低角度向高角度穿越-180°线称之为正相角穿越，由高角度向低角度穿越180°线为负相角穿越。根据正负穿越的次数不同可以将正负穿越分为N+和N-，根据奈奎斯特稳定性判定定理，若2(N+-N-)=P,系统为稳定的，否则系统处于不稳定状态[15-17]。

通过开环传递函数式(14)，系统在右半平面的不稳定极点P的个数始终为0，当电阻和电感不发生变化时，开环传递函数幅值曲线0以上部分所对应的频率区间中相频曲线未穿越-180°线，N+=N-=0，此时2(N+-N-)=P=0。若电机定子电阻变为1.2Rs，电感变为0.8Lq时，幅值曲线0以上部分对应频段相频曲线沿相位减小的方向穿越-180°线，此时N+=0，N-=1，2(N+-N-)P，系统不稳定。若电机定子电阻变为1.4Rs，电感变为0.5Lq，同理根据奈奎斯特稳定性定理判断系统同样不稳定。

3.2 等效电阻正负分界频率的计算

从图4中可以看出，前置LC滤波器永磁同步电机用电容电流反馈有源阻尼的情况下存在临界稳定的分界频率fR，当谐振频率frfR时，相频曲线穿越-180°线，此时根据奈奎斯特稳定性判据可以判断系统为不稳定。为找出临界稳定的分界频率与开关频率的关系，列出表1。

表1 不同定子电阻与电感情况下的谐振频率与开关频率的比值(开关频率fs=10 kHz)

利用Bode图的稳定裕度的临界稳定，即幅值裕度与相角裕度均为0，此时需要满足以下条件：

(15)

即满足：

G(jωR)φ(ωR)=-π

(16)

将ω=2πf代入式(16)可得：

G(j2πfR)φ(2πfR)=-π

(17)

可以解得临界稳定的分界频率fR：

(18)

将电阻正负分界频率与电抗Xeq的感抗容抗区间作了区分，如表2所示，其中fR为阻抗Zeq的等效电阻Req的正负分界频率，fx为等效电抗Xeq的感抗容抗分界频率。

表2 电容电流反馈有源阻尼阻抗特性分析

据前面分析，电容电流反馈有源阻尼的正阻性区间为(0,1/6fs)。在这个基础之上由于电机参数的变化以及有源阻尼等效电抗所呈现的容性或感性，导致谐振频率跨越1/6fs，等效电阻进入负阻性区间，失去了阻尼的有效性。

另一方面，开环传递函数的幅值曲线由于电机参数的改变不仅仅导致谐振频率移动，且会使幅值曲线上升，使得幅值裕度小于0，两方面原因使得系统不再稳定。

4 带补偿系数的延时补偿方法

为了改进之前提到的控制延时所带来的不利影响，提高系统的控制性能，本文提出了一种带补偿系数的延时补偿环节，来降低延时对有效阻尼区的负面影响，补偿环节如下式：

Gcomp(s)=λesTs

(19)

控制框图如图5所示，区别于图2，将延时补偿环节加入前向通路来降低延时。

图5 带补偿环节的电容电流反馈有源阻尼电流环控制框图

4.1 改进的电容电流反馈有源阻尼系统有效阻尼区

将图5中电容电流反馈比较点及引出点后移，得到如图6所示的并联在电容两端的等效阻抗图[18-19]。

图6 带补偿环节的电容电流反馈有源阻尼电流环等效控制框图

其中，等效阻抗Zeq(s)变化：

(20)

等效电阻Req和电抗Xeq变化：

(21)

根据式(21)将等效电阻Req与等效电抗Xeq的频率特性列出，如表3所示。

表3 带反馈环节电容电流反馈有源阻尼阻抗特性分析

相比于未加补偿环节，等效电阻Req的正负电阻的分界点从1/6fs变为了1/2fs，使得有效阻尼区扩大了3倍。电机参数的变化使得谐振频率至多移动到3.09 kHz附近,系统的开关频率为10 kHz，等效电阻不会变为负阻性，解决了电机运行过程中参数变化导致系统谐振频率穿越正负电阻分界点。

4.2 改进之后的系统稳定性

根据图6，加入相位补偿环节Gc(s)后的开环传递函数：

G′open(s)=GPi(s)Gd(s)KPWMGc(s)GL(s)Gm(s)·

(22)

图7为加入补偿环节Gcomp(s)以后，考虑最恶劣的情况下，也就是电机电阻变化40%、电感变化50%情况下的Bode图。

图7 补偿系数对于电阻与电感变化最大情况下影响的Bode图

系统在右半平面的不稳定极点数P的个数始终为0。补偿系数λ=1时，此时的系统虽然加入了延时补偿esTs，但是N+=0，N-=1，2(N+-N-)P，系统不稳定；当补偿系数为0.5时，2(N+-N-)P，仍不稳定；当补偿系数λ=0.1时，0以上不再出现180°线穿越，系统稳定。随着补偿系数的加入，降低幅相曲线，增大了稳定裕度，同时考量快速性与稳定性的基础上选择将补偿系数λ设为0.1。

5 控制系统仿真验证

为了验证本方法的正确性与可行性，利用MATLAB/Simulink软件对前置LC滤波器永磁同步电机用电容电流反馈有源阻尼方法控制系统进行建模，并对本文的方法进行了仿真验证，电机的各项参数如表4所示。

表4 永磁同步电机系统参数

当电容电流反馈系数K=0.13时，电流环Kp=0.1，Ki=1 500，0.5 s时电机电阻与电感不变、电阻和电感分别变化20%与20%、电感与电感分别变化40%与50%三种情况的电流仿真波形如图8～图10所示。

图8 电阻与电感不发生变化电流波形图

从图8中可以看出，电机电阻和电感不发生变化时，A相电流波形为正弦波形，系统可以稳定运行。但在图9与图10中电机参数发生变化时，电流波形均出现发散，变化越大，发散程度越严重，与理论分析一致。

图9 0.5 s电阻与电感分别变化20%与20%电流波形图

图10 0.5 s电阻与电感分别变化40%与50%电流波形图

电机电阻和电感分别变化40%和50%的情况下加入补偿环节，电流波形如图11所示，可以看出，在0.5 s处对于电流波形基本没有影响，原因是电阻和电感无论如何变化都不会使得谐振频率移动至负阻性区间，改善了系统在对于电机运行过程中电机参数变化所带来的负面影响，提高了系统的稳定性与鲁棒性。

图11 加入补偿环节之后0.5 s电阻与电感分别变化40%与50%电流波形图

通过图12和图13可以看出，A相电流的总谐波失真，从5.06%变为了2.12%，减少了60%，降低了谐波分量，提高了控制性能。

图12 未加补偿环节时A相电流THD

图13 加入补偿环节后A相电流THD

为讨论快速性与稳定性，图14、图15分别讨论了未加补偿环节与加入补偿环节对于电流环q轴电流的跟踪能力。

图14 未加补偿环节时q轴电流

图15 加入补偿环节时q轴电流

未加补偿环节时，对于初始15 A给定电流的跟踪时间大约为0.02 s，但出现约6%的超调，且电流波动约为0.3 A，在0.5 s对于10 A电流的跟踪时间为0.02 s。加入补偿环节之后，对于初始15 A给定电流的跟踪时间约为0.15 s，未出现超调，且电流波动约为0.1 A，在0.5 s对于给定波形的跟踪时间为0.1 s，从以上两方面可以看出，加入补偿环节后动态性能稍受影响，但稳态性能有显著提高。

6 结 语

电机在运行过程中电机的电阻和电感会发生变化，使得谐振频率移动进入到负阻性区间，而且还会带来稳定裕度的降低，这两方面都会降低电机运行的稳定性。本文提出了一种带有补偿系数的延时补偿环节，一方面通过补偿系数在兼顾系统快速性与稳定性的基础之上提高系统的稳定裕度，另一方面通过延时补偿，将等效电阻的正阻性区间由(0～1/6fs)拓宽为(0～1/2fs)，即便电机电阻变化40%、电感变化50%也不会使得谐振频率移动到负阻性区间，提高了系统对于电机运行过程中参数变化的鲁棒性，且谐波较小，控制性能有所提升。