直流直线电机自适应状态空间极点配置控制

黄 进,邓 皓,汪纪锋

(1.重庆工业职业技术学院,重庆401120;2.重庆大学,重庆400044)

0 引 言

直流直线电机(以下简称DCLM)是一种将电能直接转化为直线运动的机械装置,在电机内部结构中,没有任何的转换元件[1-2],具有结构简单、噪声低、速度快、成本低、运行可靠、高效、节能以及装配灵活性大等优点[3-4],在自动化生产、民航交通、军事等领域得到了广泛应用[5-6]。但是DCLM在运动过程中,外界与电机之间有接触的现象,此时,电机就会产生摩擦力,摩擦力是影响电机控制的一个重要因素。因为电机与外界有摩擦力的存在,所以在低速运动时,DCLM往往不能输出平稳的速度,甚至出现滞滑(stick-slip)现象[7-8]。另外,在DCLM运行速度零点处,其摩擦力不是一个连续的过程,DCLM在一个时间段内同时做正向或者反向运动时,其在电机正反向的换向点,会出现较大的速度跟踪误差,从而降低了系统的跟踪精度,因此,为了提高DCLM的稳态控制性能,需要对稳态精度进行补偿。

近年来,国内外学者针对这一问题进行了大量的研究,目前常用于DCLM的控制器控制技术主要有:两级滤波滑模观测器算法[9],模糊神经网络控制算法[10],自抗扰控制算法[11],自适应模糊PID控制算法[12],自适应鲁棒控制算法[13]等。为了消除摩擦力对电机性能的影响,有学者提出利用最优鲁棒控制算法对DCLM进行控制,用以消除控制误差[14]。还有学者提出,用模糊PID算法对电机进行控制,可以获得满意的稳态精度[15]。

显然,目前的研究都是建立在控制算法上对DCLM进行控制,且所有的算法都有一个共同的特点,几乎都是智能控制算法,算法计算复杂且满足不了电机实时控制的要求,而且所有的算法并没有分析直流直线电机内部结构,只是利用的“黑箱原理”来控制电机,在控制界中称为“经典理论”。基于此,本文提出一种自适应状态空间极点配置的算法,用以保证DCLM的稳态精度。该算法是由电机控制系统极点的位置决定,期望把DCLM闭环系统的极点配置到理想的位置上,可以得到控制系统良好的稳态性能,这个过程就是,希望配置好的DCLM控制系统的极点达到一个理想的结果。通过自适应状态空间极点配置控制器,根据系统动态性能和稳态性能的要求,自动计算得出DCLM状态反馈控制律,再由状态反馈控制律可以得出DCLM状态反馈增益矩阵,得到的状态反馈增益矩阵可以达到改善控制系统动态和静态性能的目的。通过本文设计的自适应状态空间极点配置控制器,DCLM闭环控制系统可以根据实际情况,不断调整选择合适的状态反馈增益矩阵,使系统可以获得良好的动态特性,根据DCLM控制系统的稳态性能要求,自适应状态空间极点配置控制器在整个闭环系统之前加入一个补偿增益矩阵,这是为了消除系统的稳态误差,使得控制系统具有良好的稳态性能。通过上述方法,可以将DCLM闭环控制系统的零极点配置到理想的位置上,最终系统获得更好的动态特性和稳态特性,通过理论推导和MATLAB仿真结果表明,该控制算法可以得到DCLM更加精确的控制方式,且鲁棒性更好。

1 DCLM的数学模型

DCLM在实际运行过程中,会受到滑动摩擦力、粘滞摩擦力等外界作用力,将这些外力统一用N表示,并假定外力的大小与速度成正比,比例系数为C。则简化后的DCLM的数学模型框图如图1所示。

图1 直流直线电机简化数学模型框图

图1 中,KE表示与速度有关的反电动势系数,即KE=kbBδlN;τL表示线圈回路的电磁时间常数,

低频段时,忽略线圈电感L常数,传递函数简化:

式中:km和kE表示电机直线运动的加速度与速度有关的反电动势系数;R表示线圈回路电阻系数;m表示DCLM动子的总质量;c表示阻力系数;k表示弹簧弹力系数。

2 自适应状态空间极点配置控制器设计

2.1 DCLM的状态空间模型

为满足DCLM实际需求,现将电机内部参数固定后可以得到DCLM数学模型的开环表达式:

DCLM数学模型转化为状态空间表达式,选取DCLM内部两种状态:电机直线运动速度状态Ω和电机直线运动加速度状态α,以及DCLM的输入信号状态n,作为状态空间变量,通过式(3),可以将DCLM化为状态空间表达式:

式中:x为2维状态,即电机直线运动速度和加速度状态;u为输入,即电机的输入信号状态;y·为电机的输出,即是电机的位移,A为2×2系统矩阵;B为2×1输入矩阵;C为1×2输出矩阵,而耦合矩阵D=0。

2.2自适应状态空间极点配置

在DCLM闭环控制系统中,要求系统响应动作快、动态过程要平稳、跟踪值要准确等几个性能要求,这些性能要求都跟DCLM闭环控制系统极点位置有关。为了让DCLM有更好的动态特性,自适应状态空间极点配置控制器会根据系统实际运行情况,不断调整状态反馈控制律,把DCLM系统的闭环极点配置到理想的位置上,以这组理想的闭环极点作为系统配置的性能指标,选择状态反馈增益矩阵,可以获得良好的动态性能,再根据系统的稳态误差,自适应状态空间极点配置控制器会选择合适的补偿增益矩阵,放在整个系统之前,可以更好的消除系统静态误差,获得良好的稳态性能。

DCLM的状态空间极点配置定理:对于单输入连续时间线性时不变受控系统:

系统的m个极点可以完全任意配置的充要条件为(A,B)完全能控。

根据DCLM的状态空间模型,自适应状态空间极点配置算法如下:

Step 1:首先要先计算(A,B)矩阵的能控性,如完全能控,则进入下一步,如果不完全能控,则跳到Step 10。

如果(A,B)完全能控,则存在非奇异变换:x=-

Px将式(5)化成能控标准Ⅰ型:

Step 2:计算加入反馈增益矩阵后的反馈增益矩阵控制律。

加入状态反馈增益矩阵:m=(m1,m2),那么状态反馈控制律:

式中:x为1×2的电机反馈增益矩阵;v为参考输入,将式(9)代入式(5)中,即可以得到加入反馈增益矩阵的DCLM状态空间表达式:

Step 3:计算加入反馈增益矩阵的DCLM闭环传递函数。

DCLM在实际运用过程中,不同的环境,不同的地方,对电机控制性能要求不一样,所要求的性能指标也不一样,这时,要根据自适应状态空间极点配置控制器,来选择不同的状态反馈增益矩阵。加入反馈增益矩阵后的DCLM传递函数:

通过式(11)可以得到闭环特征多项式:

根据DCLM的控制场合的需要,要求不同的性能指标,本文的DCLM要求在保证稳态精度指标kv=5,ess≤0.8的前提下,保证动态期望指标δp≤8.5%,ts≤2,所确定的期望电机闭环系统的特征值:λ1*=-2+j2.46,λ2*=-2-j2.46,可以得出所期望的闭环特征多项式:

Step 5:将希望得到的闭环控制系统特性多项式D*f(s)与加入状态反馈增益矩阵的闭环特征多项式Dm0(s)进行比较,得出反馈增益矩阵系数。

由式(12)与式(13)比较可以得到,电机反馈增益矩阵的值:,那么可以得到DCLM反馈增益矩阵。

Step 6:计算Step 1中的能控规范形变换矩阵p,并求其逆矩阵,在计算能控标准型反馈增益矩阵

Step 7:自适应调节器计算增益矩阵K*。

因为电机数学模型为Ⅰ型系统,要求系统的位置误差,即电机输出位移的稳态误差esp=0。由系统误差的定义esp=lsi→m0sE(s)=lsi→m0s(R(s)-Y(s))=lsi→m0s(R(s)-KGm(s)R(s))=0,可以求得系统的增益矩阵K*。

Step 8:根据自适应调节器计算出的系统稳态误差调试增益矩阵K*,并从新确定系统的反馈增益阵m。

根据DCLM数学模型,在工程实际中,将电机的开环放大系数k1取值到等效补偿装置K*,并将补偿装置放在整个DCLM闭环系统之前,用以减小误差,同时满足系统的稳定性和动态性能要求,并返回Step 1从新进行极点配置。

Step 9:确定等效补偿装置K*的取值范围,返回Step 7从新计算增益矩阵K*,直到获得满意控制效果。

Step 10:停止计算。

以上步骤,即为DCLM保证稳态精度的自适应状态空间极点配置算法。该算法的提出,既克服了DCLM运动过程中摩擦力的影响,又能在DCLM运行过程中,得到良好的动态和静态特性。所以,应从整个闭环系统的状态空间极点配置去解决电机的稳态精度,自适应状态空间极点配置系统的结构图如图2所示。

图2 自适应状态反馈极点配置结构图

由图2可知,整个系统由状态反馈极点配置控制器、自适应调节器,DCLM以及等效补偿装置K*4部分组成,通过DCLM状态变量实测值,本文选取直线电机运动速度和加速度为状态变量,以及电机的位移误差实测值,即稳态误差,反馈给自适应调节器,由自适应调节器不断地调节状态反馈极点配置控制器以及等效补偿装置K*,即状态反馈极点配置,直至自适应控制稳态误差趋于零,电机输出获得满意的动态性能和稳态性能。

3 仿真实例

为了证明本算法具有更好的控制性能和稳态性能,分别将DCLM应用两种信号进行仿真。

选取DCLM的主要参数如表1所示。

表1 DCLM主要参数

那么得出简化后的DCLM数学模型由式(3)给出,状态空间模型由式(4)给出。要求DCLM给定输入为r(t)=10+t,在保证静态指标ess≤0.8前提下,要求动态期望指标:δp≤8.5%,ts≤2。

通过本文算法自适应状态空间极点配置在线计算,可以计算出DCLM控制系统的等效补偿装置K*=10.3,反馈增益矩阵m=[5,2]时可以获得控制系统更好的动态性能和稳态性能。自适应状态空间极点配置算法的MATLAB/Simulink仿真图如图3所示。

图3 自适应状态空间极点配置算法的MATLAB/Simulink仿真图

在t=0时,对DCLM输入指定位移信号,记录其直线电机时间由0～6 s之间,位移0～60 mm之间的变化过程;在t=10 s时,对DCLM输入位移阶跃信号,记录其直线电机时间由10～40 s之间,位移0～100 mm之间的变化过程,可以得到对每种信号运用不加任何控制算法、加入传统状态空间极点配置算法、以及本文给出的自适应状态空间极点配置控制算法,分别进行仿真,得出DCLM在自适应状态空间极点配置算法下的动态过渡过程、稳态精度及速度跟随能力,其系统的响应曲线如图4所示。

图4 DCLM阶跃响应曲线图

从图4中可以看出,在t=10 s,设定DCLM位移为100 mm的阶跃信号中,记录其直线电机时间由10～40 s之间,位移0～100 mm之间的变化过程,通过曲线可以得出,不加任何控制器的系统,不能保证DCLM的动态特性;在加入传统状态空间极点配置算法的系统中,虽然可以保证DCLM的动态性能,但是不能保证其静态特性,具有较大的误差;而本文提出的保证稳态精度的自适应状态空间极点配置算法具有上升时间短,超调量小,过渡过程时间短,可以获得更好的动态性能,同时也保证了DCLM的稳态精度,可以获得的更好的静态特性。图5为DCLM速度控制的仿真曲线,在t=0时,设定DCLM位移为100 mm的速度信号,记录其直线电机时间由0～6 s之间,位移0～60 mm之间的变化过程。通过曲线可以得出,DCLM传统状态空间极点配置控制器在每一个时刻,都不能达到标准位移点,不能完全跟随控制系统的速度,存在一定的速度响应误差,且误差比不加任何控制器时的原系统误差偏大。而保证稳态精度的自适应状态空间极点配置算法,在刚开始时刻,出现微小误差,但在0～3 s时,逐渐缩小误差,并在t≥4 s的每一个时刻,能够达到标准位移点,系统能够完全跟随标准速度响应曲线,消除了速度响应误差,并且同时保证了控制系统的动态特性和稳态性能,所以保证稳态精度的自适应状态空间极点配置算法具有更好的控制性能。

图5 DCLM速度响应曲线图

4 结 语

本文设计了一种保证稳态精度的自适应状态空间极点配置控制算法并把它应用于DCLM的控制中。给出了自适应状态空间极点配置控制DCLM保证稳态精度的控制方案,根据DCLM的状态变量以及电机位移稳态误差,反馈给自适应调节器,自适应调节器不断地调节状态反馈极点配置控制器以及等效补偿装置,直到调整到电机位移误差趋于零。通过仿真结果表明:DCLM采用本文设计的自适应状态空间极点配置算法可以获得更好的动态特性和静态性能,提高了系统的控制品质,增强了系统的鲁棒性。

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