改进FOPID控制器在PMSM伺服系统中的研究与应用

金 鹏,李 晶,田 杨

(辽宁工程职业学院，铁岭 112008)

0 引 言

永磁同步电机(以下简称PMSM)具有转速高、精度及稳定度高、响应速度快、节能高效的优点，广泛应用于工业自动化领域，已成为主流的伺服系统[1]。由于PID编程简单、实用，所以长久以来伺服系统一直采用PID算法调节电机转速。虽然当前很多智能PID算法可以提高系统反应速度、控制精度以及降低超调，但由于PMSM具有非线性及强耦合的特性，智能PID算法往往不能提供高可控性及高灵活度[2]。

分数阶PIλDμ(以下简称FOPID)在PID基础上引入积分阶次λ和微分阶次μ2个控制参数，可以使系统获得更优的可控性及灵活度[2]，但却增加了参数整定难度。目前有学者提出通过模糊算法自适应调节Kp,Ki,Kd，手动调节λ和μ，但这种调节方法并不是5个参数同时调节，忽视了各参数间的关联性[2-4]。

基于以上不足，本文研究了利用自适应粒子群算法(以下简称PSO)对FOPID控制器的5个参数同时整定，并利用自适应权重策略和混沌算法(Chaos)来克服普通PSO易于陷入局部极小解、收敛速度慢的缺点。仿真及实验平台测试结果表明，这种自适应混沌粒子群算法(以下简称ACPSO)具有较好的控制效果。

1 FOPID及其整数阶近似

(1)

分数阶FOPID的时域微分方程[5]如下：

(2)

式中： λ>0，μ>0。

将式(1)代入式(2)，得到得FOPID的传递函数：

Gc(s)=Kp+Kis-λ+Kdsμ

(3)

式(3)中，当λ=1，μ=1时，Gc(s)如式(4)所示，分数阶FOPID则变成整数阶PID。可见，整数阶PID是分数阶FOPID的一个特例。

Gc(s)=Kp+Ki/s+Kds

(4)

由于具有无限维特性(λ，μ为大于0的任意实数)[5]，所以在实际的控制过程中不便于直接应用，需要利用Oustaloup滤波算法在有限频域段(wb，wh)内将微积分算子近似转化为整数阶传递函数[5]。由于在高频区域这种近似效果并不好[2]，文献[5]改进优化Oustaloup滤波算法，公式如下[5]：

(5)

为证明分数阶系统近似为整数阶系统的合理性，假设系统闭环传递函数为：

在频域(10-4，104)、阶次N=4时，图1、图2分别为频域和时域内阶跃响应曲线对比图。可见，整数阶传函与分数阶传函的时域相应曲线基本重合，改进Oustaloup滤波算法的近似效果非常好。

图1 频特性对比

图2 时域特性对比

2 ACPSO-FOPID控制器设计

2.1 自适应惯性权重策略

粒子群算法是一种基于迭代的优化算法，系统初始化为一组随机解，通过迭代搜寻最优值[6，7]，当粒子i第k次迭代时，位置和速度分别表示为Xi(k)和Vi(k)：

Xi(k)={xi1(k)，xi2(k)，…，xin(k)}

Vi(k)={vi1(k)，vi2(k)，…，vin(k)}

式中：n为搜索空间的维数，当前粒子的速度和位置按式(6)和式(7)更新下一代的速度和位置：

vi(k+1)=ωi(k)vi(k)+r1c1[pi(k)-xi(k)]+

r2c2[pg(k)-xi(k)]

(6)

xi(k+1)=xi(k)+vi(k+1)

(7)

式中：k为粒子i的迭代次数，ωi(k)为粒子i当前的惯性权重，代表粒子i寻优速度；c1，c2为粒子i的学习因子；r1，r2分别为(0，1)间的随机数；pi(k)为粒子i迭代k次经历最优位置；pg(k)为总群中所有粒子迭代k次的历史最优位置[8]。

这里根据粒子i当前的适应度fi(k)的大小自适应调节惯性权重ωi(k)，如式(8)所示。在寻优初期，种群中粒子i适应度普遍很小，粒子i以较快的速度(较大的惯性权重)在全局快速搜索；当粒子i逐渐趋于最优解时，粒子i适应度越来越大，粒子i以较小的速度(较小的惯性权重)在最优值附近精细搜索[9]。

(8)

2.2 混沌搜索策略

利用混沌映射来初始化原始种群，可以使所有的粒子能够均匀地散布到可行解空间当中[2]。对比Logistic映射，Tent映射迭代速度更快，生成的初始种群遍历性、均匀性更好[10]。Tent 映射公式如下：

xk+1=1-2|xk-0.5| 0≤xk≤1

(9)

式(10)对Tent 映射进行改进，加入随机变量，增强了映射的随机性和遍历性。

xk+1=1-2|xk+0.1rand(0,1)-0.5| 0≤xk≤1

(10)

一旦种群出现了早熟的现象，混沌算法(Chaos)会在最优解附近区域中进行混沌搜索，并替换掉原有种群里的一部分粒子，进而使整个粒子群逃离局部极小解。混沌搜索步骤如下：

(11)

2.3 基于ACPSO算法的FOPID参数寻优

主要步骤如下：

步骤1：粒子群参数初始化，粒子数量Q，维数n，学习因子c1、c2，最终迭代次数Zmax，搜索空间上限G1和下限G2等参数。

步骤2：利用Tent混沌映射算法初始化粒子的位置和速度，生成Kp,Ki,Kd,λ,μ的位置序列，使其位于搜索空间内。

步骤3：将ITAE指标作为粒子群的适应度函数，计算每个粒子的个体适应度，进而确定每个粒子经历的最优位置和全局最优位置。

步骤4：按式(6)、式(7)更新粒子速度和位置。按照式(8)更新惯性权重，计算更新后的每个粒子经历的最优位置和全局最优位置。

步骤5：按式(12)求出群体的适应度方差σ2(k)，若σ2(k)小于阀值(设阀值为0.1)，即认定当前粒子群陷入局部极小解，转步骤6，否则转步骤7。

(12)

步骤6：选取L(L=20%Q)个适应度值最高的粒子执行混沌搜索。

步骤7：算法迭代次数达到Zmax，寻优结束，求得Kp,Ki,Kd,λ,μ全局最优解。

3 仿真及测试

3.1 建模仿真

在MATLAB/Simulink环境下，按照交流伺服电机控制系统的控制结构搭建双闭环控制系统仿真模型，电流环采用PI控制器，速度环分别采用PID，PSO-FOPID，ACPSO-FOPID算法进行了测试。电机参数和种群参数设置如表1、表2所示。

表1 电机参数

表2 种群参数

图3为3种算法下的转速响应曲线，表3为3种算法下系统的性能指标。

图3 3种算法下转速响应曲线

表3 时域指标

图4、图5分别为PSO,ACPSO 2种算法迭代100次的适应值收敛曲线。

图4 PSO算法适应值收敛曲线

图5 ACPSO算法适应值收敛曲线

通过图3～图5及表3可以看出，ACPSO算法收敛速度比PSO算法更快(ACPSO算法迭代41次收敛，PSO算法迭代50次收敛)，且ACPSO-FOPID具有更好的性能指标。

3.2 实验测试

实验测试时采用TMS320F28335电机专用DSP处理器作为伺服电机的主控制器，测试对象为三菱HG-KN43J-S100小功率伺服电机。测试时对电机加载负载转矩0.2 N·m，给定转速为2 000 r/min。

对分数阶FOPID控制器进行设计编程时，基于前面所述，采用整数阶近似的原理，将分数阶FOPID的时域方程式(2)离散化，得到式(13)，此为分数阶FOPID的近似整数迭代形式。

(13)

图6～图8分别为PID，FOPID，ACPSO-FOPID算法下采集到的电机转速曲线，可以看到采用ACPSO-FOPID算法的电机的上升及调节时间更短，超调更小。实际的电机测试再次证明了ACPSO-FOPID算法的性能优越性。

图6 PID算法下电机转速

图7 FOPID算法下电机转速

图8 ACPSO-FOPID算法下电机转速

4 结 语

本文的仿真和测试都证明分数阶PIλDμ的性能要远高于普通PID，再结合改进的粒子群算法对分数阶PIλDμ的5个参数同时进行自适应寻优可以使其性能进一步提升。同时也看到，自适应惯性权重和混沌算法相结合可以克服粒子群算法容易早熟的不足。

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