用线性代数的知识讲解线性电路定理

石 晶， 陈红坤

(武汉大学 电气工程学院，湖北 武汉 430072)

用线性代数的知识讲解线性电路定理

石 晶， 陈红坤

(武汉大学 电气工程学院，湖北 武汉 430072)

电路定理是“电路”课程教学中的重要部分，而部分定理仅适用于线性电路，为何只适用于线性电路，本质上说是数学问题。本文探讨如何用线性代数的思维讲解“电路”课程中的齐性定理、叠加定理和戴维宁定理，让学习者能够从数学的本质上理解电路定理的含义及这些定理的适用条件。

电路教学；线性代数；线性电路

0 引言

电路定理是“电路”课程教学中的重要部分，如齐性定理、叠加定理和戴维宁定理等。这些定理既重要，也好用。面对初学者，要把这些定理介绍清楚，通常的方法是用一个电路或者一类电路为例进行讲解，之后推广到整个线性电路，再告诉学生此定理不能用于非线性电路[1-4]。这样一个教学过程，对于思维特别严密的学生，也许会产生疑问：为什么某个电路的应用能推广到其他线性电路？为什么又不能继续推广到非线性的电路？为了解答这部分学生的疑问，笔者试图用线性代数的方法，把问题阐述清楚。

“电路”课程的前期课程有“线性代数”，所以在讲授“电路”课程时，可以充分利用的线性代数知识，这样便于把相关的电路理论讲清楚，讲透彻。引导学生把线性电路问题先抽象成线性代数的问题，再在线性代数的理论体系下分析，相关电路定理的含义及其适用范围都能变得显而易见，同时，在教学中有意识地把电路甚至是后续的各种电气工程应用课程中的物理问题转换为抽象的数学问题，这样做有利于学生将来能把复杂的工程问题转化为数学问题，从而借助数学方法获取答案。

讲解电路定理时，学生都已学会电路的一般分析方法[1-3]，其中节点电压法都是重点介绍的。正如麻省理工学院的“电路与电子学”公开课特别强调的：“如果要选一种电路分析方法，作为电气工程师应该一辈子记住的，那应该是节点电压法”[4]。

本文基于节点电压法，针对线性电阻电路探讨如何从线性代数思维的角度讲解几个基本的线性电路定理。

1 齐性定理

电路的齐性定理实际上是叠加定理的特例，但因为齐性定理比较好理解，可以先做介绍。齐性定理指出：在线性电路中，当所有的激励(电压源和电流源)都同时增大或缩小k倍(k为实常数)时，响应(电压和电流)也将同样增大或缩小k倍。

对应线性代数理论，若矩阵A, 列向量X，B，满足条件AX=B，则对应常数k有：A·kX=kB。

按节点电压法，对某一电路列出节点电压方程：AX=B，其中矩阵A代表节点导纳矩阵；X代表各节点电压的列向量；列向量B的各元素bi均为独立电源的线性组合。通常等式左边代表在不同节点的电位差和受控源的作用下流出各个节点的电流；而等式的右边表示在独立电源的作用下，流入各个节点的电流，整个公式体现了KCL定理，即流出某个节点的电流等于流入某个节点的电流。节点电压法，对于包含独立电压源支路的电路也适用，只是矩阵A和向量B的含义更复杂，将AX=B写成一组方程组时，可能出现xp-xq=U这种形式的方程，其中xp、xq表示不同节点的电压，U表示独立电压源的电压值，但方程AX=B的形式不变。利用图1进行讲解，学生马上就能理解齐性定理的含义。可以试图提问，如果向量B中的某一个元素扩大k倍，其他元素不变，响应(节点电压)向量是否也是扩大k倍？如果将X向量中的某个元素xi改为xi2，公式是否还成立？当然这些都是简单的数学问题，学生都容易回答。对应的电路概念则为：为什么多个电源的幅值需要同时扩大k倍，响应才能扩大k倍？为什么齐性定理只适合线性电路？

图1 齐性定理的解释图

如果对电路采用回路电流和节点电压同时列方程的方法，也可以得出AX=B的形式，只是此时矩阵A的含义更复杂，向量X表示各节点电压和回路电流，B仍然是独立电源的线性组合，以上的说明过程依然适用，并且对一般性电路，说明更加严谨。

2 叠加定理

讲解叠加定理时，一般通过一个简单的例子引入，然后推广到一般的线性电路。推广过程或省略而直接给出结论[4]，或用线性代数行列式解方程的方法进行介绍[1-3]，前者不能满足想彻底了解定理原理的学生，后者解方程的过程对学习者稍显繁琐。

从线性代数知识可知：若有可逆的矩阵A，列向量X，X1，X2，B，B1，B2 满足以下条件：AX=B，A·X1 =B1，A·X2 =B2；B=B1+B2，则有:X=X1+X2成立。即下式必然成立。

AX=A(X1+X2)=B1+B2=B

(1)

对于一个线性电路，节点电压方程为AX=B，含义与齐性定理部分介绍的一样，不再赘述。如将独立电源分成两组，让第一组和第二组电源分别作用时，B对应的列向量为B1和B2，则B1+B2=B。因电路拓扑结构没变，则A·X1=B1成立，其中X1为对应第一组独立电源单独作用而第二组电源不作用时各节点的电压列向量；同理有A·X2 =B2成立，X2则为对应第二组独立电源单独作用而第一组电源不作用时各节点的电压列向量，当两组激励同时作用时，根据线性代数的知识可知：相应的节点电压列向量则应该为X1+X2。可以利用图2对叠加定理进行阐述。

图2 叠加定理的解释图

某组独立电源不起作用，在数学上意味着对应的电源激励值为0，接着可以问学生，电压源为0意味着电路上应该怎么处理？电流源为0意味着电路上应该怎么处理？对于“不起作用”的电压源应该进行短路处理，对“不起作用”的电流源应该进行断路处理，这样学生很容易理解。因为对B1和B2还可以继续分组，最终可以把每一个独立电源都拆成单一作用的形式。对于受控源，它的作用体现在节点导纳矩阵A中，所以对受控源通常不能像独立电源一样进行叠加处理。同样可以询问学生，如果将X中的某个变量xi改为xi2，式(1)是否还成立？从而让学生了解为什么叠加定理只适用于线性电路。

如果对电路采用回路电流和节点电压同时列方程的方法，也可以得出AX=B的形式，不影响以上的说明过程，只是更加严谨。

3 戴维宁定理

戴维宁定理一般通过替代定理和叠加定理进行一般性的证明，这个方法很好，学生也容易理解为什么戴维宁定理只能用于线性电路，因为该定理成立的前提条件就有叠加定理。然而替代定理及其适用条件到底如何讲解，目前仍然存有导议[5,6]。按照支路上串联大小相等、方向相反的电压源，或者端口上并联大小相等、方向相反的电流源，进行替代定理的一般性证明[1-3]，这样的过程，不能必然得出替代定理的使用限制条件：被替代的支路和电路中的其他支路之间无耦合关系。这样就导致了讲解戴维宁定理时也不容易给学生讲明白戴维宁定理也有类似的使用限制条件。

用以下的方法可以从另一侧面让学生对戴维宁定理有更直观的理解。仍然利用节点电压法和线性代数的知识。对于一个电路，如果只关心某一个端口的对外特性，可以选择该端口的两个端点之中的一个做参考节点，如图3，列节点电压方程AX=B，其中矩阵A代表节点导纳矩阵，X向量代表各节点电压的列向量，且X的最后一个元素xn则是要关注的那个端口的节点电压值xn=uoc，向量B代表在独立电源作用下流入各个节点的电流。为了讨论端口电流i与端口电压u的关系，在端口上加一个电流源激励，如图3(b)。

图3 戴维南定理的解释用图

当端口开路时，见图3(a)，可以列出节点电压方程，如下式(2)。当端口加入电流源i时，见图3(b)，可列节点电压方程，如下式(3)。

(2)

(3)

分别对式(2)和式(3)左乘A-1，令：A-1=Z，则可得以下两式

(4)

(5)

将式(5)和式(4)相减，可得：

(6)

关注式(6)代表的方程组的最后一行，即可得出下列方程，列于下式(7)。

u=uoc-znni

(7)

从式(7)就能得出：两端口网络对外可以等效为一个电源的形式，其中电源的电压为uoc，电源的内阻为znn，如图3(c)，这就是戴维宁定理的形式。对于包含独立电压源支路的电路，节点电压法仍然能表示为：AX=B的形式，只是此时矩阵A和向量B的含义更复杂，但是并不影响以上的推导过程。

从推导过程，可以明确看到：①被等效的网络N，内部必须是线性的，从数学意义上说，描述其参数的方程是线性代数方程，否则式(5)和式(4)相减时不能用线性代数的减法公式；②网络N内部的电流、电压参数不能受控于端口外电流i，否则对图3(a)和图3(b)列节点方程时，A矩阵或向量B中的b1～bn-1将会不一致，以上的推导过程则不成立；③对于外界电流i是怎样产生的，没有任何限制，即外界电路可以是线性电路也可以是非线性电路，只要其端口电流为i就行。通过这样的讲解，戴维宁定理的使用条件则比较容易交代清楚。

4 结语

本文从数学思维的角度出发，介绍了如何用线性代数知识讲解电路理论中的齐性定理、叠加定理和戴维宁定理，目的是让学生能够从数学的本质上理解这些定理的含义及这些定理的适用条件。电气工程中，数学知识应用非常普遍，电路是电气工程的基础，数学思维的适用在一定程度上决定了学生在电气工程专业领域未来能达到的理论深度，因此在“电路”教学中强调和实践数学思维的训练非常必要，本文意在此方面进行初步探讨与实践。

[1] 邱关源. 电路(第5版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2006

[2] 于歆杰，朱桂萍，陆文娟. 电路原理[M]. 北京: 清华大学出版社，2007

[3] 胡钋，樊亚东. 电路原理. [M]. 北京: 高等教育出版社，2011

[4] Anant Agarwal . 麻省理工公开课-电路和电子学[DB/OL]. http://open.163.com/special/ open course/circuits.html

[5] 刘惠，白凤仙，等. 电路课程中替代定理教学的探讨[J]. 南京：电气电子教学学报，2010, 32(3)：27-29

[6] 田社平，张峰，等. 关于置换定理成立条件的讨论[J]. 南京：电气电子教学学报，2013, 35(3)：1-3

Teaching of Linear Circuit Theorem with Linear Algebra Knowledge

SHI Jing, CHEN Hong-kun

(SchoolofElectricalEngineering,WuhanUniversity,wuhan430072,China)

Circuit theorems are very important in the Circuit course, but some theorems are only valid for linear circuits. Why these theorems are only valid for linear circuits is a mathematical problem in essence. This paper discusses how to teach homogeneity theorem, superposition theorem, and Thevenin's theorem using linear algebraic knowledge, so that students can understand these theorems and their applicable conditions more clearly.

circuit teaching; linear algebra; linear circuit

2016-05-06;

2016-07- 15

石 晶(1969-)，女，博士，副教授，主要从事电工理论教学和研究工作，E-mail: shi.jing@whu.edu.cn

TM133

A

1008-0686(2017)02-0103-04