Bayes检测与估计的教学探索

王雪飞, 王昌盛, 尚朝轩, 张宏伟

(1.军械工程学院 电子与光学工程系, 河北 石家庄 050003；2.军械工程学院 信息管理中心, 河北 石家庄 050003)

Bayes检测与估计的教学探索

王雪飞1, 王昌盛2, 尚朝轩1, 张宏伟1

(1.军械工程学院 电子与光学工程系, 河北 石家庄 050003；2.军械工程学院 信息管理中心, 河北 石家庄 050003)

Bayes检测和Bayes估计是“信号检测与估计”课程中的主要内容。本文给出一种闭环分析Bayes检测和Bayes估计的方法。通过由Bayes检测的离散求和方法，过渡到Bayes估计的连续积分方法；又通过Bayes估计的决策空间的二维离散化，推导出Bayes检测器的形式。该方法特点是建立由此及彼的闭环联系和反馈，通过比较的观点，突出了Bayes检测和Bayes估计的本质和联系，便于学生理解和掌握。

信号检测；信号估计；教学研究

0 引言

“信号检测与估计”课程重点研究通信与信息系统中信号检测与估计的基本理论和方法，其中，Bayes检测与Bayes估计是重点和难点，也是其它检测与估计方法(如最大似然、最大后验等方法)的基础[1，2]。在教材内容安排上，两者分属于不同的模块，独立推导和分析，但由于名称和概念接近，学生容易混淆，概念错位，张冠李戴，导致不能有效地将其应用于工程实践[3]。

本文给出一种闭环分析Bayes检测与Bayes估计的方法。该方法通过建立离散决策空间与连续决策空间的闭环联系，深入解剖Bayes检测与Bayes估计，不仅对比分析了两者的异同和应用背景，而且将其拓展融入进检测与估计方法的整体架构中，提高了学生对理论的理解和应用水平。

1 Bayes检测与Bayes估计

信号在传输的过程中，会受到干扰，接收端必须对接收信号进行统计分析。统计分析的基本任务就是判定某种信号是否存在，估计携带信息的信号参量以及该信号波形的恢复。

对于检测问题，需要确定判决门限，不同的优化准则导致不同的判决门限，对应不同的检测方法。Bayes检测的实质是综合接收数据的统计特性和判决假设的先验概率，在判决带来的总平均代价最小的情况下寻求最佳的判决门限，其中，总平均代价为各种判决代价的统计均值。设：Hi(i=0,1)为Bayes检测的假设，Di(i=0,1)为判决，cij(i,j=0,1)为判决的代价因子，则Bayes检测的先验知识和准则如表1所示。

表1 Bayes检测原理

将表1中的各判决概率形式转化为x的似然函数在相应判决区域的积分形式，从而得到，为使R最小，判决区域的划分应满足：

(1)

对于估计问题，需要根据某种最佳准则构造接收数据的函数，作为参量的估计，不同的最优化准则，最佳的含义不同，对应不同的估计方法。

表2 Bayes估计原理

平均代价可写作条件代价的形式：

(2)

(3)

Bayes检测中，离散的代价因子决定了检验统计量的检测门限；Bayes估计中，连续的代价函数决定了估计量的形式。

2 Bayes决策空间的离散化

以二元假设检验为例，考虑电流电平幅度A的检测，其假设检验为

H0:x=wH1:x=A+w

矿山采用陡帮条带式采剥工艺，采场作业面变化较频繁，灵活的公路—汽车运输才能适应这种采剥方法，但岩石运输驶离采场后线路相对较为固定，因此考虑是否可以调整固定线路的运输方式，以降低岩石运输成本。从目前国内大型露天矿山岩石运输方式来看，运输成本相对较为便宜的胶带运输越来越受到亲睐，也是大型露天开采的发展趋势。

(4)

通过构造检验统计量，判断哪种假设成立。这个检测问题也可以看做由观测数据x对信号的幅度进行估计，而参数的值域仅为离散的两个值{0,A}。

若似然比Λ(x)=p(x|H0)/p(x|H1)>Λ0，判决H1成立，则s=A，否则s=0。因此，检测可以看做是参量离散情况下的估计问题。当参量仅取有限个数值时，可用多元假设检验同时解决检测与估计问题。

在Bayes估计中，假设参量α为若干个离散的取值，则其先验概率密度函数为：

p(α)=p(αi)·δ(α-αi)

(5)

根据Bayes估计的概念，总平均代价为

(6)

将式(5)代入，得到

(7)

(8)

(9)

与Bayes检测的平均代价比较， 两者完全一致。因此，Bayes检测是Bayes估计的特例，两者的基础都是考虑到先验概率，综合观测数据，对Bayes公式的运用。不同之处在于：Bayes检测是根据观测数据x在一个二元(M元)的离散决策空间寻找一点与之对应，Bayes估计是对观测数据x在一个连续的决策空间寻找一点与之对应，一般是输入空间到决策空间的连续映射。

3 Bayes检测与估计的拓展

在经典估计问题中，未知参量视为未知的常量，Thomas Bayes创立了Bayes统计理论后，未知参量被看做随机变量。Bayes方法认为关于随机变量的任何统计推断问题中，除了观测样本所提供的信息外，还需规定一个先验概率分布。根据观测样本和未知随机变量的先验分布，利用Bayes公式可以求出已知观测样本的条件下，未知参量的条件概率分布(或后验概率分布)，因此，Bayes检测与Bayes估计对决策空间的选择都是基于后验概率分布的，而这个基础就是Bayes公式。

根据决策空间的离散与连续，以及Bayes统计推断方法中对先验概率的已知条件和Bayes代价形式的选择，得到检测问题与估计问题关系图如图1所示。

从图中可以看出，最大似然检测(或最大似然估计)是Bayes检测(或Bayes估计)在先验概率与代价函数未知条件下的特例；最大后验检测是最大后验估计在二元离散参数空间下的特例。

图1 Bayes检测与Bayes估计的拓展

因此，当决策空间由连续变为离散，估计问题就转化为相应准则下的检测问题；经典统计推断方法是Bayes方法的特例。

4 结语

Bayes检测与Bayes估计是信号检测与估计的重点内容，对于学生利用统计推断的理论和思想分析和解决问题起着重要的作用，在系统、联系、比较的宏观视角之下展开教学，有助于学生将整个知识体系融会贯通，增强了新知识以及新、旧概念的联系，避免了零碎的知识片断，保持了知识的连贯性，符合学生的认知特点与学习规律，在课程学习中达到了事半功倍的效果。

[1] 张明友，吕明.信号检测与估计[M].北京:电子工业出版社，2005年2月

[2] [美]Steven M. Kay著,罗鹏飞 等译.统计信号处理基础:估计与检测理论[M].北京:电子工业出版社，2011年2月

[3] 张文明，罗鹏飞. “随机信号分析与处理”课程设计案例[J]. 南京:电气电子教学学报，2010.32(4):88-90

Teaching Exploration on Bayes Detection and Estimation

WANG Xue-fei1, WANG Chang-sheng2, SHANG Chao-xuan1, ZHANG Hong-wei1

(1.ElectricandOpticDepartment,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003，China;2.InformationManagementCenter,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003,China)

Bayes detection and Bayes estimation is the main content of Signal Detection and Estimation course. This paper presents a closed loop analysis in teaching method. By transition from the discrete sum method for Bayes detection to the continuous integration for Bayes estimation, and the form of Bayes detector is derived from the discretization of decision space for Bayes estimation. The method is characterized by establishing the closed-loop feedback, and highlighting the essence and relation of Bayes detection and Bayes estimation over the view of comparison , which is convenient to be understood for students.

signal detection; signal estimation; teaching research

2015-05-12;

2015-10- 26

王雪飞：(1974-)，女，博士，讲师，主要从事信号处理、雷达信号处理和对抗等的教学和研究工作，E-mail: wxfwzt2005@tom.com

TN95

A

1008-0686(2016)01-0109-03