压电陶瓷驱动器迟滞建模方法研究*

王艳艳,边 焱,郭 海

(1.天津职业技术师范大学,天津市信息传感与智能控制重点实验室,天津 300222;2.国家海洋技术中心,天津 300112)

原子力显微镜(AFM)是一种高分辨率的纳米级测试分析仪器,在材料、化学、生物、半导体制造等领域应用广泛。AFM采用一端带有探针的微悬臂梁作为敏感元件,当探针逐渐接近样品时,探针原子与样品表面原子之间的作用力使得微悬臂梁弯曲,该弯曲量经光杠杆系统放大,并由光电探测器转换为电信号,由计算机显示。其中,探针在样品表面的扫描运动由压电陶瓷驱动器驱动。作为核心部件,压电陶瓷驱动器在AFM的扫描成像过程中起着至关重要的作用,其扫描速度和定位精度直接影响成像的速度和精度。然而,压电陶瓷本身具备非线性、滞后、爬行及振动等[1-2]缺点,在快速大范围扫描过程中影响定位精度,造成扫描图像的位置信息与高度信息不匹配,使得图像失真[3-4],影响测试的精确性。

高速扫描时,压电陶瓷的迟滞特性对AFM扫描成像的影响更为显著,因此,许多研究均围绕迟滞特性展开[5-12]。滞后特性可以通过如图1所示的方法如改进驱动电源、建立迟滞逆模型和设计反馈控制器等方法得到改善。传统的驱动电源一般为电压源,而压电陶瓷的驱动机理是驱动位移与电荷量成正比,所以许多电源改进方法均以设计电荷源为基础,包括电流型、混合型和开关型[5]。但该方法造价较高,通用性较差。设计基于先进控制算法的反馈控制器是第2种常见方法,常见的反馈控制算法包括改进PI反馈[6]、自适应控制[7]、模糊控制算法[8-9]等。该方法通过对压电陶瓷驱动器进行闭环反馈控制,提高其定位精确度。然而闭环反馈的增加会影响压电陶瓷驱动器的响应速度。设计基于迟滞逆模型的前馈控制器是第3种常见方法[10-12],该方法以压电陶瓷迟滞模型为基础,通过前馈控制消除迟滞特性对PZT定位精度的影响,大大改善其定位精确度。该方法要求获得准确的压电陶瓷驱动器迟滞模型。由于压电陶瓷迟滞特性的复杂性,对其建模仍然是近年研究的难点。

图1 压电陶瓷驱动器精密定位方法总结

国内外许多研究学者针对压电陶瓷的迟滞性展开了研究,建立了许多关于迟滞特性的模型[13-21],这些方法可总结如下:①通过分析压电陶瓷内部机理,从理论上解释迟滞现象,如微观极化机理、机电耦合效应等,但该方法理论模型复杂,实现较困难;②利用各种迟滞算子描述迟滞模型,如PI算子[13]、Preisach算子[14]、Hammerstein算子[15]、Bouc-Wen算子[16]和梯形算子[17]。哈尔滨工业大学的于志亮等人提出改进型PI算子[13],描述压电陶瓷的迟滞性,动态迟滞性建模效果较好。北京理工大学李黎等人[14]基于Preisach算子设计自适应滑模控制律,描述压电陶瓷驱动器的迟滞性,取得了较好的结果。中南大学的徐运扬等人[15]提出Hammerstein模型以描述压电陶瓷驱动器的静态和动态迟滞特性,提高了模型精度等。总的来讲,这种算子建模方法能够较好的重现迟滞现象,难点在于模型参数辨识求解复杂,逆模型的求解完全依赖于建模方法,对输入数据有较强依赖性,这影响对逆模型的求解;③通过拟合迟滞曲线描述迟滞现象,神经网络算法[18-19]、多项式拟合[20-22]是常用的拟合方法,如中国计量大学的许素安等人利用神经网络算法建模[18-19],较好的描述了压电陶瓷的迟滞特性,哈尔滨工业大学的孙立宁等人[21]采用多项式逼近模型描述压电陶瓷的迟滞现象,取得较好的结果,这类方法便于求取逆模型。但该拟合方法对输入数据依赖性较大,灵活性差。

压电陶瓷的迟滞性较复杂,很难建立精确的数学模型。目前,国内外学者主要采用PI模型,但该模型计算量较大,逆模型求取较难,算子数量影响模型的精确性,是目前研究的难点。相较而言,多项式拟合算法计算量小,拟合精度较高,逆模型求取较简单。但当输入信号频率发生变化时,多项式拟合模型无法精确描述迟滞性。为此,本文设计基于动态多项式拟合的算法,使得拟合模型可随输入信号频率的变化而动态变化,提高对大范围压电陶瓷迟滞性模型描述的精确性,为后续设计基于迟滞逆模型的控制算法提供一种思路。

1 改进型多项式拟合算法

多项式拟合算法是常用的曲线回归建模方法。对于压电陶瓷的迟滞曲线,可采用多项式拟合的方法获得其多项式模型。但由于迟滞曲线不仅与当前输入信号有关,还与历史输入信号有关,因此,不同频率的输入信号引起的迟滞曲线是有区别的,而传统的多项式拟合算法只能给出相同迟滞曲线的模型,使得迟滞建模存在较大误差。为此,本文设计一种改进型多项式拟合算法,即可随频率变化的多项式拟合模型,提高迟滞模型的精度。

曲线拟合问题的提法是:已知一组二维数据,即平面上的n个点(xi,yi),i=1,2,…n,xi互不相同,求解一个函数y=f(x),使得f(x)在某种准则(如最小二乘准则)下与所有数据点最为接近,即曲线拟合最好[23]。

传统的多项式拟合方法获得的系数是唯一确定的,而压电陶瓷驱动器的迟滞曲线是动态变化的,随输入信号频率的变化而变化。因此,采用传统的多项式拟合方法必然会引入较大的拟合误差,大大降低拟合的精度。为此,本文提出一种改进型多项式拟合算法,是基于本课题组在文献[21]提出的动态多项式拟合算法,在其基础上进一步提高压电陶瓷驱动器的驱动范围,从30 μm提高至100 μm,提高多项式拟合算法的应用范围,同时,保证拟合的系数随输入信号频率的变化不断变化。主要实现步骤如下:

①学习阶段:选择不同频率(10 Hz,50 Hz,100 Hz)的输入信号,采集获得压电陶瓷驱动器在这些频率处的迟滞曲线,用多项式拟合的方法对这些曲线分别进行拟合,获得不同频率对应的拟合系数;

②建模阶段:根据拟合系数与频率之间的对应关系,建立不同的频率与拟合系数之间的线性模型关系;

③验证阶段:根据频率与拟合系数之间的模型关系,计算给定输入信号(20 Hz)对应的拟合系数,根据该拟合系数获得该输入信号对应的迟滞曲线的多项式模型,并与实际实验结果对比,验证该方法的拟合效果。

2 算法实现及实验结果

为实现该算法,需首先获得压电陶瓷驱动器不同输入频率下的迟滞曲线。本文以压电陶瓷驱动器为核心,搭建如图2所示实验系统。其中,驱动器采用德国PI公司的P-517.3CD柔性铰链微位移台,其X向和Y向的驱动范围达到100 μm,Z向驱动范围20 μm。本文主要对X向驱动,利用数据采集系统(NI-PXI 6363)输出不同频率的三角波驱动压电陶瓷伸缩,并采集压电陶瓷驱动器的输出迟滞曲线,传输给计算机显示。

图2 实验系统图

输入信号的频率分别设为10 Hz、50 Hz和100 Hz,记录输入电压数据和输出位移数据,以电压为横轴,以位移为纵轴,绘制迟滞曲线图。如图3所示,可发现频率越大,驱动范围越大,迟滞性越显著,这严重影响压电陶瓷驱动器的定位精度。

图3 不同频率(10 Hz、50 Hz、100 Hz)下压电陶瓷驱动器的迟滞曲线

分别针对上升曲线和下降曲线,利用多项式拟合的方法对不同频率(10Hz、50Hz、100Hz)下的迟滞曲线进行拟合,采用的多项式模型为:

y=ax2+bx+c

(1)

拟合结果如图4所示,按上升段与下降段区分,不同频率下理想拟合的模型如下:

下降段:

10 Hz:y=0.002 0x2+0.44x-0.939

(2)

50 Hz:y=0.002 6x2+0.34x-1.16

(3)

100 Hz:y=0.003 4x2+0.22x+0.935

(4)

上升段:

10 Hz:y=-0.002 2x2+1.041x+1.738

(5)

50 Hz:y=-0.003 0x2+1.12x+4.626

(6)

100 Hz:y=-0.003 5x2+1.176x+9.706

(7)

图4 不同频率下迟滞曲线的理想拟合结果

根据以上不同频率下的拟合模型分析多项式拟合参数与对应频率的关系可知:①上升段与下降段的迟滞曲线拟合参数中常数项c与输入信号的频率为非线性关系;②上升段与下降段的迟滞曲线拟合参数中一次项系数a、b与输入信号的频率基本成线性关系;③多项式拟合系数中的二次项系数a的大小对拟合结果的影响最为显著,b其次,c的影响最弱。

为此,本文结合以上3个特点,提出一种改进型的多项式拟合算法。首先选择多项式拟合参数中的二次项系数a和一次项系数b,按照频率与二次项、一次项系数线性的关系选择a和b,再根据不同频率对应的输入信号与输出信号的最大值确定c的大小。

本文按照以上原则,根据式(2)～式(7)中的一次项系数和二次项系数分别计算下降段和上升段新的拟合系数,选用线性模型,所得模型如下:

下降段二次项系数a的模型:

y=1.549e-5x+0.001 87

下降段一次项系数b的模型:

y=-0.002 2x+0.458

上升段二次项系数a的模型:

y=-1.549e-5x-0.002 07

上升段一次项系数b的模型:

y=0.001 44x+1.029

确定a和b后,根据最值确定c的大小。利用以上模型计算得到10 Hz、50 Hz和100 Hz的信号对应的新的多项式系数,后重新进行拟合,通过分析拟合残余误差验证拟合效果。拟合模型如下:

图6 拟合残差结果

下降段:

10 Hz:y=0.002 0x2+0.44x-0.939

(8)

50 Hz:y=0.002 7x2+0.34x-1.7314

(9)

100 Hz:y=0.003 4x2+0.24x-1.1785

(10)

上升段:

10 Hz:y=-0.002 2x2+1.041x+1.738

(11)

50 Hz:y=-0.002 9x2+1.106x+4.648

(12)

100 Hz:y=-0.003 6x2+1.171x+10.373

(13)

根据式(8)～式(13)拟合模型对10 Hz、50 Hz、100 Hz不同频率下压电陶瓷驱动器的迟滞特性曲线重新拟合,拟合结果见图5所示。图6所示为各频率下拟合残差结果,小于1.5 μm,因此拟合效果较好。

图5 改进型多项式拟合方法拟合结果

同时,本文选择20 Hz的输入信号驱动压电陶瓷进一步验证该方法。利用图2所示实验系统,输出20 Hz的信号,驱动压电陶瓷驱动器X向伸缩,利用采集卡采集输入输出数据,并应用改进型多项式拟合方法计算拟合系数,得到如下拟合模型:

下降段:

20 Hz:y=0.002 2x2+0.41x-0.32

(14)

上升段:

20 Hz:y=-0.003 1x2+1.058x+4.1

(15)

利用式(14)和式(15)多项式模型对20 Hz的输入-输出数据进行拟合,其中,驱动器X向驱动范围达到100 μm。为验证该方法的可重复性,采用两次不同的输入信号,通过记录上升段的拟合残差结果,观察拟合效果,如图7所示。

(a)、(c)分别为输入两种不同的输入信号获得的拟合效果图;(b)、(d)分别为两种不同输入信号下的拟合残差结果图7 改进型多项式对输入信号为20 Hz时拟合效果图

由图7可知,拟合残差控制在1.5 μm内,说明该改进型多项式拟合模型能较好的描述大范围压电陶瓷驱动器的迟滞特性,同时该方法具有较好的重复性。

为提高压电陶瓷驱动器的线性度,计算20 Hz频率下迟滞模型的逆模型,并设计基于该逆模型的前馈控制器,应用于此压电陶瓷驱动器,分析其线性度。

逆模型如下:

下降段:

20 Hz:y=-0.092x2-0.38x-1.59

上升段:

20 Hz:y=0.058x2-0.21x+0.75

利用数据采集卡采集20 Hz三角波信号驱动下的输入信号和输出信号,如图8所示,计算得到压电陶瓷驱动器的线性度达到1.5%,验证该方法具备较高的精确度。

综上所述,本文提出一种新颖的改进型多项式拟合算法,描述大范围压电陶瓷驱动器的迟滞性。该方法通过对压电陶瓷驱动器3种不同频率下迟滞性能的学习,建立了迟滞系数与频率的关系,得到不同频率输入信号下的迟滞模型。实验证明该模型能较好的描述压电陶瓷驱动器的迟滞性能,应用该方法后,对于驱动范围在100 μm的压电陶瓷驱动器,可提高其线性度至1.5%,该方法可应用于AFM驱动器,用以提高大范围高速扫描时横向的定位精度,后续工作将围绕该方法在AFM中的应用展开。

图8 当输入信号为20Hz时,无前馈控制器和应用基于逆模型的前馈控制器输出结果对比

3 结论

本文提出一种改进型多项式拟合算法,描述大范围压电陶瓷驱动器的迟滞特性,为后续基于迟滞模型设计控制算法提供了一种思路。该方法通过对压电陶瓷驱动器3种不同频率下迟滞性能的学习,建立迟滞系数与频率的关系,得到不同频率输入信号下的迟滞模型。利用20 Hz的输入信号验证得知该方法能有效描述大范围压电陶瓷驱动器的迟滞特性,使得驱动范围在100 μm的压电陶瓷驱动器的线性度达到1.5%。后续工作将围绕如何将该方法应用于AFM系统中展开,通过高速测试较大范围的标准样品验证该方法的有效性。