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无线传感器网络中基于TDOA/FDOA的增强半正定松弛定位算法研究*

时间:2024-05-22

张 杰,王 刚

(宁波大学信息科学与工程学院,浙江 宁波 315211)

无线传感器网络是由具有无线通信能力的传感器组成的以通信为中心的网络。随着国内外的无线技术的发展,无线传感器网络在军事、智能交通、环境监控、医疗卫生等领域得到了广泛应用[1]。其中,基于无线传感器网络的定位技术有着重要的研究价值,因此,基于无线传感器网络的定位技术成为了一个热门的研究课题[2]。

根据无线传感器接收到信号的不同特征,基于测距的定位方法主要有到达时间TOA(Time-Of-Arrival)[3]、到达时间差TDOA(Time-Difference-Of-Arrival)[4]、接收信号强度(Receives-Signal-Strength)[5]、到达角度(Angle-of-Arrival)[6]、到达频率差FDOA(Frequency-Difference-Of-Arrival)[7]等方法。由于TDOA定位是利用信号到达两个无线传感器上的时间差,不需要无线传感器与目标之间有精确的时间同步,并且定位精度较高,因而本文采用基于TDOA的定位方法。然而,从TDOA的定位模型来看,其只包含未知目标的位置信息,因此只能用于精确定位静止的未知目标。当目标和无线传感器之间有相对移动时,通过加入FDOA信息也可以估计目标速度,并能进一步提高目标位置估计,这是由于FDOA定位模型中既包含位置信息又包含速度信息,因此,在移动无线传感器定位环境中,可将TDOA与FDOA联合起来共同估计未知目标的位置和速度,从而进一步提高定位精度。

在无线传感器网络定位问题中,基于TDOA/FDOA定位的难点在于其最大似然ML(Maximum Likelihood)估计问题是高度非线性和非凸的,而且未知目标的位置和速度相互耦合,很难直接求解。对于该非线性、非凸问题,传统的求解方法是通过泰勒展开式进行一阶泰勒展开近似[8],该方法需要精确地初始估计值,若初始估计不够精确,则该方法可能发散或者收敛到局部极小点。针对这个问题,人们提出了一些能获得闭式解的方法[9-11]。在基于TDOA的两步加权最小二乘Two-Stage WLS(Two-Stage Weighted Least Squares)方法[9]的基础上,文献[10]将此方法推广到基于TDOA/FDOA的定位问题中,它在第1步中引入一个中间变量并忽略中间变量与目标位置之间的关系来线性化非线性方程组,在第2步中考虑了上述中间变量与目标位置之间已知的关系进一步提高第1步的定位精度。以上两步都构造求解了线性加权最小二乘WLS(Weighted Least Squares)问题。文献[11]为文献[10]的进一步推广,理论分析了传感器位置误差对定位精度的影响,并提出了解决存在传感器位置误差时基于TDOA/FDOA定位的两步加权最小二乘方法。上述闭式解方法虽然不存在发散问题,但在大噪声时会出现定位性能急剧下降的现象,即“门限效应”。为解决这一问题,文献[12]提出了一种半正定松弛SDR(Semidefinite Relaxation)方法,它首先将初始ML问题近似为WLS问题,然后将WLS问题通过半正定松弛技术松弛为容易求解的半正定规划SDP(Semidefinite Programming)问题。SDP问题是一个凸问题,理论上可以获得全局最优解,从而避免了局部收敛的问题。同时,由于半正定规划问题为原问题的非线性近似,因此在大噪声时仍然能获得较高的定位精度。文献[13]提出了两种偏差减小的方法,即“Bias-Sub”方法和“Bias-Red”方法,其目的是减小上述两步加权最小二乘方法的偏差,从而使“门限效应”的噪声方差门限值更大。文献[14]提出了一种针对非线性加权最小二乘方法的偏差减小方法,由于非线性加权最小二乘方法的性能通常优于两步加权最小二乘方法,因此这种方法在大噪声时获得了更好的性能。最近,文献[15]提出一种迭代约束加权最小二乘ICWLS(Iterative Constrained Weighted Least Squares)方法,其通过利用二次约束二次问题QCQP(Quadratically Constrained Quadratic Problem)公式的特殊结构(目标函数是凸的并且两个约束条件是同样形式的二次等式约束),将先前的估计代入二次等式约束二次项的一侧,近似得到两个凸的线性等式约束,进而推导出了该近似问题的封闭形式解,并通过迭代不断更新目标的位置和速度,如此反复直至收敛。该方法能在收敛时收敛于全局最优解,但其不能保证每一次蒙特卡洛运行时均收敛。

本文在无线传感器网络与未知目标之间有相对移动的情况下研究了联合TDOA/FDOA定位方法,在文献[12]提出的半正定松弛方法的基础上提出了一种增强型的半正定松弛方法,利用增强型的优化方法有效改善了定位的精度。本文通过深度挖掘优化变量之间的内在联系,并将这些联系构造成合理的约束条件,进而将这些非凸约束松弛成凸约束对半正定规划问题进行收紧,求得了全局最优解。文章理论证明了这些约束条件是有效的,起到了收紧半正定松弛规划问题的作用。增强半正定规划问题是一个凸优化问题,它能找到近似WLS问题的全局最优解,进而避免了收敛于局部极小点的情况。

1 半正定松弛方法

1.1 TDOA/FDOA定位模型

(1)

式中:c是信号传播的速度,f0是载波的频率,并且:

di=‖x-si‖-‖x-s0‖+ni,i=1,…,N

(2)

(3)

ri=‖x-si‖,i=0,…,N

(4)

(5)

1.2 优化问题

在文献[12]中,通过转化测量模型(2)和(3),可以得到以下非线性加权最小二乘问题:

(6)

(7)

改写式(7)中的目标函数,并对约束条件进行松弛,可得到半正定规划问题[12]:

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

2 增强半正定松弛方法及克拉美-罗下界

2.1 增强半正定松弛方法

问题(8)即为文献[12]中提出的半正定规划问题,文献[12]已经理论证明了该问题中最优解Y的秩最高为2,而近似WLS问题的最优解的秩应为1。显然,由于松弛的影响,半正定规划的解并不一定是近似WLS问题的最优解。若要得到秩为1的解,一种自然的想法是通过加入其他有效约束来收紧该问题。观察约束‖x-s0‖=r0(即y(2k+1)=‖y(1:k)-s0‖),其经过松弛可变为‖x-s0‖≤r0,它涉及到优化变量y之间的内在联系。一个自然的问题是,若在现有半正定规划问题中加入此约束,能否起到收紧约束集的作用?下面的命题回答了这个问题。

命题 若在问题(8)中加入二阶锥约束‖x-s0‖≤r0,能减小可行域。

(9)

另外,约束‖x-s0‖≤r0等价于:

y(2k+1)≥‖y(1:k)-s0‖

(10)

Y(2k+1,2k+1)≥‖Y(1:k,2k+1)-y(2k+1)s0‖

(11)

(12a)

(12b)

将挖掘到的隐含约束全部加入现有半正定规划问题中,可得到增强半正定规划问题:

(13)

2.2 克拉美-罗下界(CRLB)

(14)

式中:θo表示目标的位置和速度的真实值。

(15)

式中:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

将式(17)~式(20)带入式(16)中,再将式(16)带入式(15)中即可得到目标的位置估计和速度估计的克拉美-罗下界。

3 仿真结果

为验证本文所提出方法的性能,将本文的估计结果与迭代约束加权最小二乘法[15]、半正定松弛法[12]以及CRLB进行比较。在下文中,用“ICWLS”表示迭代约束加权最小二乘方法,用“ICWLS without SDP”表示迭代约束加权最小二乘方法在发散时未作任何处理的结果值,并用“SDP”表示现有半正定松弛方法。本文方法和SDP方法均由MATLAB工具箱CVX[16]求解。

(21)

(22)

(23)

(24)

表1 传感器的位置和速度

图1 位置估计的均方根误差

在无线传感器网络中,对未知目标位置估计的RMSE如图1所示。从图1可以看出,当噪声从小到中变化时,各方法的RMSE都能达到CRLB。但当大噪声时,SDP方法和ICWLS方法的RMSE有所增加,ICWLS without SDP方法的RMSE剧烈增加且远远偏离CRLB,而本文的方法在CRLB附近有轻微增长,但一直贴近CRLB。显然,本文的方法具有最好的性能,并且ICWLS without SDP方法具有最差的性能。在高噪声条件下,文中所提方法的RMSE略低于CRLB,说明此时定位性能受到噪声影响,对位置的估计是有偏的。ICWLS和SDP方法的RMSE重合是因为前者在发散时运用了SDP的结果值作为最终估计值,此举大大减小了估计误差。在ICWLS方法中,经统计,当噪声小于15 dB时,所有的点均收敛;当噪声为15 dB时,有3.63%的点发散;当噪声为20 dB时,有18.53%的点发散。这些发散的点运用SDP方法的估计结果作为最终的估计值,很大程度上提高了对未知目标位置和速度的估计精度。位置估计的偏差如图2所示,当噪声从低到高变化时,文中所提方法的偏差最小,而ICWLS without SDP的偏差最大。因此,本文提出的增强半正定松弛方法拥有最好的定位性能。

图2 位置估计的偏差

图3 速度估计的均方根误差

对未知目标速度估计的RMSE如图3所示,当噪声低于10 dB时,各方法均能达到最优的性能。当噪声高于10 dB时,本文方法的RMSE最小且最贴近CRLB,而其他方法的RMSE较大并且偏离CRLB。ICWLS without SDP方法的估计误差最大,说明在发散时运用SDP的结果值可以极大地改善定位的性能。对未知目标速度估计的偏差如图4所示,当噪声较小时,3种方法的偏差都很小,其中,ICWLS和ICWLS without SDP方法的估计偏差最小,本文的方法和SDP方法有相同的偏差,当噪声逐渐增大至最大时,本文方法有最小的偏差。因此,本文的方法定位性能较好。

图4 速度估计的偏差

噪声大小/dB增强SDP/个数现有SDP/个数-203 0003 000-153 0003 000-103 0003 000-53 0003 00003 0003 00053 0003 000103 0003 000152 9602 930202 6742 530

为比较增强半正定规划问题和现有的半正定规划问题中满足秩为1条件的解的个数,我们对仿真结果作了统计,统计结果如表2所示。从表2可以看出,在小噪声和中等噪声时,两种方法的解基本都满足秩为1的条件,大噪声时,两方法中满足条件的解的个数明显有所下降,但增强半正定规划问题满足条件的解的个数明显多于现有半正定规划问题。其中,当噪声为15 dB时,增强半正定规划问题有98.67%的解满足条件,而现有半正定规划问题只有97.67%的解满足条件;当噪声为20 dB时,增强半正定规划问题有89.13%的解满足条件,而现有半正定规划问题只有84.33%的解满足条件。从这些统计数据可以看出,增强半正定规划方法有效提高了满足近似WLS问题的解的个数,说明在增强半正定规划方法中加入的约束条件起到了收紧原有半正定规划问题的作用,提高了定位精度。因此,增强半正定规划问题的估计结果比现有半正定规划问题的估计结果更精确。

4 结论

本文考虑了无线传感器网络中未知目标和传感器之间有相对移动的目标定位问题,提出了一种基于TDOA/FDOA的增强半正定松弛方法来估计移动未知目标的位置和速度。在现有半正定规划问题中挖掘了松弛后的半正定规划问题中优化变量之间的内在联系,并将这些联系形成合理的凸约束,文中理论证明了这些约束是合理,能有效收紧现有半正定规划问题,使得估计的未知目标的位置和速度精度进一步提高。仿真结果和统计满足秩为1的条件的解的个数均验证了这些凸约束条件的合理性,说明本文提出的增强半正定松弛方法有最好的性能。

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