基于自记忆方程的干旱区地下水水位动态模拟

魏光辉，马 亮

(1.新疆塔里木河流域管理局，新疆 库尔勒 841000；2.新疆农业大学水利与土木工程学院，乌鲁木齐 830052)

地下水埋深的变化实质上是地下水对自然或人为因素的一种响应与表征，观测和分析地下水变化过程，对于合理开发利用地下水与保护生态环境具有重要意义[1,2]。由于地下水埋深的变化受诸多因素(自然因素、人为因素或者两者交互作用)影响而呈复杂的非线性变化，且不同年份间大气降水蒸发条件、灌溉条件(地表水地下水灌溉比例、灌溉规模等参数)的差异造成年序列下的地下水埋深规律性较差，难于预测[3]。

近年来，国内外学者关于地下水埋深预测方法做了大量研究工作。管孝艳[4]等为准确估计河套灌区地下水埋深变化规律，根据研究区1988-2007年实测地下水相关资料，基于多变量时间序列CAR(Controlled Auto-regressive)模型建立了地下水埋深预测模型，结果表明研究区地下水埋深主要受气候条件与灌区引水量影响，时间序列CAR模型预测精度较高，可用于研究区地下水埋深预测；魏铁军[5]等以三江平原853农场为例，采用BP神经网络方法建立了研究区地下水埋深预测模型，结果表明模型拟合与预测精度均较高，该研究结果为三江平原地下水资源的可持续利用提供科学依据；赵宏亮[6]等根据降水量和地下水埋深资料，分析了降水量和地下水水位变幅的变化特征，建立相关图模型，利用模型预测研究区平均地下水埋深，研究结果地下水资源的合理开发利用和优化配置提供科学依据；龙文[7]等针对LSSVM参数难以确定和单一方法预测精度不高的问题，提出一种基于粒子群优化LSSVM灰色组合预测模型的学习方法，并根据三江平原某地区1985-2006年地下水埋深实测数据，建立PSO-LSSVM组合预测模型，结果表明该组合模型具有较高的预测精度，适用性较好；杨先野[8]等建立了基于自适应神经模糊推理系统(ANFIS)的地下水埋深预测模型，通过与BP模型进行比较，表明该模型具有很高的模拟与预测精度。尽管上述模型在地下水埋深预测方面均具有较高精度，但这些方法需要分析影响地下水埋深的主要因素，并收集整理与地下水埋深序列相一致的观测序列数据，这导致模型在实际应用中存在较大的局限性[9-11]。

当然，对于具有长时间序列地下水观测数据的地区，可以采用时间序列法进行地下水埋深预测。但是，倘若地下水变幅较大时，采用该方法将会出现预测值与平均值接近的现象[12]。鉴于此，本文以新疆希尼尔水库周边区域地下水埋深观测数据为例，通过对数据的分析处理，建立了地下水埋深自记忆方程，并将其用于模型预测，结果表明该模型应用效果较好。

1 数据处理

设地下水埋深非平稳时间序列为{Ht}(t=1，2，…，N)，周期为T，周期内的地下水埋深均值和变幅分别组成序列{AVHj}和{AMHj}(j=1，2，…，N/T)，即[8]：

(1)

AMHj=Hmax,j-Hmin,j

(4)

由序列{Ht}、{AVHj}和{AMHj}构造生成新的时间序列{HQt} (t=1，2，…，N)：

HQt=(Ht-AVHj,t)/AMHj,t

(5)

2 数据建模

地下水埋深HQ随时间变化可概化为下式[12,13]：

(b0HQ2t+b1HQ2t-1+…+bp-1HQ2t-p+1)

(6)

式中：a0，a1，…，ap-1，b0，b1，…，bp-1为待定系数；p为回溯阶数。

假设数据为等间隔采样(或者采样间隔时间略有差别，但相差不大)，则式(6)可写为差分方程：

ΔHQ=(a0HQt+a1HQt-1+…+ap-1HQt-p+1)+

(b0HQ2t+b1HQ2t-1+…+bp-1HQ2t-p+1)

(7)

取相对方差做判据进行筛选。令ci≡[ai，bi]表示任一系数，取判据：

(8)

引进记忆函数β(t)，并积分：

(9)

通过积分得到回溯阶为p的自记忆方程[12,13]：

(10)

式中，HQm≡HQ(tm)，ti

式(10)离散化后为：

(11)

式中：αi，βi为称为记忆系数，αi=(βi+1-βi)/βt，θi=βi/βt。

HQmi=0.5(HQi+1+HQi)≡yi

(12)

(13)

利用以往的数据资料，求解记忆系数αi和βi：

由θi组成的向量Θ(p+1)×1和由F(HQ，i)组成的矩阵FL×(p+1)可仿α(p+1)×1及YL×(p+1)类似表达。则式(11)的矩阵形式为：

Xt=Yα+FΘ

(14)

令：

则：Xt=Mw。

根据系数矩阵w的计算结果，可以进行地下水埋深模型的拟合与预测工作。

(15)

3 模型应用

3.1 研究区概况

希尼尔水库位于新疆库尔勒市西尼尔镇境内，地理坐标介于86°13′～86°18′E，41°33′～41°38′N之间。水库是从孔雀河第一分水枢纽引水并经库塔干渠总干渠输水注入的中型平原水库，主要承担尉犁县灌区、兵团第二师塔里木垦区(31团至35团)的灌溉调蓄任务及塔里木河下游绿色走廊的生态输水任务。水库设计库容为0.98亿m3，正常蓄水位为913.6 m，水面面积16.74 km2。水库大坝为砂砾石均质土坝，最大坝高20 m，坝线全长7 165 m。

3.2 数据来源

由于水库蓄水，势必将导致周边地下水埋深在一定程度上发生变化。鉴于此，希尼尔水库在2000年建设之初，就在周边影响区域布设了地下水观测井(地下水水位观测始于2003年)，进行周边区域的地下水水位观测与分析。本文以新疆希尼尔水库周边区域4号与9号观测井2003-2012年共120个月的长系列地下水水位观测资料为例进行分析研究。

3.3 模型构建

分别将4号、9号观测井2003-2010年的96个月观测数据作为建模样本(建模样本数为96，样本序号分别为1～96号)；将4号、9号观测井2011-2012年的24个月观测数据作为模型预测样本(预测样本数为24，样本序号分别为97～120号)。

3.3.14号井模型计算

首先对地下水数据进行周期性处理，构造出新的时间序列。采用试算法，得方程回溯阶数为3，其反导微分方程如下：

=0.503HQt-0.211HQt+1+0.117HQt-2-

0.245HQ2t+0.376HQ2t-1+0.102HQ2t-2

(16)

采用最小二乘法求解记忆系数，得到预测方程：

α0=0.407，α1=0.788，α2=-0.815，α3=1.233，θ0=0.402，θ1=0.054，θ2=0.497，θ3=0.812。

用该方程对2003-2010年96个月的地下水埋深进行拟合计算；用2011-2012年的24个月地下水埋深进行模型预测检验。将模型拟合值、模型预测值与实测值序列进行比较，其结果见图1。

图1 4号观测井地下水埋深拟合与预测值

由图1可知，在2011-2012年的24个月预测值中，只有3个月相对误差在10%以上，占总预测月份的12.5%；相对误差在10%以下的有21个月，占总预测月份的87.5%；编号为98、108和120的3个月份预测值相对误差较大，经分析认为，这3个月所在时间段为一月附近，此时由于水库处于蓄水阶段、周边农田无灌溉以及气温低、大气蒸发减弱等原因，导致该时段地下水埋深较浅，相对而言地下水变幅最大，由于自记忆方程中，参数预测值主要是由均值决定，故导致模型预测值误差较大。

3.3.29号井模型计算

同理，通过试算得自记忆方程回溯阶数为3，其反导微分方程表达式如下：

0.612HQt+0.014HQt-1-0.202HQt-2+

0.037HQ2t-0.119HQ2t-1+0.213Q2t-2

(17)

采用最小二乘法求解记忆系数，得预测方程：

α0=0.515，α1=-0.456，α2=0.117，α3=-0.525，θ0=1.079，θ1=-0.441，θ2=0.874，θ3=0.303。

用该方程对2003-2010年96个月的地下水埋深进行拟合计算；用2011-2012年的24个月地下水埋深进行模型预测检验，其结果见图2。

图2 9号观测井地下水埋深拟合与预测值

由图2可知，在2011-2012年的24个月预测值中，只有4个月相对误差在10%以上，占总预测月份的16.7%；相对误差在10%以下的有20个月，占总预测月份的83.3%；编号为98、111、118和119这个月份预测值相对误差较大，经分析认为，这4个月所在时间段均为冬季附近，此时由于水库处于蓄水阶段以及气温低、大气蒸发减弱等原因，相对而言地下水变幅最大。由于自记忆方程中，参数预测值主要是由均值决定，故导致模型在该阶段预测误差较大。

3.4 模型计算结果对比

自回归滑动平均模型ARMA(p,q)是一种在水文中长期预报中广泛应用的随机模型，它能较好的解决复杂的时序模式，预测结果优于一般预测方法[12]。为了对比分析，同时采用传统的ARMA(p,q)模型对4号、9号观测井2011-2012年逐月地下水埋深进行模拟预测，其中自回归滑动平均模型的阶数p取最优值3，q取2，ARMA(p,q)模型的地下水埋深预测结果见表1。

表1 不同模型地下水埋深预测结果对比

从表1可知，应用自回归滑动平均模型对4号、9号观测井2011-2012年逐月地下水埋深进行预报，4号井模型预测值最小相对误差为2.76%，最大相对误差为19.89%，平均相对误差为10.53%，平均绝对误差为0.46 m；9号井 模型预测值最小相对误差为3.57%，最大相对误差为21.45%，平均相对误差为11.79%，平均绝对误差为0.54m。通过与本文所建自记忆模型计算结果对比，其模型各项参数计算精度均较低，即ARMA(p,q)模型预测精度逊于自记忆模型。

综上所述，自记忆模型预测结果明显优于ARMA(p,q)模型，这表明利用自记忆模型对研究区地下水埋深进行仿真预测是可行的。

4 结 语

本文以新疆希尼尔水库周边区域4号、9号观测井2003-2012年共120个月的地下水埋深观测数据为例，采用自记忆模型，对研究区地下水埋深进行模拟：

(1)自记忆模型在地下水埋深预测中，4号观测井最大相对误差为12.46%，最小相对误差为0.37%，平均相对误差为6.45%；9号观测井最大相对误差为14.37%，最小相对误差为2.08%，平均相对误差为7.44%。总体而言，模型预测精度较高，可用于研究区地下水埋深预测。

(2)自忆性模型强调系统的前后承续性与自身演变对过去历史的依赖。在研究区地下水埋深模拟中，该模型把已有观测资料看作描述实际非线性系统动力模式的一系列特解，通过反演计算得到表述系统的非线性动力模式，在求得系统动力模式后，建立自记忆模型进行系统模拟或预报，因此模型计算精度较高。

(3)本模型适用于具有周期性规律的时间序列观测数据，但在建模时回溯阶数的确定目前只能通过试算得到，这还需要做进一步的探讨。

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