基于混凝土软化特性的拱坝抗拉强度研究

殷 鸣，李同春,2，刘晓青，孙良辰

(1.河海大学水利水电学院，南京 210098；2.水资源高效利用与工程安全国家工程研究中心，南京 210098；3.中国能源建设集团江苏省电力设计院有限公司，南京 211102)

0 引 言

拱坝作为一种空间高次超静定结构，具有受力条件好、超载能力强以及抗震性能好等优点，在我国水力资源丰富的西南部地区被广泛采用。随着小湾拱坝、溪洛渡拱坝、白鹤滩拱坝和乌东德拱坝等一系列特高拱坝的建设，我国混凝土拱坝的科研、设计、施工水平已进入世界先进行列。

应力分析是拱坝设计中的一个重要环节，其中的应力控制标准对拱坝的安全性和经济性起着决定性的作用[1]。我国现行《混凝土拱坝设计规范》(SL282-2003)采用的应力分析方法是拱梁分载法和有限元等效应力法，对坝高200 m以下的拱坝直接给出容许拉应力值进行拉应力的控制。这些拉应力控制指标是在调查了国内已建拱坝的应力计算成果及其控制指标，并参考了国外的拱坝应力控制指标的基础上确定的[2]，带有较强的经验性。拱梁分载法和有限元等效应力法都采用了材料力学的假定，由内力推求应力，故求得的应力值并非坝体各点的准确应力，而是坝体截面上的名义应力。研究与拱梁分载法应力或有限元等效应力相对应的拱坝抗拉强度，可帮助了解拱坝的截面承载力和评价拱坝的抗拉安全性，对设计和科研工作具有一定的参考价值。

由混凝土单轴拉伸应力-应变全曲线可知，在应力达到峰值后会出现应变继续增加而应力逐渐减小的现象，即混凝土的软化特性。在一般的混凝土结构分析中，往往忽略应力峰值后的软化特性，而研究表明混凝土拉伸软化特性对结构计算结果有较大影响，如果在分析中考虑该特性，则结果更接近实际，且能使设计更为合理经济[3-5]。

本文首先简要介绍了混凝土的软化特性，然后利用有限元分析由混凝土单轴拉伸应力-应变全曲线推求弯拉、偏拉强度，并与试验结果对比，验证其可行性。在此基础上，考虑拱坝截面的应力分布，提出了一种基于混凝土软化特性的拱坝抗拉强度确定方法，并应用于实际工程。

1 混凝土软化特性简介

混凝土在过去很长一段时间被认为是脆性材料，即受拉达到极限抗拉强度后立即发生破坏。20世纪60年代起，国外一些学者相继发表了混凝土轴向拉伸应力-变形全曲线的资料[6,7]，表明混凝土在轴心受拉时，并非在最大载荷处断裂，而是存在着峰值后软化现象，即混凝土在达到极限抗拉强度之后，变形继续增加，承载力逐渐减小，直至趋近于零时，混凝土出现宏观裂缝。混凝土材料的软化特性是引起混凝土构件和结构非线性行为的重要原因之一。

软化特性作为混凝土材料的一个重要特性，可用软化区域上的应力与不可恢复变形曲线来表示，即混凝土软化曲线(σ-w曲线)。软化曲线主要包括轴心抗拉强度ft、最大裂缝宽度wu以及断裂能Gf等参数，其中，断裂能为混凝土软化曲线下的面积。国外对混凝土软化曲线研究较早，最早提出这一概念的是Hillerborg教授，他将应变软化关系假定为一直线[8]。之后学者们又提出了双线性、多线性及非线性等多种软化曲线形式。各类软化曲线的提出加深了人们对混凝土软化现象的认识[9-10]。

确定混凝土软化关系的方法主要有直接拉伸法、J积分法和逆分析法3种。逆分析法是近年来的一个研究热点，其基本思想是：假定混凝土应变软化关系，采用数值方法计算特定条件下混凝土的力学行为，计算结果与试验结果误差达到最小时即认为假定的软化关系正确[11]。逆分析法一般结合弯曲受拉或楔入劈拉试验，采用混凝土断裂力学模型的有限元方法和优化技术进行数值模拟。研究结果表明，采用逆分析法得到的软化曲线与由直接拉伸试验得到的软化曲线非常接近[12-14]。

2 混凝土抗拉强度

为了研究拱坝抗拉强度，首先探讨混凝土的抗拉强度。根据试验中应力分布的不同，混凝土材料的抗拉强度主要有轴心抗拉强度(轴拉强度)、弯曲抗拉强度(弯拉强度)、偏心抗拉强度(偏拉强度)3种。其中，单轴拉伸试验无需做理论上的近似假定，得到的轴心抗拉强度是混凝土材料的“真实抗拉强度”，是我国《水工混凝土结构设计规范》(SL191-2008)规定的抗拉强度标准值。由弯曲抗拉试验和偏心抗拉试验得到的强度是建立在材料力学基本假设的基础上的，其试件截面上的应力分布不均匀，能够反映混凝土构件在特定荷载组合下的截面承载力，更接近大体积混凝土的实际受力状况，具有广泛的应用价值，一些国家也已将抗弯强度列入国家标准[15]。运用逆分析法求混凝土软化曲线是假定拉伸软化曲线，通过数值模拟断裂试验，使计算结果与试验结果相等。那么，利用由单轴拉伸试验得到的实际软化曲线，对弯曲抗拉试验和偏心抗拉试验进行数值模拟，就可计算出混凝土的弯拉强度和偏拉强度。下面通过试验和数值计算验证该方法。

2.1 混凝土单轴拉伸应力-应变全曲线试验

试验装置见图 1。

图1 混凝土轴心抗拉试验装置Fig.1 Concrete direct tension test device

混凝土试件配合比为水泥∶砂∶石子∶水灰比=1∶2.09∶3.88∶0.58，实测28d龄期的150 mm立方体抗压强度为29.02 MPa，采取预埋式端头夹持方式，采用自拌混凝土钢模浇筑成型，自然养护，7 d拆模，养护28d进行试验。试件尺寸为100 mm×100 mm×550 mm。

试验测得混凝土试件轴心抗拉强度平均值为1.52 MPa，其中一个试件的应力-应变全曲线见图2。

图2 混凝土应力-应变全曲线Fig.2 Concrete stress-strain complete curve

在单轴拉伸试验中，混凝土的总变形δ为：

δ=δe+δo+w

(1)

其中，δe=(σ/Et)/l；δo=δp-δep；w=δ-δe-δo。

式中：δe、δo分别为断裂区以外混凝土的弹性变形、残余变形，均与试件的长度l有关；w为裂缝发展宽度，与试件长度无关，根据Hillerborg的虚拟裂缝模型中的假设[8]，在达到应力峰值前w为0；Et为混凝土受拉弹性模量；δp、δep分别为峰值应力时的总变形和弹性变形。

基于上述计算原理，由单轴拉伸试验得到的一条混凝土拉伸软化曲线见图 3，软化曲线下的面积即为断裂能。试验测得的断裂能平均值为44.6 N/m。

图3 混凝土拉伸软化曲线Fig.3 Concrete tension softening curve

2.2 混凝土四点弯曲抗拉试验

试验设备为电子万能试验机。梁试件尺寸为150 mm×150 mm×550 mm，中部有深40 mm、宽5 mm的预切缝。加载示意图见图 4，P为荷载。

试验测得的弯曲抗拉强度为2.57 MPa。

图4 四点弯曲抗拉试验加载示意图(单位：mm)Fig.4 Loading diagram of four-point bending test

2.3 混凝土偏心抗拉试验

试验装置与轴心抗拉试验相同。梁试件尺寸为100 mm×100 mm×550 mm，偏心距为10 mm。

试验测得的偏心抗拉强度为2.37 MPa。

2.4 由单轴拉伸试验结果推求弯拉及偏拉强度

为便于数值分析，将单轴拉伸试验得到的软化曲线分别拟合为单线性、双线性、非线性(Cornelissen曲线型[16])软化曲线，见图5。

图5 拟合软化曲线Fig.5 Fitted softening curve

利用拟合后的软化曲线及混凝土材料基本参数，采用虚拟裂缝模型的有限元混合法[17]，对四点弯曲抗拉试验和偏心抗拉试验进行数值模拟计算。二维有限元模型见图 6、图 7，数值模拟推求结果见表1。

图6 四点弯曲抗拉试验二维有限元模型Fig.6 2D finite element model of four-point bending test

图7 偏心抗拉试验二维有限元模型Fig.7 2D finite element model of eccentric tension test

软化曲线类型弯拉极限破坏荷载/kN弯曲抗拉强度/MPa与试验结果偏差百分比/%偏拉极限破坏荷载/kN偏心抗拉强度/MPa与试验结果偏差百分比/%单线性24.723.3028.416.932.7114.3双线性19.912.653.1115.662.515.91非线性21.942.9314.016.172.599.28试验结果-2.57--2.37-

由表1可以看出，由单线性软化曲线推求出的弯拉强度与试验结果偏差较大，由双线性和非线性软化曲线得到的弯拉强度与试验结果较为接近，偏差在15%以内；三种拟合软化曲线的偏拉强度推求结果均与试验结果比较接近，偏差均在15%以内。双线性软化曲线的弯拉、偏拉强度推求结果与试验结果最为接近，偏差均在6%以内。该结果表明，借助有限元方法，由混凝土单轴拉伸应力-应变全曲线推求弯拉和偏拉强度是可行的。

结果中的误差主要来源于两方面，一是试验结果的误差，二是数值模拟中软化曲线拟合以及有限元计算所导致的误差。

3 一种拱坝抗拉强度确定方法

3.1 基本原理

在前文试验中，轴拉强度、弯拉强度、偏拉强度三者并不相等的主要原因是混凝土构件在承载过程中的应力分布情况不同，三者的典型应力分布情况见图8。那么，混凝土拱坝截面上的应力分布不同，其抗拉强度也就不同。在此基础上，本文提出了一种确定拱坝抗拉强度的方法。

图8 构件截面典型应力分布Fig.8 Typical stress distribution in cross section

拱坝是偏心受压结构，坝体水平截面上的典型应力分布如图9所示，一边受压，一边受拉。由拱梁分载法和有限元等效应力法计算得到的拱坝截面应力分布相似，如图10。这样的应力分布图形与材料力学中偏心受拉构件的应力图形相同，均为两端应力值不同，中间呈线性分布，故认为拱坝截面受拉破坏的模式与混凝土偏心受拉构件的破坏模式是类似的。

当根据拱坝所处的荷载组合，已由拱梁分载法或有限元等效应力法计算得到坝体某个截面上的线性化应力分布时，在假定拱坝应力图形不变的前提下，总能找到一个偏心受拉构件的应力分布图形与拱坝该截面此时的应力图形相同，可以该偏心受拉构件的偏拉强度来代表该截面在该荷载组合下的抗拉强度。

3.2 实现过程

偏心受拉构件的应力分布图形的形状可用截面相对偏心距(偏心距/截面半高2e/h)来代表。拱坝截面上的应力分布图形在不同荷载组合下是不同的，而仅通过试验来获得各种应力分布情况下的混凝土偏拉强度几乎是不可能的，因此可采用由混凝土单轴拉伸应力-应变全曲线推求偏拉强度的方法。

确定拱坝抗拉强度的具体步骤如下：

(1)测出数值模拟所需的材料基本参数，如拱坝混凝土材料的弹性模量、泊松比等；

(2)获得轴拉强度、软化曲线及断裂能：对拱坝混凝土进行单轴拉伸试验，测得轴拉强度ft及拉伸应力-应变全曲线，由应力-应变全曲线推得拉伸软化曲线及断裂能Gf，并对软化曲线进行拟合；

(4)查得拱坝截面抗拉强度：根据拱坝所处的荷载组合，利用拱梁分载法或有限元等效应力法算出拱坝各截面的内力，并计算各截面的相对偏心距2e/h，据此从相对偏心距与偏拉强度的对应关系中查取偏拉强度作为此荷载组合下拱坝该截面的抗拉强度。

3.3 实例分析

将本文提出的拱坝抗拉强度确定方法应用于某拱坝。

该拱坝坝型为变圆心变外半径的双曲拱坝，坝底高程92 m，最大坝高99 m，坝顶宽8 m，坝底宽25 m，拱冠梁剖面如图11。水库正常蓄水位183.75 m，坝前淤沙高程115 m。

图11 拱冠梁剖面示意图(单位：m)Fig.11 Arch crown beam profile

假设坝体混凝土材料及配合比与第3节中试验所采用的混凝土相同。混凝土材料参数：密度ρ=2 400 kg/m3，弹性模量E=25 GPa，泊松比υ=0.2，轴心抗拉强度ft=1.52 MPa，断裂能Gf=44.6×10-3kN/m。

软化曲线采用双线性曲线，利用虚拟裂缝模型的有限元混合法程序计算不同偏心距下的偏拉强度[17,18]，得到相对偏心距与偏拉强度之间的关系曲线，见图12。由图12可知，随着应力分布的不同，该拱坝的抗拉强度可能在1.52～3.69 MPa的范围内变化，大于我国现行拱坝设计规范(SL282-2003)中规定的1.2 MPa的容许拉应力[2]，且截面相对偏心距越大，其抗拉强度越大。

图12 相对偏心距与偏拉强度关系曲线Fig.12 Relative eccentricity-Eccentric tensile strength

考虑坝体自重、水荷载、泥沙荷载及温降荷载，采用拱梁分载法计算拱坝拱冠梁的2～4号水平截面的内力及相对偏心距，根据截面相对偏心距，查图12，得到拱坝各截面在该荷载组合下的抗拉强度。结果见表2及图13，表中应力以拉应力为负，压应力为正。

表2 拱冠梁各截面抗拉强度及应力Tab.2 Tensile strength and stress of sections of crown cantilever

图13 拱坝抗拉强度分布图Fig.13 Tensile strength distribution of arch dam

由表2和图13可知，在该荷载组合下，用拱梁分载法计算的拱坝四层水平截面中，只有靠近底部的两个截面的上游部位出现了拉应力，且拉应力值均远小于用本文方法得到的拱坝截面抗拉强度，表明若考虑混凝土的软化特性及拱坝截面应力分布特点，该算例中的拱坝截面是具有较高的抗拉安全裕度的。另外，越靠近坝底的截面抗拉安全系数越小，这符合理论上的规律。

4 结 论

应用虚拟裂缝有限元方法，考虑混凝土软化特性，可由单轴拉伸应力-应变全曲线推求出混凝土在不同相对偏心距下的偏心抗拉强度。利用该方法，提出了一种拱坝抗拉强度的确定方法：在某一荷载组合下，采用与拱坝某截面此时的应力分布相同的混凝土偏拉构件的偏拉强度，作为拱坝该截面在该荷载组合下的抗拉强度。算例表明，本文提出的分析方法是合理可行的，能够较合理地评价拱坝的抗拉安全性。用本文方法得到的拱坝抗拉强度考虑了混凝土的软化特性及拱坝截面应力分布，能更准确地反映拱坝在工作中的实际承载力，若应用于设计研究，可进一步发挥拱坝结构的抗拉能力，使设计更为经济合理。

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[1] 朱伯芳,董福品. 高拱坝应力控制标准研究[J]. 水力发电, 2001,(8):57-59.

[2] SL 282-2003. 混凝土拱坝设计规范[S].

[3] 申 艳,叶 锐. 混凝土受拉软化特性对完全联合承载蜗壳非线性有限元分析的影响研究[J]. 中国农村水利水电, 2011(5): 97-100.

[4] 张 伟,伍鹤皋. 考虑混凝土软化和分期施工的坝后背管非线性分析[J]. 水力发电学报, 2008,(6):73-78,83.

[5] 吴海林,冉红洲,周宜红. 考虑混凝土软化特性的钢衬钢筋混凝土压力管道承载性能研究[J]. 应用基础与工程科学学报, 2014,(6):1 108-1 114.

[6] Evans R H, Marathe M S. Microcracking and stress-strain curves for concrete in tension[J]. Materials and Structures, 1968,1(1):61-64.

[7] Hughes B P, Chapman G P. The complete stress-strain curve for concrete in direct tension[J]. Matls & Structures, Res & Testing/Fr/, 1966,3(30):95-97.

[8] Hillerborg a, Modeer m, Petersson p e. Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements[J]. Cement and Concrete Research, 1976,6(6):773-782.

[9] 王秋雨. 基于进化算法的三点弯曲梁混凝土软化本构关系研究[D]. 杭州: 浙江工业大学, 2012.

[10] 金南国,金贤玉,沈 建,等. 早龄期混凝土软化关系的数值分析[J]. 浙江大学学报(工学版), 2009,(4):732-737.

[11] 赵志方,李 铭,赵志刚. 逆推混凝土软化曲线及其断裂能的研究[J]. 混凝土, 2010,(7):4-7.

[12] 刘进宝,赵志方,宋柳林,等. 基于三点弯曲梁试验的混凝土软化特性[J]. 兰州大学学报 (自然科学版), 2012,48(5).

[13] 丁晓唐,丁 鑫,刘海霞,等. 混凝土直拉试验和三点弯曲断裂试验确定的软化曲线的比较[J]. 水电能源科学, 2014,(1):116-118, 156.

[14] Koide h, Akita h, Sohn d. A comparison in tension softening curves obtained by a uniaxial tension test and a 3-point bending test with an inverse analysis[C]∥ Proceedings of the 4 th International Conference on Fracture Mechanics of Concrete and Concrete Structures, 2001.

[15] 饶宏玲,计家荣. 拱梁分载法拱坝抗拉强度准则研究[J]. 水力发电, 2002,(11):58-60.

[16] 江见鲸. 混凝土结构有限元分析[M]. 北京: 清华大学出版社, 2005:52-53.

[17] 赵兰浩,李同春,颜天佑. 虚拟裂缝模型的接触有限元法实现[J]. 工程力学, 2010,(5):60-67.

[18] 赵兰浩,李同春,牛志伟. 有初始间隙摩擦接触问题的有限元混合法[J]. 岩土工程学报, 2006,28(11):2 015-2 018.