非充分灌溉条件下多目标整数规划配水模型构建

宋 歌，陈玉珊，张 珊，赵 航，谭 倩※

（1.中国农业大学水利与土木工程学院，北京 100083；2.广东工业大学生态环境与资源学院，大湾区城市环境安全与 绿色发展教育部重点实验室，广州 510006；3.水利部节约用水促进中心，北京 100038；）

0 引 言

灌区水资源优化配置是实现农业水资源可持续利用的重要调控方式之一。优化管理措施以及合理分配农业水资源，对于提高农业产量、满足粮食需求至关重要。目前已有许多关于灌溉水资源优化配置的研究。由于水生态破坏问题的加剧，许多水资源优化配置模型中也纳入了对环境因素的考虑，例如Afzal等对不同水源和水质的灌溉水进行了分配；赵丹等在灌区水资源优化配置中预留了维护灌区生态环境不再恶化所需的最小水资源量。目前考虑到环境因素的灌溉水资源配置主要是对污水、劣质地下水的利用，或者对生态需水量的预留，尚缺乏从作物种植灌溉源头上减少污染的研究。

非充分灌溉是干旱条件下获得作物较佳生产方式有效和实用的方法之一，对干旱和半干旱地区尤为重要。研究表明，通过实行非充分灌溉，将灌溉水应用到作物最敏感的生长阶段，可以提高水分生产力，即作物产量与蒸散量的比率。Lopez等将非充分灌溉整合到作物生长期灌溉水分配模型中，模拟缺水地区作物生长过程农业生产过程。Brumbelow等开发了三种不同的衍生方法来确定作物水分生产函数，使用优化模型以实现不同灌溉水平下作物产量的响应。以上研究主要基于水分生产函数，以作物的产量作为灌溉水优化配置的目标，未考虑作物品质。对于节水型瓜果等经济作物，品质是影响农业增收和绿色发展的要素，因此考虑非充分灌溉对果实品质产生的不同影响是有必要的。在对水分亏缺敏感的生育阶段适当采取非充分灌溉措施可以提高作物的品质，从而节约灌溉水量，增加农民经济收入。关于非充分灌溉对作物品质方面的影响，目前已有较多田间试验和模型等相关研究。Wang等研究发现在番茄的任一生育期采取非充分灌溉方式都对果实品质提高有正向作用，在花期和坐果期尤为显著。Patel等对非充分灌溉条件下不同基因型硬粒小麦籽粒的色斑现象和品质进行了研究。王瑞萍等对不同生育阶段不同程度的水分亏缺对河套蜜瓜产量和品质的影响进行了分析。季延海等研究了灌溉量对番茄生长和品质的影响，明确了灌溉量对番茄品质的调控效果。目前在作物水分与品质响应相关的研究中，并没有形成类似水分与产量的明确函数关系，主要针对特定的作物，得到水分亏缺对果实品质指标如还原性糖、可溶性固形物等产生的影响。目前只有极少数研究将非充分灌溉对作物品质的影响纳入水资源优化配置中。陈金亮进行了番茄果实生长和糖分模拟及节水调质灌溉决策研究，通过田间试验得到了不同品质指标下的水分—品质函数关系。但这些研究在优化模型中没有考虑到不确定因素以及非充分灌溉过程的环境效应。

采取非充分灌溉手段除了能提高水分生产力和作物品质，在作物生育期内也会对污染物的淋失过程产生相应的影响，这种影响可以通过灰水足迹理论来进行表示。2008年Hoekstra等明确了灰水足迹的概念，灰水足迹是指稀释生产活动中产生的污染物，使水质符合环境标准所需的水量，它可以量化农业生产对环境的负面影响。目前涉及灰水足迹的研究主要是评价和量化分析，而将其运用于优化决策的研究较少，仅有个别研究基于水足迹理论优化了农作物的种植结构。其中，Galan-Martin等以西班牙小麦生产为例研究了考虑生产和环境标准的雨养和灌溉农业区的多目标优化；Chu等利用灰水足迹对作物种植结构进行了优化。然而，目前的研究大多忽视了灰水足迹的不确定性，但由于不同地区灌溉水量的不同，且作物对农用化学物质吸收利用不同，导致污染物的淋失存在不确定性，因此在模型中对灰水足迹的计算引入不确定性是必要的。

因此，本研究基于非充分灌溉和灰水足迹理论，考虑作物生产以及灌溉水资源系统中经济、作物产量等参数的不确定性、灌水量对于作物品质影响的不确定性和污染物淋失的复杂性，建立多目标农业水资源优化配置模型，以期提高作物生产的综合效益、减少灰水足迹，从而达到促进灌溉水资源高效绿色利用的目的。以水资源供需矛盾突出以及面源污染严重的河套灌区作为研究区，为决策者提供作物种植结构调整和灌溉水配置的优化方案。

1 材料与方法

1.1 模型方法

在解决实际问题时，决策者通常需要实现多个方面的目标，此时可以用多目标规划模型进行解决，模型包含多个相互制约的目标函数，多目标规划模型表示如下：

在一些决策问题中，根据实际情况常常要求决策变量是整数，整数规划是解决这类问题的有效方法。而0-1整数规划则以决策变量为0或1表示是或非，模型表示如下：

作物水分生产函数是描述需水量与作物产量之间关系的函数。本研究采用Jensen水分生产函数模型。

考虑到灌溉水量减少对于品质有不同的影响，而相比之下经济作物对于品质有更高的要求，因此本研究选取河套灌区主要的两种经济作物番茄和瓜类进行研究。 根据作物特性以及目前的研究成果可知，当计算番茄果实相对品质综合指标时，Additive模型的拟合效果最好，因此对番茄采用已有研究提出的番茄水分品质模型Additive模型。

式中为作物在亏缺灌溉方式下的品质指标；Q为作物在充分灌溉方式下的品质指标；β为作物在生育阶段的品质水分亏缺敏感指数；ET和ET分别为第生育阶段作物在区域的实际蒸散量和最大蒸散发量，mm。

本研究中番茄的品质指标采用可以反映果实综合品质的果实品质综合指数。采用综合指数法，品质综合评价值为各品质的加权评价值之和，对可溶性固形物、还原性糖、有机酸含量、糖酸比、维生素C含量、果实硬度和果色指数进行综合评价，得到果实品质综合指数。当全生育期进行充分灌溉时=1。

根据河套灌区目前瓜类水分亏缺与品质之间进行的田间试验和分析研究，瓜类的品质指标选取对品质有重要影响的可溶性总糖含量，对于瓜类而言，虽然已有许多田间试验对采取充分灌溉、轻度亏缺灌溉和重度亏缺灌溉时品质的变化进行研究，但目前并没有研究给出水分-品质函数关系，因此需要在经济-品质-环境多目标模型中引入区间规划方法表征和处理不确定性。因此，本研究用区间不确定性的方法对水分对品质的影响进行表示，并选取与瓜类价格关系最大的可溶性总糖含量作为品质指标。

1.2 水资源优化配置模型

为了达到配水目的，本研究基于非充分灌溉和灰水足迹理论，运用作物生产函数、非充分灌溉与作物之间的关系构建经济效益目标和作物品质目标函数，使用多目标整数规划建立作物经济效益-品质-环境多目标模型，对作物生育期内的灌溉水量进行优化配置，使作物生产的综合效益最大化，实现可持续发展，为决策者提供参考。结合目前非充分灌溉的相关研究，以及考虑到对于河套灌区灌溉管理的便利性，本研究对不同生育阶段设置充分灌溉、轻度亏缺灌溉、重度亏缺灌溉3种选择情况，参考文献[28-29]分别设置为灌溉定额的100%、67%和33%。

1）模型建立

目标函数1：经济效益最大

采用亏缺灌溉方式会减小作物的产量，进而减少作物生产带来的经济效益。此目标为作物生产带来的经济 效益的最大化。

式中为经济效益，元；S为作物的种植面积，hm；P为作物的价格，元/kg；Y为作物在充分灌溉条件下的最高产量，kg/hm；P为第生育阶段的有效降水量，mm；为亏缺灌溉程度选项，即减少灌水量的程度；X为二进制变量，表示种植区域是否在作物生育阶段采取灌溉方式，0代表采用，1代表不采用；a为种植区域在作物生育阶段采取的亏缺灌溉程度，即采取减少不同灌水量份额的方式下的亏缺灌溉比例；λ为作物的缺水敏感指数；为当地水价，元；为灌溉水利用系数。

目标函数2：作物品质最优

采用亏缺灌溉方式可以在一定程度上提高果实的品质，此目标函数旨在寻求作物品质的最优值。

式中Q为充分灌水条件下作物的品质指标。

目标函数3：作物生产带来的灰水足迹最小

在干旱地区，作物生产的灰水足迹与灌溉水量有关，采取亏缺灌溉方式会减少对作物生产带来的灰水足迹。此目标旨在寻求作物生产带来的灰水足迹的最小值。

式中Q为作物生育期内充分灌水条件下污染物淋失量，kg/hm；C为环境标准允许的污染物最大浓度，kg/m；C为作物生育期地下水污染物浓度，kg/m。

约束条件：

①粮食安全约束

为了避免影响区域的粮食安全性，需要保证每一区域的产量能够满足最低需求量。

式中D为区域的作物需求量，kg。

②可用水量约束

对于每一地区的作物，灌水量不能超过该地区可以提供给作物的农业可用水量。

式中N为区域作物的农业可用水量，m。

③二进制决策变量约束

④亏缺灌溉选项约束

对于作物的每个生育阶段，只能选取1种灌溉方式。

2）模型求解

本文采取Hassan方法对目标进行规范化处理。

对于求最大值类型目标函数：

对于求最小值型目标函数：

因此，目标函数可以转化为：

对于多目标模型的重要性权重，本文采用Saaty提出的1-9比例标度法。分析决策者的三种不同偏好，即分别偏向于追求经济效益、作物品质以及对环境的低水平负面效应，构造判断矩阵。本文考虑的3种不同情况权重系数计算结果分别为=0.637、=0.258、=0.105；=0.258、=0.105、=0.637；=0.258、=0.637、=0.105。、、分别代表偏好经济效益、作物品质、环境效益情景的权重系数。

因此，多目标模型可以整合成如下单目标形式进行求解：

1）模型建立

对于瓜类而言，目前并没有参考水分-品质函数关系的相关研究，但是有许多田间试验对采取充分灌溉、轻度亏缺灌溉和重度亏缺灌溉时品质的变化进行研究，因此结合已有文献的田间试验研究，在模型中引入不确定方法表示采取不同灌水量对于品质的响应值。本文在模型中加入区间不确定性方法，将模型改进为多目标区间混合整数规划配水模型。目标函数可以改进为如下形式：

2）模型求解

首先对目标函数进行规范化处理，采用层次分析法将多目标函数转化为如下形式：

2 结果与分析

2.1 番茄配水模型结果分析

不同生育阶段番茄对品质的缺水敏感指数根据陈金亮的研究结果，苗期、花期、坐果期、红熟期分别为0.005 7、0.005 7、0.183 1、0.342 9，缺水敏感指数代表作物品质对于水分亏缺的敏感程度，其值越大代表作物品质在此生育阶段对水分亏缺越敏感。本文以经济-品质-环境、环境-经济-品质、品质-经济-环境3种偏好为例，分析农业水资源优化配置结果。其中经济、品质和环境的顺序反映了决策者对于这一特性的偏好排序。

当决策者对于经济效益的偏好高于品质和环境时，配水结果如图1所示，图中百分比指作物灌溉水量占充分灌溉所需水量的百分比。通过求解结果可以得出：不同区域的苗期和花期灌溉程度均为100%，仅乌拉特后旗在苗期时灌溉程度为67%，采取轻度亏缺方式。这一结果与实际操作中苗期和花期的灌溉情况相符，因为苗期和花期的充分灌溉对于作物产量的提高作用明显，因此基本不采取亏缺灌溉方式。而坐果期和红熟期采取了不同程度的亏缺灌溉方式，红熟期灌溉程度均为33%，而坐果期仅有磴口县灌溉程度为33%，乌拉特前旗、乌拉特中旗、乌拉特后旗为67%，其余地区均为100%，可见红熟期的灌溉水量比坐果期少，这也是因为当番茄生长到后期时，灌水量对产量的提高作用已经不大，相反灌溉水量过多还会引发果实的腐烂。

图1 经济-品质-环境多目标情景下番茄生育期配水结果 Fig.1 Water distribution results of tomato growth period under the multi-objective scenario of economy-quality-environment

当决策者对于环境的偏好高于经济和品质时，配水结果如图2所示，不同生育期的灌溉水量均减少，除乌拉特后旗的苗期外均采用了轻度亏缺或重度亏缺的灌溉方式。并且在不同区域的作物生育期中，灌溉程度主要为33%，部分为67%，重度亏缺灌溉方式采用较多。苗期的灌溉水量均高于其他生育阶段或与其他生育阶段相当，这是因为苗期是根茎生长的主要时期，对于后续作物的生长结果有重要作用，并且在苗期进行亏缺灌溉对作物品质的提高作用并不大。因此在其他生育阶段采取重度亏缺灌溉更为合适。

图2 环境-经济-品质多目标情景下番茄生育期配水结果 Fig.2 Water distribution results of tomato growth period under the multi-objective scenario of environment-economy-quality

当决策者对于品质的偏好高于经济和环境时，如图3所示，在苗期和花期的灌溉程度主要为100%，部分为67%，与当决策者偏好经济目标时的结果接近，主要采取充分灌溉的方式进行，这主要也是因为在生育阶段初期进行充分灌溉对作物果实的生长有利。而坐果期和红熟期对作物主要采取重度亏缺灌溉的方式，红熟期灌溉程度均为33%，坐果期主要为33%，仅乌拉特中旗、乌拉特后旗为67%，这与偏好经济时的结果较为接近。推测主要原因是当果实生长时，采取亏缺灌溉可以限制果实的体积膨大，使果实内的水分含量相对减少而有助于形成可溶性糖等营养物质，从而提高作物的品质。

图3 品质-经济-环境多目标情景下番茄生育期配水结果 Fig.3 Water distribution results of tomato growth period under the multi-objective scenario of quality-economy-environment

分别求解经济、品质和环境3个单目标模型，与不同偏好水平下的3种多目标模型进行对比，如表1所示。与经济-品质-环境多目标模型相比，虽然只考虑经济单目标时，经济效益将提高6%，为33.3×10元，但作物的灌溉水量为5.57×10m，灰水足迹高达2.58×10m，均提高了10%左右，品质指标仅为7.2，减少了14%。

表1 番茄多目标与单目标模型结果对比 Table 1 Model results comparison of multi-objective model and single-objective model of tomatoes

这说明，只考虑经济目标的配水方案尽管经济效益较经济-品质-环境多目标好，但品质较低，灌溉水量更多，灰水足迹更大，对环境的负面效应明显，因此采用经济-品质-环境多目标模型能兼顾品质指标和环境效益，弥补单目标模型只注重经济而忽视品质、环境目标的缺陷。采用环境单目标方式时，尽管灰水足迹少7%，但在品质指标相同的情况下，经济效益仅为12.4×10元，相比环境-经济-品质多目标减少了16%，经济效益大打折扣。同理，采用品质单目标的方式，尽管灰水足迹减少了29%，但在品质指标相同的情况下，经济效益相比品质-经济-环境多目标减少幅度高达42%，减少了8.9×10元。可以看出品质-经济-环境、环境-经济-品质多目标相较于单目标，能在牺牲较小程度环境效益的情况下，最大化增加经济效益。因此，无论采取哪种偏好的多目标模型，其整体水平均优于单目标模型。

针对三种偏好的多目标模型，决策者可以根据不同的需求进行选择。当采取经济-品质-环境多目标模型时，可以创造较高的经济效益，但是灌溉水量为5.05×10m、灰水足迹为2.33×10m，显著高于其他两种多目标模型的结果，品质也不如另外两种情况，对河套灌区水资源短缺及面源污染现状而言并不适用，如果当地有较为紧迫的节约水资源和保护环境的要求时，这种方式不宜采用。当采取环境-经济-品质多目标模型时，灌溉水量为2.67×10m、灰水足迹为1.24×10m，品质指标为8.7，可以较大幅度节约灌溉水量，减少灰水足迹，且品质也较高，但经济效益相比经济-品质-环境、品质-经济-环境多目标结果分别减少53%、31%。河套灌区作为重要的粮食经济区域，经济效益减少过多不能满足现实情况，这种情况适合当地经济压力并不大时采取。当采取品质-经济-环境多目标模型时，果实的品质水平与品质单目标的结果均为8.7，品质较高，而经济效益目标值、所需灌溉水量以及灰水足迹分别为21.3×10元、3.51×10m、1.62×10m，均处在其他两种多目标模型结果之间，既可以节约灌溉水量，又对环境较为友好，同时也能创造良好的经济效益，因此这是一种比较温和的方式，可以在保证品质的同时不致使其他目标值水平过差。该番茄配水模型可适用于有确定水分-品质函数的经济作物。

2.2 瓜类配水模型结果分析

根据河套地区目前已有的试验及研究成果对瓜类品质指标进行计算。本研究选取与瓜类价格关系最大的可溶性总糖含量作为品质指标。不同生育阶段不同亏缺灌溉程度下的品质变化数据来自河套灌区已有田间试验的结果。

当决策者的偏好依次为经济、品质、环境时，模型结果如图4所示，图中上下限表示运用基于区间不确定性方法的多目标区间混合整数规划配水模型求解的灌溉程度上下限。不同区域的作物在苗期和成熟期灌溉程度主要为100%，采用充分灌溉方式，在伸蔓期和膨大期灌溉程度主要为67%，部分为33%、100%，基本采取了不同程度的亏缺灌溉方式。所有区域中乌拉特后旗的灌溉水量最少。磴口县、杭锦后旗、临河区和五原县灌溉程度均为67%以上，灌溉水量较多，灌溉方式类似。在五原县、乌拉特前旗、乌拉特中旗和乌拉特后旗地区，不同时期的灌溉程度有可选范围，可根据当地情况适当调整灌溉程度。

图4 经济-品质-环境多目标情景下瓜类生育期配水结果 Fig.4 Water-distribution results of melon growth period under the multi-objective scenario of economy-quality-environment

当决策者的偏好依次为环境、经济、品质时，如图5所示。不同区域在作物的整个生育阶段基本需要采取亏缺灌溉的方式，灌溉水量明显减少。在伸蔓期和膨大期大多数区域灌溉程度为33%，采用重度亏缺的灌溉方式，在乌拉特中旗和乌拉特后旗可以将重度亏缺调整为轻度亏缺方式，决策者可以按实际情况选择。在苗期和成熟期，决策者可以选取重度亏缺的灌溉方式，但若当地的水资源压力不大，也可以作适当的调整。

图5 环境-经济-品质多目标情景下瓜类生育期配水结果 Fig.5 Water distribution results of melon growth period under the multi-objective scenario of environment-economy-quality

当决策者的偏好依次为品质、经济、环境时，如图6所示。决策者在各个区域都可以选择较为灵活的调整，在苗期和成熟期较多区域采取充分灌溉方式，但若当地水资源较为紧张，也可以适当减少灌溉水量。在伸蔓期和膨大期灌溉程度主要为67%，部分为33%，采取亏缺灌溉的方式，并且在膨大期亏缺程度更大，这主要是因为在这两个时期减少灌水量对作物品质提高作用较大，限制果实的膨大可有助于果实内营养物质的产生，使作物的品质更优。

图6 品质-经济-环境多目标情景下瓜类生育期配水结果 Fig.6 Water distribution results of melon growth period under the multi-objective scenario of quality-economy-environment

将求解出的多目标模型结果与只考虑经济、环境或品质的单目标模型相对比，如表2所示。经济-品质-环境多目标与经济单目标模型的经济效益分别为[9.5×10,25.2×10]元、[9.7×10,25.8×10]元，相差较小，但经济单目标模型的品质指标为[11.1,20.5]，灌溉水量为[7.85×10,10.01×10]m，灰水足迹为[2.42×10,4.23×10]m，品质指标减少了35%～54%，灰水足迹增加了13%～15%，相较而言经济-品质-环境多目标的品质指标、环境效益均有较大程度提升，更适合实际情况。而环境和品质单目标求解结果相较于环境-经济-品质、品质-经济-环境多目标结果，又使经济效益减小过多，分别减少15%和8%左右，不适合实际情况；环境-经济-品质、品质-经济-环境多目标与环境、品质单目标模型相比，则能在注重环境、品质目标的前提下，同时最大化增加经济效益，更加综合考虑实际农业生产中各个目标的需求。采取多目标模型的计算结果要优于这3种单目标模型。

表2 瓜类多目标与单目标模型结果对比 Table 2 Model results comparison of multi-objective and single-objective model of melons

比较3种偏好下多目标模型的结果可看出，当采取经济-品质-环境多目标的求解结果时，品质指标均低于其他两种多目标结果，求解出的经济效益为[9.5×10,25.2×10]元，与环境-经济-品质多目标相比，经济效益提升了10%～20%，但灰水足迹明显提升，提高了36%～48%，而与品质-经济-环境多目标相比，经济效益仅提升了2%～3%，但灰水足迹提升幅度较大，为8%～16%，不适于水资源和环境压力较大时采用。当采取环境-经济-品质多目标的求解结果时，灰水足迹和灌溉水量分别为[1.36×10,1.94×10] m、[4.43×10,4.68×10] m，均明显降低，品质处于其他两种偏好的求解结果之间，但经济效益较低，仅为[7.6×10,22.7×10]元，这种方式对环境和水资源较为友好。当采取品质-经济-环境多目标的求解结果时，品质达到[25.3,32.7]的最优值，而经济效益为[9.2×10,24.8×10]元，灰水足迹为[1.94×10,3.15×10] m，灌溉水量为[6.32×10,7.62×10] m，均位于其他两种偏好多目标的求解结果之间，不会达到较差的水平。该瓜类配水模型可适用于无确定水分-品质函数的经济作物，决策者可以在不同偏好的多目标模型求解结果中按需选择。

3 结 论

针对非充分灌溉下水资源优化配置的模型研究中没有充分考虑灌溉水量减少对于经济效益、作物产量和品质、环境效应的多重影响及其中的不确定性的问题，本文引入多目标规划、区间规划和整数规划方法，建立了基于灰水足迹和非充分灌溉的经济-品质-环境多目标整数规划模型，提出了番茄和瓜类生育期内灌溉水量的科学配置方案。结论如下：

1）通过与相应的单目标模型之间的对比发现，多目标模型结果优于单目标的情况。其中番茄品质-经济-环境多目标模型品质指标为8.7，经济效益为21.3×10元，灰水足迹为1.62×10m，灌溉水量为3.51×10m，瓜类品质-经济-环境多目标模型品质指标为[25.3,32.7]，经济效益为[9.2×10,24.8×10]元，灰水足迹为[1.94×10,3.15×10]m，灌溉水量为[6.32×10,7.62×10]m，可以使各项指标均处在总体较好情况。

2）通过分析优化后的配水方案，在分配作物灌溉水资源时，如果决策者偏好于环境目标，则各生育期内作物灌溉水量占充分灌溉所需水量的百分比，即灌溉程度主要为33%，66%的灌溉程度次之，亏缺灌溉的程度较高；如果决策者偏好于经济目标，则各生育期内灌溉程度大部分为100%，灌溉水量均相对较多，亏缺灌溉的程度较小；而当决策者偏好于品质目标时，灌溉水量则介于前述两种情况之间。

3）针对作物进行分析可以看出，番茄在苗期和花期灌溉程度均为100%，灌水量要大于坐果期和红熟期；而瓜类亏缺灌溉主要在伸蔓期和膨大期，灌溉程度主要为33%、66%。