基于高维Copula函数的逐日潜在蒸散量及气象干旱预测

顾世祥，赵 众，陈 晶，陈金明,3，张刘东

基于高维Copula函数的逐日潜在蒸散量及气象干旱预测

顾世祥1,2，赵 众1，陈 晶1,2，陈金明1,2,3，张刘东1

（1. 云南农业大学城乡水安全与节水减排高校重点实验室，昆明 650201；2. 云南省水利水电勘测设计研究院，昆明 650021；3. 武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉 430072）

尝试引入高维Copula函数对影响参考作物蒸散量ET0的气象因素进行联合分布构建，揭示不同变量间的相关结构，建立多元气象因素对ET0的联合分布模型，对逐日ET0及短期干旱等级进行预测，并将枯季1—4月份的多维Copula联合分布预测模型的系统性偏差构造成修正函数，代回ET0预报模型以改善预报效果，利用洱海流域内大理站1954—2018年逐日气象观测数据，以FAO Penman-Monteith方程为标准值对比分析。结果表明：1）平均气温（）和最高气温（max）2个气象因子组合时，二维Normal Copula模型对逐日ET0预测的精度最高，叠加上修正函数项之后，相对误差小于10%、15%、20%、25%的样本比例分别提高到71.6%、84.4%、91.4%、96.5%，全年符合指数IA变化范围为0.98～0.99，平均偏差ME为0.17～0.30，均方根误差RMSE为0.54～0.64，Nash-Sutcliffe效率系数为0.90～0.98；2）将逐日ET0预测方法应用于逐日气象干旱预测评估（以逐日SPEI指数为例），逐日SPEI指数预测值与标准值的相关系数为0.95～0.99，平均偏差ME为-0.10～0.35，均方根误差RMSE为0.20～0.30，符合指数IA为0.97～0.98，Nash-Sutcliffe效率系数NSE为0.91～0.97，在降水量多的季节，Copula函数模型预测ET0的精度更高一些，且逐日SPEI预测的误差参数都优于逐日ET0的预测结果。

干旱；蒸散量；SPEI指数；高维Copula函数；预测；洱海流域

0 引 言

潜在蒸散量ET0是影响作物需水气象因素分项的综合反映[1]，是气象因子之间复杂的非线性关系描述。ET0除了传统意义上作为灌区和田间尺度的灌溉用水调度管理、农业水土资源平衡及水资源优化配置的输入项外，还是揭示全球及区域农业气候变化、干旱灾害、生态环境监测等的重要指标[2-4]。逐日ET0计算模型主要包括Penman Monteith方程[1,4]、Priestley-Taylor模型[5]、Hargreaves公式[6]、Irmark-Allen法[7]等，或者是基于地面能量平衡的区域ET0估算、地表蒸散发遥感反演[8-9]。杨永刚等[10]利用Arc GIS空间插值、敏感性分析和贡献率等对中国粮食主产区265个站点1961—2013年53a气象数据及ET0进行分析。Traore等[11]采用气象因子基于人工智能网络预测ET0，发现最高气温是很重要的因素，模型预测的准确性取决于太阳净辐射（Rs）的精度和准确的天气预报信息。Yoo等[12]在中东、北非、西欧等地区现有11~21个区域模型基础上，构建了以辐射因子作为修正参数的大区域ET0计算模型。王振龙等[13]采用三基点温度分析了逐日蒸散的动态变化，发现通过温度模拟冬小麦和夏玉米作物系数变化的拟合度较高。Islam等[14]对于孟加拉国的水稻蒸散量进行研究，发现水稻蒸散量增加的主要原因是最高气温升高的速率大于太阳净辐射（Rs）升高率。以上成果均是基于单变量或双变量对ET0预测分析，鲜有全面考虑平均气温（）、最低气温（min）、最高气温（max）、日照时数（）、风速（）、相对湿度（RH）和降雨量开展对ET0的联合分布研究。高维Copula函数能有效地描述气象因素特征变量间的相依性，构造任意边缘分布的联合分布函数，较好地刻画变量间的相关结构，被越来越多的应用到多变量事件分析中[15-17]，如尝试用概率密度匹配估算潜在蒸散量[18]。Copula函数理论方法在水文水资源学领域的降水过程预报、洪水频率分析、干旱评估、多站径流模拟等的应用已较广泛[19-20]。ET0变化是多个气象因素共同作用的结果，可探索通过maxmin、、、RH等构建多元影响因素联合分布，研究其用于ET0实时预报的可行性。地表湿润指数（Surface Wetness Index，SWI）、标准化降水指数（Standardized Precipitation Index，SPI）、标准化降水蒸散指数（Standardized Precipitation Evapotranspiration Index，SPEI）是目前常用的干旱评估指数[21-23]，在国家、区域、流域等不同空间尺度下的干旱强度分布格局、长期变化趋势及动态监测评估等已有广泛应用[24-26]。

洱海位于云南省大理白族自治州，属澜沧江—湄公河水系，流域面积2 785 km2，年均气温15.1 ℃，年降水1 057 mm，水资源总量10.7亿m3。流域干湿季明显，浓郁的苍山洱海自然风情和南诏古国文明遗迹，具有“东方日内瓦”美誉[27]。全球气候变化及低纬度高原的区域响应，洱海地区遭遇了2010—2015年的连续干旱灾害，农业用水及农田面源加大、湖水位下降、局部区域蓝藻爆发，洱海流域水生态保护治理已成为全国关注焦点之一。利用短期气象资料研究洱海地区的逐日ET0及SPEI气象干旱指数预测评估方法模型，对流域内灌溉用水的精细化调度管理、农业节水减排及洱海入湖面源控制等具有重要意义。

1 材料与方法

构建maxminRH等6种气象因素的边缘分布函数，建立六维Copula模型，并对其进行优选。筛选出合适的Copula模型之后，在对其分别构建二维和三维的Copula模型。将气象因素代入模型之后，计算出不同气象因素之间的联合分布，记为预测ET0的分布概率，再代回其边缘分布函数中计算出ET0即为预测值。为评估本文方法预测ET0的精度和效用，逐日ET0标准值采用联合国粮农组织（Food and Agriculture Organization of the United Nations，FAO）推荐的标准ET0估算方法（FAO-56 PM），即Penman-Monteith方程计算[1,4,10]。将上述方法运用于日SPEI的计算模型中，可进行短期干旱预报。分别将实际ET0和预测ET0运用于日SPEI计算，并以实际ET0进行SWI干旱指数计算与之对比，验证其准确性。

Copula函数能把多维随机变量1,…,X的联合分布(1,…,x)与它们各自的边缘分布1(1),…,F(x)相连接。本研究主要包括2种：正态Copula函数[28]和t-Copula函数[29]。在求Copula函数的参数时，定义不同的相关阵来反映数据资料的特点，对于maxminRH 6种气象因素，选择以下3种相关结构：可交换相关结构、Toeplitz结构和无结构相关。3种相关结构形式分别为

采用极大似然数函数估计法对上述Copula函数进行参数估计，运用K-S检验法进行拟合优度检验，运用AIC准则和BIC准则进行拟合优度评价，从而比选出最优Copula函数[30]。表1为Copula模型的拟合优度评价结果，模型选择为无结构相关的Normal Copula模型。

表1 Copula模型选择结果

由于ET0是多个气象因素相互作用的结果，Copula函数的计算为气象因素的联合分布，即Copula函数计算结果的联合分布与ET0的概率分布结果相等同。则可将Copula函数的结果记为ET0的预测概率，将ET0的预测概率代入ET0的概率分布函数，还原得ET0的预测值。

为计算出ET0的预测值，运用正态分布、Gamma分布、Lognormal分布、Weibull分布等分别计算ET0的分布，选择出最优分布，将ET0预测概率值代入分布函数，计算出ET0预测值。如表2所示，根据ET0的各个分布函数之拟合优度检验结果，基于最小值准则，ET0的分布函数选择为Gamma函数。

贾艳青等[26]改进了SPEI，改进的逐日SPEI计算过程与月SPEI类似。计算SPEI时应先给定时间尺度，然后计算P-PE的累积序列，再采用广义逻辑分布对累积序列进行拟合，最后对累积概率密度进行标准化处理得到日SPEI。干旱划分等级参照国际上通用的SPEI指数干旱等级划分标准[31]。SWI定义为年降水量与年潜在蒸散量的比值[25]，其干旱指数采用Ma等[32]划分标准。

表2 逐日ET0的分布函数拟合优度检验

Note:K-S, Kolmogorov-Smirnov;AIC, Akaike Information Criterion; BIC, Bayesian Information Criterion.

使用4个常用的统计指数来评估模拟的效果，检验Copula模型预报逐日ET0的精度，分别为平均偏差（Mean Deviation，ME）、均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）、符合指数（Coincidence Index，IA）、Nash-Sutcliffe效率系数（Nash-Sutcliffe Efficiency Coefficient，NSE）[33]。符合指数（IA）在0和1之间的范围内，IA越大模拟效果越好。Nash-Sutcliffe效率系数（NSE）变化范围从-∞到1，值越接近1说明模拟值和实际值越接近。

2 数据资料来源

从洱海流域内大理气象站获取1954—2018年逐日平均气温、最低气温、最高气温、日照时数、风速、相对湿度和降雨量等气象观测资料；大理、洱源、宾川等洱海相关市县的自然地理、社会经济、农业水利等综合统计年报（年鉴）和文献资料获得相关现状信息。

3 结果与分析

3.1 建立Copula模型预测逐日ET0

选用有代表性的正态分布、Gamma分布、Lognormal分布、Weibull分布分别构建maxminRH的边缘分布函数，并从中选择拟合效果最好的分布函数。

如表 3，边缘分布函数拟合优度检验，选择Weibull分布，max选择Weibull分布，min选择正态分布，选择Weibull分布，选择Gamma分布，RH选择正态分布。

表3 边缘分布函数的拟合优度检验

注：、min、max、、、RH分别表示平均气温、最低气温、最高气温、日照时数、风速和相对湿度。

Note:,min,max,,and RH represent average temperature, minimum temperature, maximum temperature, sunshine duration, wind speed and relative humidity,respectively.

分别建立-min-max---max-minmax-max-max-min-min-min-等12种组合形式的二维Normal Copula模型。分别计算出Normal Copula联合分布函数数值之后，将其结果标记为预测ET0的概率值，代入ET0的边缘分布函数Gamma函数中，求得ET0预测概率值。将逐日气象数据分别导入上述对应模型中，计算出对应日期的ET0预测概率值。

3.2 预测结果与分析

为方便比较，选择年降水频率为特丰水年（=5%）1993年，丰水年（=25%）1987年，平水年（=50%）1996年，中等干旱年（=75%）1986年，特枯水年（=95%）1960年。将5个典型年的预测结果与其逐日ET0标准值进行对比，并以此验证模型的准确性。每个模型对比有1 827个样本，在-max两个气象因素组合时预测精度最好，相对误差（Relative Error，ERR）小于10%、15%、20%、25%、30%的样本占比分别为59.7%、73.6%、86.0%、91.9%、96.4%。

分析发现，逐日ET0对于-max的组合相依性最好，其次为-组合。且只要有参与的Normal Copula模型，其计算结果误差均较大。显然，ET0对于-max的相依性最好，而其对于的相依性最差。

为继续探索逐日ET0与其他气象因素的相依性关系，再以-max分别与min和组合建立三维Normal Copula模型，为-max-min-max--max-和-max-等4组。逐日ET0预测值与标准值的相对误差在-max-min组合时最小，在-max-组合时误差最大，且在使用三维Normal Copula模型时-max-min3个气象因子组合最优，但仍不如-max组合的预测精度高。从各个气象因子组合的二维、三维Copula模型进行逐日ET0预测值与标准值比较的误差曲线可以看出，1—4月份时都出现预测值整体性较标准值偏小且无法消除的现象，这可能与Copula函数本身对降水量敏感性高有关。为此，又另选出一组典型年：特丰水年（=7%）2000年、丰水年（=37%）2016年、平水年（=50%）2001年、中等干旱年（=77%）2003年、特枯水年（=97%）2012年，亦采用-max组合的Copula模型进行逐日ET0预测，与前一组典型年对应各个水文频率年景的逐日ET0预测误差曲线相比较，发现1—4月的变化趋势基本一致，对应到各旬统计其平均值，得到新的系列ET0,i=()，为旬序数，大致呈“M”型双峰变化，峰值分别出现在1月中旬和3月中旬，且第一个峰值较小、持续时间短，第二个峰值持续了1个月左右，如图1所示。将ET0,i作为Copula联合分布模型预测逐日ET0的修正函数项，代回预报模型中以改善预测效果。将改进后的各典型年逐日ET0预测的标准值与预测值比较如图 2。由图可知，从=5%特丰水年到=95%特枯水年，逐日ET0预测值与标准值的相关系数为0.903～0.946，相对误差小于10%、15%、20%、25%的样本数分别提高到71.6%、84.4%、91.4%、96.5%。

误差分析结果见表4，修正后ME值全年变化范围在0.17～0.30之间，1―6月在0.06～0.14之间变化，7—12月在0.20～0.48之间变化；RMSE值全年变化范围在0.54～0.64之间，1―6月变化范围在0.50～0.66之间，7―12月份变化范围在0.55～0.74之间；全年平均IA变化范围在0.98～0.99之间，1―6月份IA变化范围在0.99～0.98之间，7―12月IA变化范围在0.95～0.99之间；NSE值全年变化范围在0.90～0.98之间，1―6月变化范围在0.96～0.98之间，7―12月变化范围在0.73～0.93之间，其预测值与标准值很接近。

图1 修正函数变化过程示意图

3.3 短期气象干旱等级预测

不论是SPEI还是改进的逐日SPEI，计算潜在蒸散量均采用是Penman Monteith方程[22,25-26]，该方程的计算结果理论最完备，但所需气象因素较多，在一些气象因素缺失、监测不全及干旱风险管理实践中，很难对其进行准确计算。本次引入Copula函数，对其气象因素与ET0的相依性进行分析，在缺失气象因素时，只需要提供日最高气温和平均气温，即可对逐日ET0进行预测计算。将Copula函数模型与逐日SPEI干旱指数相结合，既能保证干旱指数对气象因素的充分考虑，又避免气象因素缺失导致的计算失真问题。本文选用-max二维Normal Copula模型对ET0的预测结果与逐日SPEI干旱指数结合进行干旱预测。

表4 改进T-Tmax二维Normal Copula模型逐日ET0预测的误差分析

图2 修正之后大理不同水文频率下的ET0标准值与预测值

采用K-S检验Log-logistic分布，检验了不同水文频率年份在30日尺度的逐日SPEI指数，水文频率由丰到枯为=5%、25%、50%、75%、95%，不同典型年对应的值为1.889、2.569、1.837、3.007、2.167，均满足Log-logistic分布。图3是采用预测ET0与降水量计算逐日SPEI干旱指数得出大理站1960年、1986年、1987年、1993年和1997年的逐日干旱预测情况，并与采用标准ET0与降水量计算的SPEI实际结果相比较。表5为加入ET0预测修正函数项之后的逐日SPEI预测误差分析，逐日SPEI指数预测值与实际值相关系数为0.95～0.99，ME为-0.10～0.35，RMSE为0.20～0.30，IA为0.97～0.98，NSE为0.91～0.97。显然，采用预测SPEI与实际SPEI对逐日干旱等级预测的趋势相同，且逐日SPEI预测的误差参数都优于逐日ET0的预测，原因可能是在ET0计算模型中缺少的降水因子，被逐日SPEI预测模型补充进来，综合反映气温、降水等对干旱指数的作用，从而提高了逐日SPEI的预测精度。

图3 修正后不同水文年下大理站逐日SPEI实际值与预测值

将逐日ET0预测方法应用于逐日气象干旱（日SPEI指数）预测评估可得，由丰水年至特枯水年，无旱及轻旱的天数比例由81.32%减至46%，中旱由10.68%增至27.87%，重旱及特旱由8.2%增至26.2%。在5个典型年中，采用逐日ET0标准值进行干旱预测时，出现重旱及特旱的天数为302 d，频次为16.53%，而采用修正预测逐日ET0进行干旱预测时，出现重旱或特旱的天数为324 d，频次为17.73%，相对偏差为1.2%。按季节分，洱海地区上半年1―6月无旱及轻旱频次为36.51%，中旱频次为30.37%，重旱及特旱频次为33.11%，预测与实际偏差为2.1%；下半年7―12月无旱及轻旱频次为89.73%，中旱频次为9.07%，重旱及特旱频次为1.2%，预测与实际偏差为1%。结合前文二维Normal Copula模型前半年1―6月份预测ET0与实际ET0的误差比后半年7―12月份的大，可知降水量越高，该模型预测ET0及SPEI的精度会更高一些。这与其他方法一般在枯水（或干旱）年景时模拟逐日ET0预报效果更佳的规律相左。

表5 修正后逐日SPEI预测误差分析

此外，采用SWI、SPEI等干旱指数，基于大理站1954—2018年逐月降水及潜在蒸散量分析了其65 a的干旱指数。根据K-S检验结果，得到在1、3、12个月尺度下的指数分别为1.964、2.683、3.126，均满足Log-logistic分布，这与王林等[34]通过干旱指数监测中国干旱适用性的结果是一致的。近65年来洱海流域大理站全年无旱及轻旱的月份占比为44.4%，中旱月份占33.6%，重旱及特旱月份占22%。其中上半年1―6月份无旱及轻旱月份占比为8.9%，中旱月份占47.1%，重旱及特旱月份占44%；下半年7―12月份无旱及轻旱月份占80%，中旱月份占20%，重旱及特旱月份为0。即前半年为枯季，重旱及特旱主要出现在4―6月份，下半年雨季主要为轻旱及无旱。图4和图5为大理站近65年来各月的干旱等级及各干旱等级天数比例情况。在季节性干旱的气候环境下，从枯水年至丰水年，重旱及特旱月份由5个月逐渐减少为0，轻旱及无旱月份由0逐渐增加至7个月，其结果与此前采用干湿指数Ia的研究结论一致[35]。图6为其中1960、1986、1987、1993年和1997年等典型年逐日统计得到各月的SWI和SPEI变化情况，因2个干旱指标的数量关系难以统一，以数据点落在相同干旱等级区域视为结果相同，则2种干旱指标在各个典型年景的年内变化趋势基本一致，仅个别月份出现偏差，其余绝大部分时间2个指标的评价结果完全相同，表明本文的方法合理可靠。

注：标准值实线，预测为虚线。

图5 1954—2018年洱海流域大理站干旱等级

4 结 论

构建了多维Normal Copula模型筛选比较，在二维模型之-max组合时，预测逐日潜在蒸散量ET0的精度最高，进一步将-max与其他气象因子构建的三维Normal Copula模型，预测效果还变差了。引入修正函数项消除了Copula模型在1—4月逐日ET0预测值系统性偏小的现象，相对误差小于10%、15%、20%、25%样本数分别提高到71.6%、84.4%、91.4%、96.5%。全年平均的ME为0.17～0.30，RMSE为0.54～0.64，IA为0.98～0.99，NSE为0.90～0.98。

将改进后的逐日ET0预测方法用于气象干旱（日SPEI指数）预测评估，逐日SPEI指数预测值与实际值相关系数达0.95～0.99，ME为-0.10～0.35，RMSE为0.20～0.30，IA为0.97～0.98，NSE为0.91～0.97。由特丰水年至特枯水年，出现重旱或特旱的天数有324 d，频次为17.73%，预测的相对偏差仅1.2%。洱海地区1-6月无旱及轻旱频次为36.51%，中旱频次为30.37%，重旱及特旱频次为33.11%，预测偏差为2.1%；下半年7-12月无旱及轻旱频次为89.73%，中旱频次为9.07%，重旱及特旱频次为1.2%，预测偏差为1.0%。上半年1-6月预测ET0与实际ET0的误差比下半年7-12月偏大，即降水量丰富时段该模型预测ET0的精度越高，逐日SPEI预测的误差参数都优于同期ET0的预测，原因是ET0的数学模型中未含降水因子，而逐日SPEI预测模型补充进来，综合地反映了气温、降水等对干旱指数的作用。

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Daily reference evapotranspiration and meteorological drought forecast using high-dimensional Copula joint distribution model

Gu Shixiang1,2, Zhao Zhong1, Chen Jing1,2, Chen Jinming1,2,3, Zhang Liudong1

(1.,650021,; 2..,650021,; 3.,,430072,)

A high-dimensional copula function was introduced to construct the joint distribution of meteorological factors that affected by reference evapotranspiration (ET0). Specifically, an attempt was made to reveal the correlation structure between different variables in copula function, thereby to establish the joint distribution model of multiple meteorological factors on daily ET0prediction, and finally to analyze short-term drought level. Daily observation data were collected from Dali meteorological station in Erhai watershed from 1954 to 2018. FAO Penman Monteith equation was used to calculate the standard ET0value for the assessment of forecast precision. T-Tmaxtwo-dimensional normal copula function model was used to predict daily ET0after screening a variety of meteorological factor datasets. The systematic error appeared between January to April was necessary to be corrected, otherwise it can make the predicted value relatively smaller than the standard ET0. The empirical correction function with error curve was used for the daily ET0forecast model, to improve the prediction accuracy, thereby to realize the real-time prediction in irrigated region. The results show that: 1) When combining two meteorological factors of T-Tmax, the two-dimensional normal copula model can achieve the highest prediction accuracy for daily ET0, 71.6%, 84.4%, 91.4% and 96.5%, under the relative errors less than 10%, 15%, 20% and 25%, respectively. The annual compliance index IA range was 0.98- 0.99, the average deviation, ME, was 0.17-0.30, the root of mean square error, RMSE, was 0.54-0.64, and the Nash Sutcliffe efficiency coefficient was 0.90-0.98. 2) The daily ET0prediction method was applied to the prediction and evaluation of daily meteorological drought, taking the daily SPEI index as an example. The correlation coefficient between the prediction value of daily SPEI index and the actual value was 0.95- 0.99, ME was -0.10-0.35, RMSE was 0.20-0.30, IA was 0.97-0.98, NSE was 0.91-0.97, respectively. In the season with more precipitation, the accuracy of Copula function model was higher, and the error parameters of daily SPEI prediction were better, than that of daily ET0prediction. 3) From the extremely wet year to the extremely dry year, the proportion of humid and light drought days decreased from 81.3% to 46.0%, the proportion of medium drought days increased from 10.7% to 27.9%, and the proportion of heavy drought and extreme drought days increased from 8.2% to 26.2%. In the five typical years of annual precipitation frequency,= 5%, 25%, 50%, 75% and 95%, the relative deviation of heavy and extremely drought frequency was 1.5% between the predicted ET0and actual ET0, while reached 1.2% after corrected daily ET0prediction and actual ET0, to evaluate the daily meteorological drought level. 4) The results also revealed that the frequency of non-drought and light drought was 36.51%, the frequency of moderate drought was 30.37%, the frequency of severe drought and extreme drought was 33.11%, and the prediction deviation was 1.1% from January to June, whereas from July to December, the frequency of humid and light drought was 89.73%, the frequency of moderate drought was 9.07%, the frequency of severe drought and extreme drought was 1.2%, the prediction deviation was 1%, indicating the significant characteristics of seasonal drought.

drought; evapotranspiration; SPEI index; high-dimensional Copula function; forecast; Erhai Watershed

顾世祥，赵众，陈晶，等. 基于高维Copula函数的逐日潜在蒸散量及气象干旱预测[J]. 农业工程学报，2020，36(9)：143-151.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.016 http://www.tcsae.org

Gu Shixiang, Zhao Zhong, Chen Jing, et al. Daily reference evapotranspiration and meteorological drought forecast using high-dimensional Copula joint distribution model[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(9): 143-151. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.016 http://www.tcsae.org

2020-01-15

2020-03-23

云南省应用基础研究重点基金（2017FA022）；国家自然科学基金项目（51669035）；云南重点研发计划（科技入滇专项）；国家澜湄合作基金项目（2018-1177-02）；云南省创新团队建设专项（2018HC024）

顾世祥，博士，教授级高工，从事农业节水灌溉理论技术研究。Email：gushxang@qq.com。

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.016

S271

A

1002-6819(2020)-09-0143-09