基于码值矩阵的移栽用周转轮系功能图自动生成

徐亚丹 孙 良 武传宇 俞高红 张国凤 方 治

(1.浙江理工大学机械与自动控制学院， 杭州 310018； 2.杭州职业技术学院， 杭州 310018； 3.浙江省种植装备技术重点实验室， 杭州 310018)

0 引言

轮系式移栽机构具有结构对称性，比连杆式移栽机构工作更平稳、高效[1-3]，采用非匀速传动又可实现多样的运动轨迹[4-6]，因此非匀速轮系式移栽机构被广泛应用在水田、旱田的各种移栽装备中。日本学者小西达也等[7]于20世纪80年代末首先提出不等速周转轮系式移栽机构，并成功解决连杆式移栽机构效率低、振动大的问题，使水稻(毯苗)插秧机实现了高速作业；赵匀等[8-10]针对我国水稻大苗插秧中存在的“搭桥”、“倒秧”等问题，从动、静轨迹形状、机构工作姿态对轮系式分插机构(毯苗移栽机构)进行了系统性研究，获得了直立度好的插秧轨迹，并提出了系列非圆齿轮行星轮系移栽机构，解决了插秧机无法进行大苗移栽的难题；俞高红等[11]、俞亚新等[12]在钵苗移栽机构研究中，将锁止弧与非圆齿轮结合，提出不完全非圆齿轮副，并应用于两级行星轮系移栽机构中；ZHOU等[13]采用传动比具有一般性变化规律的二阶非圆齿轮，实现水稻钵苗等行距移栽所需的“8”字形轨迹；在轮系式旱地钵苗移栽机构研究中，赵雄等[14-15]提出了一种用于西兰花移栽的行星轮系取苗机构，采用5个共轭的自由二阶非圆齿轮和大栽植臂尺寸设计，以满足苗爪的夹土式取苗方式(入钵轨迹约40 mm)。

上述针对不同移栽对象(毯苗、钵苗)和不同移栽方式(等行距、宽窄行、Z字形)的轮系式移栽机构研究都是以给定某种轮系构型为条件，通过设计具有特定传动比变化规律的齿轮副，让轮系充分发挥描述移栽运动轨迹的能力[16-20]。然而，由于移栽作业的多样性，现有轮系构型在轨迹形状与姿态设计中存在局限性，难以满足如蔬菜钵苗取栽一体式移栽机构的作业要求[21]。为此SUN等[21]基于图论开展了移栽用轮系机构的构型综合问题，找到了多种符合移栽动作要求的轮系构型的拓扑图。一个轮系拓扑图可以获得多种具体的轮系功能图，目前，实现拓扑图与功能图之间的转化主要采用直觉和经验结合的方法获得，存在的功能结构设计的盲目性可能会遗漏理想结构功能图。李雨桐等[22]给出了便于计算机识别的符号方案，王玉新等[23]对符号方案所包含的基本机构及其连接关系进行识别，但以上方法未能生成功能图。

为此，本文提出一种轮系式移栽机构设计中的实现从拓扑图到功能图的自动生成方法。根据给定的拓扑图，用邻接矩阵进行规范表达，编写程序进行基本环的提取，并对基本环进行组合与同构判别，筛选出不重复的构型。定义码值图对应的编号，用码值矩阵表达周转轮系的结构，并输出周转轮系的功能图。

1 周转轮系的表达

1.1 周转轮系拓扑图与功能图的表达

文献[24]将周转轮系的功能图用双色拓扑图来表达，如图1a是一个5构件周转轮系拓扑图。点表示构件，边表示构件之间的连接关系；细边表示旋转副，粗边表示齿轮副。字母a、b、c表示旋转副的层级，图1a中构件1、2与构件3、4的旋转副层级都是a，在图1b的功能图中用a表示旋转副；图1a中的旋转副层级b、c在图1b中用b、c表示旋转副。

图1 5构件周转轮系拓扑图与功能图 Fig.1 Topological graph and functional schematic of five links epicyclic gear trains

本文以周转轮系双色拓扑图为研究基础，遵循以下规则[25]:

(1)对于自由度为F，构件数为n的拓扑图，包含n-1个旋转副和n-1-F个齿轮副。

(2)一个拓扑图移除全部齿轮副，剩余的旋转副构成树。

(3)将齿轮副添加到规则(2)得到的树中，由一个齿轮副若干个旋转副形成唯一的基本环。基本环的数量等于齿轮副的数量。

(4)每个旋转副的边定为一个层，在功能图中表示一个旋转副。

(5)在一个基本环里面，转换点的两侧为不同层，一侧为同一层，另一侧为同一层。

(6)同一层的边形成树。

(7)周转轮系的拓扑图不存在只包含齿轮副的基本环。

1.2 基本环功能图的表达

基本环是形成周转轮系的基本单元，由3构件或者4构件组成。包含1个齿轮副和2个不同层级的旋转副。一个周转轮系拓扑图可以由若干个基本环组成，如图2所示，图1a的5构件周转轮系拓扑图由3构件基本环①(1，2，3)、②(1，3，4)与4构件基本环③(1，2，5，4)组成。

图2 5构件拓扑图分解为3个基本单元环 Fig.2 Five links topological graph was broken down into three fundamental circuits

1.3 拓扑图的邻接矩阵表达

为了实现周转轮系结构图生成的计算机化，用邻接矩阵表达拓扑图。邻接矩阵中的元素xij=0表示构件i与j之间不存在运动副连接；用xij=n表示构件i与j之间存在运动副连接，当n=1时表示旋转副层级a，当n=2时表示旋转副层级b，当n=3时表示旋转副层级c，当n=4时表示旋转副层级d，当n=5时表示旋转副层级e。为了编程时容易区分，本文用n=10表示齿轮副，如果拓扑图有更多的层级，可以用更大的数值比如100来表示齿轮副。图1a所示的5构件周转轮系的拓扑图其邻接矩阵为

(1)

1.4 基本环的提取与标记

基本环用邻接矩阵表示，图3a的3构件基本环拓扑图用邻接矩阵表示为

(2)

图3b的4构件基本环拓扑图用邻接矩阵表示为

(3)

图3 基本环拓扑图 Fig.3 Topological graph of fundamental circuit

基本环提取的思路为：

(1) 3构件基本环的提取：根据周转轮系分层准则第5条，假定构件i与构件j之间为齿轮副连接，且构件j与构件k之间为旋转副连接(0

图4 基本环的提取 Fig.4 Extraction of fundamental circuit

(2) 4构件基本环的提取：根据周转轮系分层准则第5条，假定构件i与构件j之间为齿轮副连接，且构件j与构件k之间为旋转副连接(0

(3) 提取周转轮系第i、j、k行与i、j、k列，第i、j、k、r行与第i、j、k、r列形成新的矩阵，作为3构件基本环与4构件基本环的邻接矩阵，具体为

D=[

] (4)

] (5)

]

(6)

编写程序，输入周转轮系邻接矩阵，计算提取基本环的邻接矩阵与组成基本环的构件标号，流程图如图5所示。

图5 从周转轮系的邻接矩阵提取基本环邻接矩阵 的流程图 Fig.5 Flow chart of adjacency matrix of fundamental circuit abstracted from adjacency matrix of epicyclic gear trains

2 功能图的组合与筛选

2.1 功能图的组合

图1a拓扑图可由2个3构件基本环与1个4构件基本环组成。基本环134、基本环123与基本环1245各有3种形式的功能图，如图6～8。所以图1a拓扑图对应的功能图有33=27种可能的组合。

图6 基本环134功能图的3种形式 Fig.6 Three types FSF of 134

图7 基本环123功能图的3种形式 Fig.7 Three types FSF of 123

图8基本环1245功能图的3种形式 Fig.8 Three types FSF of 1245

为了便于计算机筛选与计算，这27种组合可用基本环功能图组合矩阵来表示。

每一行表示一个基本单元环，每一列表示一个构件，r表示构件作旋转副，g表示构件作外啮合齿轮或者内啮合的内齿轮，G表示构件作内啮合的外齿轮。

2.2 同构判别

某个拓扑图的所有可能的基本环组合矩阵中，如果某一个矩阵，经过若干行列式变换，变换成另一个矩阵，那么这两个基本环组合矩阵所表示的功能图同构。下面举例说明这个问题：

图9所示的4构件1自由度的拓扑图，由2个3构件基本环123与134组成。功能图用基本环组合矩阵表示有9种形式。

图9 4构件拓扑图 Fig.9 Four links topological graph

经过行列式变换，矩阵P3变换成P4。所以矩阵P3与P4表示的功能图同构。同理P2与P7表示的功能图同构。经过分析发现，对称的拓扑图会出现这种同构的情况。W1～W2727个基本环组合矩阵经过行列式变换后都不能成为这27个矩阵之中的其他任意矩阵。所以这27个矩阵所表示的功能图异构。

3 周转轮系功能图的生成

3.1 基本环功能图的连接与简化

将基本环的功能图连接，连接原则如下：

(1)同轴相连。各个基本环功能图中标号相同的轴为同一个轴，生成功能图时要连接起来并且在一条直线上。

(2)某一构件在两个功能图中同时做齿轮时，这个齿轮可以用一个齿轮或者同轴齿轮替代。

(3)某一构件在两个基本环功能图中分别做齿轮和轴时，将齿轮和轴直接固连。

(4)机架可以直接固连。

按照以上的原则，对基本环的功能图进行连接与简化，形成5构件功能图的原始图，基本环组合矩阵W1～W6所对应的功能图如图10所示。

图10 基本环组合矩阵W1～W6对应的功能图 Fig.10 Functional schematic of matrix W1～W6

3.2 码值图与码值矩阵的定义

对功能图中的基本方块图形进行编号，称为码值图，编号如表1所示。功能图可以用码值图通过拼图生成，如图11a、11b，用码值矩阵I、J表示。

表1单元图与对应码值
Tab.1Cellgraphandcodevalue

图11 3构件基本环功能图 Fig.11 Three link FSF

(7)

(8)

3.3 周转轮系功能图的计算机生成

图10的功能图，用码值矩阵表示为

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

编写程序，生成码值矩阵(9)～(14)对应的功能图如图12所示。

图12 码值矩阵对应的功能图 Fig.12 Functional schematic of CVM

4 玉米钵苗移栽机构的构型综合

4.1 功能图生成

设计要求：根据玉米钵苗株距大，钵盘口径大、穴深，移箱机构尺寸大的特点与要求，提出一种6构件的自动玉米移栽机构[26]，1个动力输入，4个转动轴，能够模拟人工移栽的轨迹、动作和姿态要求，既能够满足尖嘴式取土的设计，也能够同时满足大株距栽植的动作，实现自动取苗、持苗和栽植苗。运转稳定，惯性小，可以实现高速移栽。

由设计要求可知：该机构的自由度F=1，构件数n=6，根据公式

式中Nr——旋转副数Ng——齿轮副数

可知旋转副数Nr=5，旋转副层级为转动轴数4，齿轮副数Ng=4。图13的拓扑图符合上述设计要求，运用本文的方法，从拓扑图生成功能图的步骤如下：写出该拓扑图的邻接矩阵；提取基本单元环的邻接矩阵与序号；生成基本环的功能图；通过行列式变换对81个基本环组合矩阵进行同构判别，得出这81种组合方式异构；基本环连接；写出码值矩阵；生成6构件周转轮系的功能图。

图13 6构件周转轮系生成功能图的过程 Fig.13 Process of six links conversion from topological graph to FSE

考虑到移栽时移栽臂相对第一行星架的转速比为1∶1，以及移栽机构传动箱体结构的紧凑性，采用外啮合齿轮副较合适[27]。

因此选择基本环组合矩阵Q生成功能图，用图14的4个基本环功能图组合而成。

(15)

图14 6构件周转轮系基本环功能图 Fig.14 Fundamental circuit of six links epicyclic gear trains

根据单元环功能图连接与简化原则对图14的4个基本环功能图进行整理，用码值矩阵R表示，并生成功能图如图15所示。

(16)

图15 6构件周转轮系功能图 Fig.15 Six links FSE

4.2 移栽机构设计

根据功能图与设计要求，得到图16所示玉米移栽机构示意图，图中1～6表示的零部件与图15中1～6表示的构件一一对应。玉米钵苗移栽机构主要由齿轮箱、非圆齿轮组、移栽臂等组成。运行时由传动机构带动主齿轮箱转动；太阳轮固定在机架上，与太阳轮啮合的中间轮A带动同一轴上的中间轮B、中间轮C转动，与中间轮B啮合的行星轮B带动行星轴a转动，行星轴a与副齿轮箱Ⅳ固联，与中间轮C啮合的行星轮C带动副齿轮A转动，与副齿轮A啮合的副齿轮B带动移栽臂轴转动，移栽臂轴与移栽臂固联。机构运行时，太阳轮固定，主齿轮箱转动，通过内部非圆齿轮组的传动，副齿轮箱Ⅳ相对于主齿轮箱1做周期性回转运动，移栽臂Ⅴ相对于副齿轮箱Ⅳ做周期性往复摆动，从而实现复杂的轨迹与姿态要求。加工完成后齿轮的安装位置如图17所示。

图16 玉米移栽机构示意图 Fig.16 Diagram of seedling transplanting mechanism 1.主齿轮箱 2.太阳轮 3.行星轮C 4.副齿轮B 5.行星轮B 6.中间轮A a.行星轴 b.中间轴 c.主轴 d.移栽臂轴 Ⅰ.中间轮C Ⅱ.中间轮B Ⅲ.副齿轮A Ⅳ.副齿轮箱 Ⅴ.移栽臂

图17 齿轮的初始安装位置图 Fig.17 Initial installation location diagram of gears

4.3 样机试验

图18 仿真与试验轨迹对比 Fig.18 Comparison of simulation trajectory and test trajectory

对机构运转时的高速摄影视频进行分析与测量，可以获得移栽臂部件尖点在图像中的坐标位置，对移栽臂部件尖点的相对运动轨迹进行描点，得到相对轨迹曲线。将优化软件输出的仿真轨迹(图18a)与通过高速摄影描绘的轨迹(图18b)进行比对，可以得出两者基本一致的结论，验证了物理样机的正确性，进一步验证了从拓扑图到功能图的自动生成方法的可行性。

5 结论

(1)研究了拓扑图到功能图的自动生成问题。根据给定的拓扑图，用邻接矩阵进行规范表达，编写程序进行基本环的提取，定义码值图与对应的编号，用码值矩阵表达基本环，按照单元环功能图连接与简化原则进行调整，生成周转轮系的码值矩阵，得到周转轮系的功能图。

(2)根据设计要求，运用拓扑图到功能图的自动生成方法，进行了非圆齿轮双行星轮系玉米钵苗移栽机构的构型综合，完成了机构的结构设计、轨迹仿真。在移栽机械试验平台上，结合高速摄影技术，对移栽机构运转轨迹与姿态进行拍摄，将优化软件输出的仿真轨迹与通过高速摄影描绘的轨迹进行对比，两者基本一致，验证了物理样机的正确性，进一步验证了所提出的从拓扑图到功能图的自动生成方法的可行性。