二十面体机构构型设计与分析

刘婧芳 曹亚柯 丁华锋

(1.北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京 100124; 2.北京工业大学先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124)

二十面体机构构型设计与分析

刘婧芳1,2曹亚柯1,2丁华锋1,2

(1.北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京 100124; 2.北京工业大学先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124)

基于具有对称性和对偶性的正十二面体，设计了一种以三、四、五边形为耦合节点的二十面体单移动可展机构。首先，在正十二面体的十个面上添加一种顶点，通过增加顶点种类以增加耦合节点种类，从而得到具有三、四、五边形结构的节点构件。根据构件连接情况设计四类替换构件，将替换构件用转动副(R副)依次连接，构造耦合机构基础模型。其次，基于螺旋理论应用分流法计算其自由度。最后，进行主动输入选取分析及构建耦合机构的三维模型，设置方向相反的驱动条件分别进行仿真运动，应用Matlab得到动平台和节点构件的位置变化曲线，仿真结果与理论分析结果相统一，表明提出的机构具有伸缩运动特性。

多环耦合机构； 二十面体； 自由度； 运动分析

引言

随着机构向复杂化、空间化、多环化发展，近年来多环耦合机构日益受到人们的重视。在结构上，与传统的并联机构比较而言，多环耦合机构定平台和动平台之间的连接不是若干个独立支链，而是将并联机构与串联机构进行有效的结合，使其呈网状耦合结构。在功能上，多环耦合机构作为串联与并联机构的综合机型，具有特定的应用场合，因此在机构学中吸引了很多学者的关注。李晔卓等[1]用转动副将平行四边形缩放单元和双三角锥单元连接，设计了一种可折叠双三角锥滚动耦合机构。李菊等[2]设计了多喷枪协同式喷涂五轴机器人。此外，耦合机构常常作为核心机构应用于大型工业机械装备[3-6]中，以适应其重大承载能力及结构复杂性。

由于正多面体结构具有紧凑结构和高度对称性等优点，可为多面体耦合机构设计提供基础。HOBERMAN设计的魔术花球内部结构是典型的六面体耦合机构，通过转动副将三角形构件、四边形构件巧妙地组合起来，吸引了研究者应用多种方法对其结构原理和运动特性进行分析[7-12]。俄罗斯宇航局的AKIRA等[13]研制的四面体单元构架式耦合天线，应用于“自然号”、“联盟号”飞船以及“和平号”空间站上。文献[14-15]设计了几种结构多面体耦合机构，这些耦合机构通过改变形状满足功能需求，并且已经应用于航空航天。由此可见这类机构具有良好的伸展和收缩性能，在运输过程可以收缩到极限位置，工作时刻又可以伸展到特定位置实现特有功能。

本文提出一种二十面体单移动机构。以正十二面体的高度对称性和对偶性的空间结构特点为基础，设计一种同时由三、四、五边形为耦合节点的二十面体基础结构。采用分流法[16-17]求出其自由度，并对其运动输出特性进行理论分析。进行主动输入选取并构建耦合机构三维仿真模型，设置方向相反的驱动条件，对机构的动平台和节点构件的运动特性进行仿真以验证机构的正确性和合理性。

1 二十面体对称耦合机构模型构建

正十二面体具有结构简单，对称性强等优点，且正二十面体和正十二面体互为对偶，二十面体机构和正十二面体机构在性能上有一定的互补。但二十面体机构更复杂，其理论上的设计难度更大但设计的耦合节点种类更多，在装配上更难。因此选择正十二面体构件构建二十面体耦合机构。如图1所示，一个正十二面体由12个正五边形、20个顶点和30条棱边组成，满足多面体欧拉定理[18]。

图1 正十二面体空间结构Fig.1 Structure of regular dodecahedron

1.1 建立耦合框架结构

依照正十二面体空间结构，建立相应的耦合结构基础框架，再通过确定框架中的顶点和棱边类型确定各构件类型，从而得到二十面体对称耦合机构。

(1)标记组成框架的所有几何要素

考虑到整个耦合结构框架的对称性和稳定性，将相对平行的2个正五边形面A1A2A3A4A5和B1B2B3B4B5简化，分别等效为汇聚了5条棱边顶点，记为A′和B′，定义为等效顶点。与等效顶点A′直接连接的顶点分别记为C′、D′、E′、F′、G′，与等效顶点B′直接连接的顶点分别记为C、D、E、F、G，与正五边形面A1A2A3A4A5直接连接的5个面的中心分别记为C′1、D′1、E′1、F′1、G′1，与正五边形面B1B2B3B4B5直接连接的5个面的中心分别记为C1、D1、E1、F1、G1，如图2a所示。

图2 耦合结构框架Fig.2 Frameworks of coupled structure

(2)选择定平台和动平台构件

因为耦合框架结构具有对称性，选择互相平行的且汇聚情况相同等效顶点A′和B′为耦合机构模型的定平台和动平台构件。

(3)确定耦合节点构件及支链组成

为了方便区分顶点种类，如图2a所示，定义由正五边形(除正五边形A1A2A3A4A5和B1B2B3B4B5)棱边相交的点为一类顶点，用黑色四边形标示；正五边形(除了正五边形A1A2A3A4A5和B1B2B3B4B5)的中心点为二类顶点，用黑色三角形标示。如图2b所示，将同一个正五边形上的一个二类顶点分别与3个一类顶点连接，这样在相邻正五边形上的一类顶点之间的公共棱边替换成以其为对角线的四边形的4条棱边，这4条棱边都是一类顶点和二类顶点之间的连线。一类顶点汇聚了4条棱边，二类顶点汇聚了3条棱边，每2个相邻正五边形面上的一类顶点和二类顶点的连线交错相接且呈空间对称分布，由于每2个相邻正五边形因为有一个公共四边形，使各自所在的运动链间存在耦合关系，所以将一类顶点定义为一类耦合顶点，均作为一类耦合节点构件，将二类顶点定义为二类耦合顶点，均作为二类耦合节点构件。如图2b所示，将能够确定连接在定平台A′和动平台B′之间的由20个耦合节点构件通过连接构件顺次连接的各条耦合支链。

因此，构建耦合框架结构如图2b所示，含有20个面、40条棱边、22个顶点，仍然满足欧拉公式[18]。

1.2 设计几何元素的替代构件

基于构建的耦合框架结构中构件的几何连接关系，采用n边形构件替代n条棱边汇聚的顶点的原则，设计4种替代构件。

为了满足构件之间相对运动的灵活性和简单性，本文耦合机构模型的运动副的构型设计只考虑R副。设计的4种类型的替代构件分别为：

(1)等效顶点A′和B′处连接了5条对称且相等的棱边，将其设计成图3a所示的正五边形替代构件。

(2)一类耦合顶点连接了4条棱边，图3b所示的四边形构件代替。

(3)二类耦合顶点连接了3条棱边，图3c所示的三角形构件代替。

(4)耦合框架中的每条棱边用图3d所示的一个二副杆替代，其两端R副轴线相互平行。

图3 替换构件Fig.3 Replaced components

1.3 构建耦合机构模型

依照耦合结构框架的空间布局，所有的替代构件用R副顺次连接，构建耦合机构模型。

按照图2b所示耦合框架结构，选择2个正五边形，10个正三角形，10个四边形，40个连杆替代构件依次连接，得到图4所示的二十面体耦合机构模型。其中，构件M1和D1分别替代等效顶点A′和B′，构件Li(i=1,2,…,10)分别替代一类顶点，构件Sj(j=1,2,…,10)分别替代二类顶点。然后再将构件Li(i=1,2,…,10)和构件Sj(j=1,2,…,10)，动平台及定平台通过40条相同的棱边连接，从而形成由三、四、五边形组成的二十面体单移动多环耦合机构(图4)。

图4 二十面体耦合机构Fig.4 Icosahedron coupling mechanism

如图4所示，一个二十面体单移动多环耦合机构包含20个面，40条棱边，22个顶点，满足多面体欧拉定理[19]。

2 二十面体机构的解耦及自由度分析

运用以螺旋理论为基础的独立运动分流标记法[16-17]对上述构建的耦合机构基础模型的自由度数目及动平台的运动性质进行分析，从而验证构建耦合机构的正确性。

2.1 独立支链的判别

选择M1为定平台,D1为动平台。按照运动分流法，由于动平台D1上连接5个转动副R6、R7、R8、R9和R10，因此将该多环耦合机构拆分为5个独立运动链。R6、R7、R8、R9和R10所在的分支分别记为F1、F2、F3、F4和F5，且耦合结构C1、C2、C3、C4和C5连接在定平台上，5个分支C1-L6-R63-R6、C2-L7-R73-R7、C3-L8-R83-R8、C4-L9-R93-R9和C5-L10-R103-R10作用在动平台上，这5个节点构件均有2个运动副指向定平台，且有3个运动副指向离动平台最近的节点构件，因此相对于定平台连接的各节点构件又拆分为3个独立链Ck1、Ck2和Ck3(k=1,2,…,5)。如图4所示，将机构动平台实现的运动传输路线用箭头在构建的耦合结构中标出。

因为在初始时刻拆分的5个独立运动链关于中心点O分布对称，故分析自由度时分析其中的1条独立运动链即可，这里分析图4中第一分支法F1：C1-L6-R63-R6,该分支的结构组成如图5所示。

图5 分支F1Fig.5 Branch F1

2.2独立运动链分支C1的分析

图6 分支F1结构框图Fig.6 Block diagram of branch F1

初始时刻，各个独立运动分支是里面含有一个人字形构件的“六边形”，所以每个分支本身有各自的对称平面。耦合结构C1可以等效为图6所示中的3条并联支链，分别标记为C11、C12和C13。每个并联支链都包含一个八杆单环结构，分别标记为H1、H2、H3(图5)。

对于分支C12，为了方便建立坐标系，对图5中分支C1的镜像视图进行分析，如图7所示。

图7 分支和的约束分析Fig.7 Constraint analysis of branch and

(1)

(2)

(3)

求反螺旋，得到分支C12的约束螺旋系为

(4)

对于耦合节点L6,在坐标系O7X7Y7Z7中约束螺旋系为

(5)

L6的运动螺旋系为

(6)

分支C1-R6的运动螺旋系为

(7)

反螺旋为

(8)

2.3 整个机构的分析

由对称性可知，C1-R6、C2-R7、C3-R8、C4-R9、C5-R105个独立支链也分别施加给动平台2个约束力偶，每个支链的其中一个约束力偶与定平台M1所在平面垂直且平行于5个分支对称平面的交线，另一个约束力偶与定平台M1所在平面平行且通过5个独立支链对称平面的交线。在定平台M1上投影为点O的直线L为5个支链的对称平面在初始时刻的交线。使Z轴与L重合，XOY位于M1所在平面，则建立如图8所示的OXYZ坐标系，使其为整个耦合机构的坐标系。在该坐标系下，5个分支作用于动平台的约束螺旋系为

(9)

求二次反螺旋为

(10)

由式(10)可以看出，动平台D1在初始位置只有Z轴方向的移动自由度，即动平台D1在图4所示初始位形下运动为沿Z方向的上下移动。由于式(9)中有线性相关的约束螺旋系，因此新的耦合机构具有0个公共约束，5个冗余约束。为了进一步说明所求自由度的正确性，下文用修正的G-K公式法[7]计算新机构在初始位置该机构的自由度。

2.4 等效并联机构输出件的自由度分析

图9 等效并联机构结构示意图Fig.9 Schematic diagram of equivalent parallel mechanism

(11)

式中M——机构动平台D1自由度

λ——公共约束数

n——定平台构件数目

g——运动副数目

fi——第i个运动副的自由度

ν——并联冗余约束

ξ——新耦合机构中存在的局部自由度

由于新机构在运动过程中各运动副之间的几何特性保持不变，因此图8所示坐标系OXYZ永远成立，依照2.1～2.3节的拆分原则可得到求解各分支的运动螺旋系也保持不变。那么，新机构依然可以用图9所示并联机构等效代替，所以机构的自由度具有全周性，自由度为1。

3 主动输入选取

机构所选取的输入数目和机构自由度数应相等，这样机构才能实现确定的运动。由于本机构只有一个沿Z竖直方向的移动，因此添加一个转动副，一般选择机架副。由于本机构具有对称性，因此在其中一个分支添加驱动即可。因此选择在R1、R2、R3、R4和R5的任何一个机架副添加驱动作为输入副即可，本文选择R2作为主动副。根据赵铁石等[19]提出的如何判断添加原动件的方法，对机构的输入选取进行分析。

基本思想为：将所选作为输入的所有主动副锁定后，计算所有分支对于动平台发生的总的约束反螺旋系

(12)

i——6与机构自由度的差值

即如果刚化后机构总动平台上的约束反螺旋系的秩$r等于6，即dim($r)=6，则所选择的输入是合理的；否则为不合理，重新选择。

根据上述方法，对于本文提出的二十面体耦合机构，在初始位型下，独立运动链分支C1分支的运动螺旋系为式(1)。在这里刚化转动副R2，即在分支中去掉转动副及在式(1)去掉螺旋 。则约束螺旋系式(2)又增加了一个沿X1方向的约束力,且产生对原点的距为沿Y1轴方向的力偶分量可得。

(13)

此时H12变成了7杆机构，原来节点构件S2受过O7点相对于定平台2个等效广义运动副，分别为位于对称平面内的移动和转动。此时由于转动副R2刚化，则位于对称平面内的转动被约束掉。则在图7坐标系O7X7Y7Z7中得H12运动螺旋为

(14)

分支H12-R26-R61的运动螺旋系在O7X7Y7Z7中为

(15)

求反螺旋，可得到分支C12的约束螺旋系为

(16)

同理由于环H11、H13都含有与H12中R2没有刚化前类似的8杆机构，且分支C11、C13关于对称平面对称。用相同的分析方法得到对于耦合节点L6，在坐标系O7X7Y7Z7中，其约束螺旋系为

(17)

对其求反螺旋得到L6的运动螺旋为在X7O7Y7面内的移动，从而得到分支C1-R6的运动螺旋系为

(18)

反螺旋为

(19)

在该坐标系下，5个分支作用于动平台的约束螺旋系为

(20)

综上所述，二十面体耦合机构在R2处添加转动副作为主动输入是合理的。

4 运动特性分析

应用ProE构建耦合机构的三维实体模型，利用Matlab得到动平台和节点构件的位置变化曲线，在仿真上来进一步分析二十面体耦合机构的自由度及运动特性。

4.1 耦合机构仿真模型建立

耦合机构的整体坐标系OXYZ如图8所示，Z轴垂直定平台M1所在平面竖直向上，X轴与R4轴线平行，Y轴由右手螺旋定则决定，构建耦合机构的三维模型如图10所示。以动平台M1、10个四边形节点构件及10个三角形节点构件的几何中心为位移测量点。对各构件上位移测量点的位移进行仿真，在给定的驱动条件下，将仿真结果利用Matlab绘制成时间-位移变化曲线。设置2种驱动条件分别进行仿真从而体现耦合机构的伸缩特性。

图10 驱动1设置Fig.10 Setting of drive 1

4.2 构件运动特性仿真分析(驱动1)

图11 伺服电机的具体设置Fig.11 Specific settings of servo motor

在R2轴线中点位置设置转动马达1，驱动马达1的旋转方向用箭头标注如图10所示，由右手螺旋法则大拇指沿R2轴线方向指出纸面，马达1旋转方向四指握拳方向。马达选用伺服电机，设置如图11所示。图11a表示转动轴为R1轴线，图11b表示所加伺服电机的速度为常数2(°)/s，图11c表示所加伺服电机的终止时间为10 s，帧频为2.5，最小间隔为0.4 s。

在仿真时间内，动平台D1沿坐标系OXYZ3个坐标轴的位移变化曲线如图12所示。由图12可看出，仿真过程中动平台沿X轴(下三角符号)和Y轴(实线)的数值始终为0，即D1在这2个坐标轴没有位移变化，沿Z轴(空心圆)有缓慢的上升趋势，这表明动平台只有一个沿Z轴方向的移动运动，符合第2节耦合机构的自由度理论分析结果，说明了设计的机构合理性。

为了分析两类耦合节点构件的运动特性，将不同的四边形节点构件Li(i=1,2,…,10)在同一时刻沿各坐标轴的位移变化进行仿真，并绘制相应的时间-位移变化曲线，见图13；同样的，三角形节点构件Sj(j=1,2,…,10)在同一时刻沿各坐标轴的位移变化曲线见图14。

由图13对比可知，在马达1驱动条件下，Li(i=1,2,…,5)在Z轴的数值相同，即始终处于同一高度。Li(i=6,7,…,10)在Z轴的数值相同，即始终处于同一高度。其中，耦合构件L4、L6在X轴方向位移始终为0，仅在平面YOZ内运动，沿Y轴数值变化相同但运动方向相反。沿Y轴运动方向相反但数值变化相同，表明平面YOZ为L5和L10的运动对称平面。构件L1和L9，L2和L8，L3和L7也有与L5和L10相同的位移变化趋势，所以平面YOZ也是构件L1和L9，L2和L8，L3和L7的运动对称平面。综合各坐标轴的仿真结果可知，Li(i=1,2,…,5)和Li(i=6,7,…,10)沿Z轴数值增大的过程中，沿X轴和Y轴的数值均有向0靠近的趋势，即10个四边形节点构件在上升过程中，伴随有向机构对称中心O汇聚的运动趋势。

图14 节点构件Si沿各坐标轴位移变化曲线Fig.14 Changing curves of displacement of joint Si along axes

由图14可见，在马达1驱动条件下，Sj(j=1,3,…,9)在Z轴的数值相同，即始终处于同一高度。Sj(j=2,4,…,10)在Z轴的数值相同，即始终处于同一高度。其中构件S2、S7在X轴方向位移始终为0，仅在平面YOZ内运动，沿Y轴数值变化相同但运动方向相反。构件S9、S10在X轴方向位移相同,沿Y轴数值变化相同但运动方向相反，表明平面YOZ为S9和S10的运动对称平面。构件S1和S8，S3和S6，S4和S5也有与S9和S10相同的位移变化趋势，所以平面YOZ也是构件S1和S8，S3和S6，S4和S5的运动对称平面。

综合各坐标轴的仿真结果，Sj(j=1,2,…,10)沿Z轴数值增大的过程中，沿X轴和Y轴的数值均有向0靠近的趋势，即10个三角形节点构件在上升过程中，伴随有向机构对称中心O汇聚的运动趋势。

为了体现网状连接的节点构件Li(i=1,2,…,10)和Sj(j=1,2,…,10)在仿真过程中的位移变化关系，将这20个耦合节点构件与动平台的运动仿真结果绘制在一个三维空间坐标中，见图15。

图15 动平台及节点构件位移变化曲线图Fig.15 Changing curves of displacement of moving platform and joints

由图15可以看出，在马达1的驱动下，动平台D1(+号)沿Z轴向上运动过程中，伴随有耦合节点构件Li(i=1,2,…,10)和Sj(j=1,2,…,10) (圆点)上升并向机构中心O汇聚的运动特性。

4.3 对称耦合机构可展性

为了对该耦合机构的运动特性进行仿真，设置一个与图10中马达1仅转向相反的驱动条件，以观察耦合机构运动过程中的收缩运动特性。由仿真结果可以看出，二十面体耦合机构是具有一个移动自由度的对称可展耦合机构。运动时,耦合点构件Li(i=1,2,…,10)和Sj(j=1,2,…,10)在特定的驱动条件下可以实现往复伸展、收缩运动。图16是机构在不同仿真时刻对应的位形变化，其中图16a、图16b和图16c为马达1驱动仿真条件下的位形变形，图16a、图16d和图16e为马达2驱动仿真条件下的位形变形。

图16 可展机构位形伸缩变化示意图Fig.16 Schematic diagrams of deployable mechanism

5 结论

(1)针对正十二面体的对称性，首先增加顶点种类从而增加耦合节点的种类,设计了一种由三、四、五边形组成的对称耦合机构。针对正十二面体的对偶性再构建相应的耦合基础框架，设计节点替代构件，设计连杆连接耦合节点得到一种二十面体可展耦合机构。

(2)为了判断整个机构的运动性质，用分流法进行自由度分析，结果表明构建的耦合机构具有1个移动自由度。构建机构的三维实体模型并进行运动特性分析，结果表明了机构的相对耦合节点可实现运动特性相反的运动特性，相邻耦合节点构件可实现同收缩的运动特性。

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LIU Jingfang1,2CAO Yake1,2DING Huafeng1,2

(1.CollegeofMechanicalEngineeringandAppliedElectronicsTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China2.BeijingKeyLaboratoryofAdvancedManufacturingTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China)

It has remained a great challenge to develop coupled mechanisms in kinematics.Polyhedrons with various appearance and symmetric configuration attract more and more attentions and provide possible basic modes for the design of coupled mechanisms.Based on the symmetry and duality of the regular dodecahedron, a movable icosahedron mechanism with single mobility was designed, where the coupling nodes were composed of triangles, quadrilaterals and pentagons.Firstly, in order to design the coupling nodes with triangles, quadrilaterals and pentagons, each vertex was added to the ten faces of the icosahedron and the node variety was increased by adding types of vertexes.The common edge of the original regular pentagon was replaced by four edges.Four edges made up a quadrilateral.The common edge of the original regular pentagon became a diagonal of the quadrilateral.Then four kinds of replacement components were designed according to the connection of each component, and the replacement components sequentially were connected by rotational joints to construct a basic model of the coupled mechanism.Secondly, mobility of the mechanism model was calculated by the shunting method based on screw theory.The coupled mechanism was divided into five identical branches according to the shunting tags.As long as the constraints of one branch were determined based on screw theory, the constraints of all branches to the moving platform was obtained.Then mobility of the coupled mechanism was obtained, which showed the coupled mechanism had a translational freedom.Finally, active input selection was analyzed and the three-dimensional model of the coupled mechanism was established.Two opposite driving conditions were set up in the simulation, and position curves of the moving platform and the node components were got by Matlab.The simulation results were consistent with theoretical results.It further showed that the proposed mechanism had the characteristics of stretching motion.

coupled mechanism； icosahedron； freedom； motion analysis

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.048

TH112

A

1000-1298(2017)10-0370-10

2017-05-16

2017-07-31

国家自然科学基金项目(51475015)

刘婧芳(1985—)，女，副教授，博士，主要从事机构学理论和方法设计研究，E-mail: jfliu@bjut.edu.cn