基于张量理论的数控机床误差补偿模型

褚 宁 张为民,2

(1.同济大学机械与能源工程学院，上海 201804； 2.同济大学中德学院，上海 201804)

基于张量理论的数控机床误差补偿模型

褚 宁1张为民1,2

(1.同济大学机械与能源工程学院，上海 201804； 2.同济大学中德学院，上海 201804)

为了进一步提高数控机床多体运动学误差模型的精度，提出了基于张量理论的机床误差补偿模型。首先面向数控系统列表插值补偿方式，提出了应用张量理论设定基础阶、扩展阶和误差阶来建立机床误差张量模型。然后，提出了采用设定机床信息、建立张量模型及设定检测参数3个流程实施误差补偿，并通过多元回归分析提出了采用4阶多项式拟合机床空间误差。最后，以某重型车铣复合机床实验为例，提出了分轴步进对角线法下的张量误差模型，采用球杆仪进行了圆度误差检测实验，结果表明该方法能够有效地提高机床精度，比多体运动学误差模型的补偿效果更优。

误差补偿； 张量理论； 分轴步进对角线法； 车铣复合机床

引言

数控机床的精度模型和误差补偿模型是数控机床研究的热点之一，国内外学者对误差建模方法进行了广泛而深入的研究。DONMEZ等[1]于1986年提出建立包含几何误差和热误差的机床综合误差模型。CHANA等[2]采用多体运动学理论建立包含受力变形误差的三轴机床误差模型，LIN等[3]以及TUTUNEA-FATAN等[4]将多体运动学扩展到五轴数控机床的应用。SCHWENKE等[5]在CIRP上系统地回顾了误差数值补偿的基础以及测量几何误差的可用方法。刘又午等[6]将多体理论运用到数控机床的全误差建模。文献[7-8]通过热误差分析结合几何误差建立综合误差模型及实施误差补偿，并扩展到五轴机床的应用[9]。粟时平等[10]提出12线法的误差辨识方法。李小力[11]`对数控机床综合误差的建模及补偿研究进行了系统论述。郭然等[12]采用切比雪夫多项式分解几何误差。此外，还有许多学者分别采用粒子群算法[13]、线性插值算法[14]、人工神经网络[15]、流变理论[16]、微分构造[17]和最优权系数[18]等建模方法来对机床误差进行建模。多体运动学误差模型[19-20]由于良好的通用性和有效性，仍是最为常用的机床误差建模方式，随着现代数控机床各部件的制造精度越来越高，螺距误差已不是最大的误差项，如运动部件的直线度误差及变形误差都成为重要的误差来源，以重型龙门机床为例，悬垂误差可达400 μm/2 000 mm[21]，基于多体运动学建模多种误差来源在公式表达和计算上形式过于复杂，已逐渐不适应误差补偿的需要。

本文在多体运动学机床模型的基础上，参考数控系统列表插值补偿方式，提出应用张量理论设定基础阶、扩展阶和误差阶来建立机床误差张量模型。然后基于激光干涉仪制定机床误差张量模型检测与辨识方法。最后以重型车铣复合数控机床为实例，验证数控机床应用张量理论建模与补偿的可行性。

1 基于张量理论的数控机床误差模型

1.1 数控系统的误差补偿模型

数控机床误差补偿功能按照参数可以划分为机床定义、机床轴设定和插值补偿表3部分。其中插值补偿表采用插值列表形式来实现具体的误差补偿，是数控系统误差补偿功能底层实施的核心。现有机床误差模型多面向拟合精度或运动匹配，很少关注数控系统插值补偿表，以多体运动学误差模型为例，主要和机床结构定义相关，在机床轴设定和插值补偿表上都只有部分相关，如图1所示。

图1 多体运动学误差模型对比数控系统误差补偿功能Fig.1 Multi-body kinematics model of machine-tool and CNC system error compensation function

由图1可知，多体运动学误差模型能较好地匹配数控机床误差补偿功能的机床定义，但在机床轴设定和插值补偿表功能方面有所欠缺，无法全面地指导误差补偿实施。

1.2 面向数控系统的误差张量建模

张量理论是数学的一个分支学科，是力学和物理学一个有力的数学工具，一般理解上，张量实为标量、向量、线性算子的母概念，1 阶张量即为向量，2 阶张量即为矩阵，3 阶张量就是三维数组[22]。

图2 数控机床误差张量模型建模流程图Fig.2 NC machine-tool error tensor model diagram

以多体运动学误差模型为基础，综合机床信息和机床插值点误差两部分，建立数控机床空间误差的误差张量模型。数控机床误差张量模型的建模流程包括设定机床信息、建立张量模型及设定检测参数3部分，具体建模流程如图2所示。

由图2可知，建立张量模型主要包括设定张量阶数和设定张量维数，因此数控机床误差张量模型最重要的参数为张量的阶数、维数以及检测参数，可将张量误差模型定义为基础阶、扩展阶和误差阶3部分。基础阶为定义误差来源项，前3阶为X、Y、Z轴，维数即为直线轴的插值点数，如果是五轴机床则包含2个扩展张量阶；扩展阶为定义变形误差，主要包括负载变形、切削力变形、热变形等，维数为变形的状态数；误差阶为机床TCP点的误差，误差阶维数为误差项数量，如X、Y和Z轴向定位误差、阶数及维数设定如表1所示。

表1 数控机床误差张量模型维数及阶数定义Tab.1 Dimension and order definition of error tensor model

实际应用中数控机床的误差张量模型不限于表1所列的11阶，一般根据机床结构和误差检测设备条件进行简化，以AC五轴机床误差张量模型为例，全误差张量模型为十阶，即M∈RIiIjIkIoIpIqIuIvIw，其中i、j、k为基础阶的维数，表征X、Y、Z三轴的插补点数，o、p为五轴旋转阶的维数，表征A、C轴插补点数，q、u、v为变形误差阶的维数，表征负载变形、切削力变形和热变形的变化状态，w为误差阶的维数，表征机床的定位误差、正反向误差等。令各轴插补点数为n，在不考虑变形误差，仅计算三轴向空间误差情况下，可建立简化的误差张量模型M0∈RInInInInInI3，如仅计算直线轴则可以建立简化直线轴误差张量模型ML∈RInInInI3。

2 面向误差张量模型的检测流程及检测关键参数

2.1 机床误差张量模型的检测流程

数控机床的误差检测是误差建模与补偿的重要环节，对机床的几何误差检测已有国家标准[23]、国际标准[24]等，但几何误差检测标准的目的在于机床定标，不适于指导精确的误差补偿，无法直接用于误差补偿。激光干涉仪是检测机床误差精度最高的设备之一，本文基于ISO 230检测标准，采用激光干涉仪来建立面向数控系统误差补偿功能的机床误差张量模型，步骤及待测参数如下：

(1)设定误差张量模型阶数：按照图2的建模方法初步建立机床误差综合张量模型，关键参数为运动链和误差张量模型阶数等。

(2)设定误差张量模型维数及插值点间距：根据直线轴误差分布规律和机床运动行程，设定各直线轴的插值点间距和测量点数，关键参数为误差张量模型维数和插值点间距等。

(3)设定采样路径：根据误差张量模型维数和直线轴误差分布规律设定激光干涉仪检测的定位路径，关键参数为采样路径和采样次数。

(4)检测定位误差：参考ISO 230-2的标准检验循环，根据采样路径、测量点数、插值点间距和采样次数，实施定位误差检测。

(5)检测直线度误差：同定位误差检测方法流程相似，但需采用不同的反射镜组来分别检测直线度和垂直度误差。

(6)数据处理：基于ISO 230标准，通过计算正向定位误差，反向定位误差，正向直线度误差，反向直线度误差，正向垂直度误差和反向垂直度误差等关键参数，建立机床误差综合张量模型。

2.2 检测关键参数的实验

理论上误差采样数据量越多张量模型精度越高，但过多采样数据量会使得检测过程过于繁复以致无法进行，因此需要通过分析机床插值点误差的分布特点对插值点间距和采样次数进行合理优化。

插值点的主要测量误差项为插值点的正向平均位置偏差，反向平均位置偏差，插值点的平均位置偏差，插值点的反向误差，单向定位标准不确定度和单向重复定位精度等，本文以某型车铣复合机床为实验对象，如图3所示，为简化模型，仅计算直线轴的综合误差，直线轴的全工作空间为：x∈[-540,-80] mm，y∈[-500,-40] mm，z∈[-420,-20] mm。

图3 车铣复合机床结构简图Fig.3 Topological structure of mill-turn machine

实验采用ML10型激光干涉仪，按照ISO 230-2的检测标准，每隔20 mm采样一个点，根据标准检测循环实行检测，重复实验5次，实验结果如表2所示，篇幅所限，仅列出部分X轴定位误差的测量记录。

插值点间距的设定和相邻插值点的X、Y、Z三向定位误差有关。一般认为机床误差为连续函数，需要将误差检测值通过函数拟合来定义定位误差函数。在数控系统内通常采用多项式拟合来计算误差值，本文也采用多项式拟合来定义误差函数，取10次测量的均值为误差补偿值，以X轴定位误差为例，为了计算方便，统一以正向检测误差为准。

表2 X轴定位误差测量值Tab.2 X axis positioning error measurement results μm

图4 X轴定位误差测量均值的多项式拟合分析Fig.4 Polynomial fitting analysis of measuring mean of X-axis positioning error

图5 多项式拟合的残差分析Fig.5 Residual analysis of polynomial fitting

由图4、图5可知常用的1阶拟合和残差为-4.20～5.28 μm，超过±4.0 μm的出厂标准；采用2～5阶多项式拟合的残差绝对值的最大值分别为4.93、4.64、3.37、2.64 μm，采用4阶多项式拟合即可达到标准；采用2～5阶多项式拟合的残差绝对值的均值分别为1.98、1.96、1.60、1.47 μm，采用5阶多项式拟合计算时间增加近50%，但精度提高不足10%，综合分析采用4阶多项式拟合已经可以较好地对误差进行拟合。

插值点间距的设定由误差函数和误差补偿精度和数控系统功能决定，一般数控机床插值点之间的误差为线性插值。以X轴为例，先通过三阶多项式拟合实际检测误差建立X轴的X、Y、Z三向误差函数Px(x)、Py(x)和Pz(x)，即

(1)

式中amn(x)——X轴n向误差拟合函数m阶项

由式(1)及插值点间距lx和插补段数i可得数控系统直线插补所需的插补函数

(2)

式中iNm(x)——X轴第i段m向误差插值函数

计算所得的X轴误差可以换算为X轴的三向几何误差Ex(x)、Ey(x)和Ez(x)，即

(3)

插值点间距越小，误差补偿效果越好，但检测时间变长且数控系统负担更重。取最大的插值点间距的条件为

(4)

式中Lx——X轴插值全长

Nxmax——X轴最大插值点数

Em(x,Pn(x))——X轴第n点的m向定位误差

Rm(x,Pn(x))——X轴第n点的m向重复定位误差

Epx——机床X轴定位精度要求

Rpx——机床X轴重复定位精度要求

3 车铣复合机床实验验证

3.1 误差检测

实验采用沈阳机床的某型五轴车铣复合加工中心[25]，其主要特点在于X、Y、Z构成三维空间，C轴为带分度的车主轴，B轴为绕Y轴旋转的轴，形成刀具与主轴回转中心的夹角，可以换装铣刀和车刀，总体结构如图6所示。

图6 五轴车铣中心结构示意图Fig.6 Structure diagram of five-axis mill-turn machine

实验以直线轴为例，误差检测实验选用光动公司的MCV-5005套件，检测过程采用分轴步进对角线检测技术[26]，特点是所测得的位移误差是平行于运动轴线方向的误差和垂直于运动轴线方向的误差的矢量和。实验装置及光路设定如图7所示。

图7 分轴步进对角线法(PNP/NPN路径)Fig.7 Step-diagonal measurement method (PNP/NPN)

设定分轴步进对角线检测的采样路径为PPP和NNN，然后PNP和NPN，然后NNP和PPN，最后NPP和PNN，重复检测3次，测量区间分别为x=[-400,-10] mm，y=[-500,-20] mm，z=[100,1 000] mm，插值点每个轴为31，每条对角线检测3遍取平均值，如图8所示。

图8 分轴步进对角线检测结果Fig.8 Test results of step-diagonal measurement method

3.2 基于分轴步进对角线法的张量误差模型

数控机床误差综合张量模型包括正向定位误差，反向定位误差，正向直线度误差，反向直线度误差，正向垂直度误差和反向垂直度误差。通过检测8条对角线后统一计算可得，令PPP路径上对角线矢量的X、Y、Z分量为a、b、c，任意测量点i上的正向定位误差计算公式为

(5)

(6)

(7)

式中Em(ni)——n轴第i点的m向正向误差

εl(ni)k——n轴第i点的k路径上的激光长度

普通机床以正向误差加反向间隙补偿即可，如数控系统包含独立的正反向误差补偿程序(SINUMERIK 840D)，则任意测量点i上的反向定位误差计算公式为

(8)

(9)

(10)

式中E′m(ni)——n轴第i点的m向反向误差

将测量数据代入式(5)～(10)可得直线轴的误差简化张量模型，即建立EL∈RI31×I31×I31×I6。以X轴为例，X轴的误差简化张量模型为E(x)=E:11:，参照插值补偿如表3所示。

表3 X轴误差简化张量模型Tab.3 Error tensor model of X axis mm

840D型数控系统的误差补偿函数为高阶多项式，理论上选用较高的多项式拟合精度较高，但会造成数控系统负载过重，鲁棒性较差，需要对多项式的阶数进行优化。以EL所得的误差简化张量模型为测试数据，分析多项式拟合的拟合效果，以残差平方和Esse为对比标准，Esse定义为

(11)

考虑到数控系统的应用实际，对比采用1～6阶多项式拟合的拟合效果，分为螺距误差和直线度误差，结果如图9所示。

图9 多项式拟合效果Fig.9 Polynomial fitting effect

图9显示了多项式拟合机床误差的拟合效果，螺距误差的多项式拟合效果较好，3阶以上的残差平方和均小于0.000 03，而直线度的误差非线性的特征更为明显，如X轴Z向直线度需要5阶以上的拟合才达到0.000 3，说明误差补偿应当从只关注螺距误差和垂直度误差转换为更关注于直线度误差。

以线性插补的补偿效果为基准，高阶多项式的拟合效果如图10所示。

图10显示了多项式拟合阶数对机床误差拟合效果的影响，螺距误差的多项式拟合效果较好，采用3阶即可提高拟合精度59.4%～92.5%，5阶可提高64.0%～93.2%；各轴直线度的误差各不相同，X轴3阶提高26.4%～54.3%，而Y轴可提高75.5%～95.5%，Z轴为37.4%～57.3%。普通数控系统可选用3阶多项式拟合即可达到满意的补偿效果，高档数控机床则可选择更高阶的补偿函数，进一步提高误差补偿的效果。

3.3 基于机床误差张量模型的误差补偿

令插值点间距lx=20 mm，以3阶多项式拟合正向误差为例，建立X、Y和Z轴的三向误差函数

图10 多项式阶数拟合效果对比Fig.10 Comparisons of polynomial fitting effect by polynomial order

(12)

(13)

(14)

该型号车铣复合机床采用SINUMERIK 840D型数控系统，通过扩展840D型数控系统SAG悬垂误差补偿功能[27]来实现数控机床误差张量补偿。在840D型系统内SAG悬垂误差补偿属插值补偿，提供基准轴和补偿轴选择，如定义基准轴$AN_CEC_INPUT_AXIS[6]=(X)，定义补偿轴$AN_CEC_OUTPUT_AXIS[6]=(Y)，则代表第6项SAG误差补偿为相对于X轴Y方向上的误差，将悬垂误差以直线度误差代替，则可实现X轴Y向直线度误差的补偿，其他各轴以此类推。

以球杆仪的圆度误差检测实验验证机床张量误差模型，即将误差张量模型转换为表3所列误差表，通过西门子840D的SAG补偿功能实现误差补偿，以XY轴插补运动做圆度误差检测为例，结果如图11所示。

分别检测XY平面、XZ平面和YZ平面的圆度误差，为避免动态误差影响，优化动态参数，并将进给率设定为1 000 mm/min，检测3次取均值，检测结果如表4所示。

XY、XZ和YZ平面的原始圆度误差在7.4～10.3之间，表明机床原始精度较高，在单独补偿各轴螺距误差后，3个平面的圆度误差增加12.2%～27.7%，表明空间误差的补偿是三轴误差的综合，单独的螺距误差无法优化多轴的联动精度。通过采用多项式拟合的机床误差张量模型实施补偿后，XY平面圆度误差降低22.3%，XZ平面圆度误差降低18.9%，XZ平面圆度误差增加7.2%，由于XY为主要加工面，检测数据较多，考虑到误差张量模型的补偿为综合优化，对XY平面的优化效果较好。另一方面，实际误差的误差函数的拟合阶数越高，误差补偿效果越好。圆度误差的检测表明，在较高的机床原始精度下单纯补偿激光干涉仪测量的定位误差已被证明不仅对圆度误差没有改善反而会增加圆度误差，但采用张量模型实施误差补偿确实提高了机床的插补精度。

4 结论

(1)提出了数控机床的误差张量模型建模方法。通过设定机床信息、建立张量模型及设定检测参数3个流程建立数控机床误差张量模型。张量误差模型可以定义为基础阶、扩展阶和误差阶3部分。

(2)建立了机床误差张量模型的误差检测流程和主要检测参数。通过设定误差张量模型阶数、设定误差张量模型维数及插值点间距、设定采样路径、检测定位误差、检测直线度误差和数据处理6个步骤建立机床空间误差张量模型。由实验数据分析可得，定位误差采用低阶多项式拟合的精度不足，采用5阶多项式拟合计算时间增加近50%，但精度提高不足10%，采用4阶多项式拟合可以较好地对误差进行拟合。

图11 误差补偿效果(圆度误差检测)Fig.11 Compensation effects by roundness error test

(3)实验验证误差张量模型实施误差补偿的有效性。建立基于分轴步进对角线法的机床误差张量模型。螺距误差的多项式拟合效果较好，3阶以上的残差平方和小于0.000 03，而直线度的误差需要5阶以上的拟合。采用球杆仪进行圆度误差检测实验，在机床原始精度较高(圆度误差10 μm)条件下，通过误差张量模型仍能进一步提高20%左右，而通用的螺距误差补偿则会降低多轴联动的精度12.2%～27.7%。

表4 球杆仪圆度误差Tab.4 Roundness error by ballbar test

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ErrorCompensationModelofCNCMachine-toolBasedonTensorTheory

CHU Ning1ZHANG Weimin1,2

(1.SchoolofMechanicalEngineering,TongjiUniversity,Shanghai201804,China2.ChineseGermanSchoolforPostgraduateStudies,TongjiUniversity,Shanghai201804,China)

In order to improve the geometric accuracy of high-end CNC machine tools, a machine tool error compensation model based on tensor theory was proposed.Firstly, the error tensor model was established by setting the basic order, the extended order and the error order, which was applicable for error compensation table.Secondly, the error compensation was carried out in three processes, which were setting machine tool information, establishing tensor model and setting detection parameter.Referring to the ISO 230-2 standard, the modeling flow and detection parameters of the error tensor model were presented.Using multiple regression analysis, the linear fitting and residual errors were 2.5 μm, while the four polynomial fit residuals were 1 μm.Finally, taking CNC turn-milling machine experiment as an example, the error tensor model by step-diagonal measurement was proposed.The analysis of experimental data showed that the pitch error by three order fitting can improve the fitting precision by 59.4%～92.5%, the sum of squared residuals was less than 0.000 03; the straightness error needed five order fitting for nonlinear characteristics.The ballbar experiment of roundness error showed that roundness error was increased by 12.2%～27.7%, while only compensated the pitch error.For example, the compensation using error tensor model can be reduced by 22.3% of roundness error atXYplane by three order fitting, which was optimized by 26.4%～95.5% compared with that of the linear interpolation.The experiment showed that the error compensation should be paid more attention to the straightness error.The method of error tensor model can effectively improve the accuracy of machine tools for both pitch error and straightness error.

error compensation; tensor theory; step-diagonal measurement method; CNC turn-milling machine

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.052

TH161+.2； TH161+.5

A

1000-1298(2017)10-0408-09

2017-06-08

2017-07-28

国家科技重大专项(2012ZX04005-031)

褚宁(1984—)，男，博士生，主要从事机床误差建模、误差检测与误差优化研究，E-mail：chuning0126@163.com

张为民(1965—)，男，教授，博士生导师，主要从事金属切削机床与加工工艺和制造系统等研究，E-mail：iamt@tongji.edu.cn