3-P(4S)并联机构分析与多目标性能优化

赵星宇 赵铁石 云 轩 王文超 田 昕 李忠杰

(1.燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室, 秦皇岛 066004；2.燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室, 秦皇岛 066004)

3-P(4S)并联机构分析与多目标性能优化

赵星宇1,2赵铁石1,2云 轩1,2王文超1,2田 昕1,2李忠杰1,2

(1.燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室, 秦皇岛 066004；2.燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室, 秦皇岛 066004)

针对3-P(4S)并联平台，首先对其进行了位置反解，提出了由BP神经网络和拟Newton法相结合的混合数值法，并以此对机构进行了位置正解，求解精度可达到10-8数量级，求解时间在20 ms内。然后通过对位置解求导可得到机构动平台和分支杆件的速度和加速度。根据运动学分析的结果，应用牛顿欧拉方法构建该机构的动力学模型，并对机构的数值算例进行了动力学仿真验证。最后综合考虑机构的动力学性能、刚度性能和速度性能，分别推导了其评价指标，并应用改进的加权求和法对该机构进行多目标的尺寸优化。通过多目标的尺寸优化，该机构的动力学性能和速度性能提升了2倍，刚度性能提升了3倍。

并联机构； 混合数值算法； 多目标； 性能优化

引言

多维并联激振平台可以为振动测试提供稳定的复合多自由度激振，模拟设备的运动状态，有效提高测试效率[1-2]。因此，近年来多维并联激振平台在国内外得到了广泛的研究和发展[3-6]。德国Instron公司的六自由度振动台，主要应用于整车的振动模拟及疲劳测试。英国Servotest公司的高频六自由度振动台，采用3-2-1结构布置，主要应用于车载发动机的振动测试。中国科学院长春光学机械研究所基于Stewart构型模拟多维扰动。上海交大自主研发的多维电动振动台，用于多维振动模拟。

同一构型的振动台，当其结构参数不同时，性能存在较大的差异。通过优化尺寸参数来提升机构性能，这是机构学领域值得研究的课题。ALTUZARRA等[7]基于操作灵活度以及工作空间对4-PRΠRR机构进行了尺寸优化，齐明等[8]通过求解雅可比矩阵，获得3-PUS/PU三自由度机构的全域条件数，并进行几何参数优化。

本文同时考虑机构的动力学性能、速度性能和刚度性能，分别给出其评价指标，并将进行多目标的尺寸优化。对3-P(4S)激振平台应用BP神经网络[9-12]与拟Newton法[13-14]相结合的混合数值法对该机构进行位置正解分析，进而建立其运动学和动力学模型，并用动力学仿真软件进行仿真验证，最后根据改进的加权求和法对机构性能进行多目标优化。

1 3-P(4S)机构运动学分析

1.1 位置正解分析

图1为本文所研究的3-P(4S)激振平台三维造型，图2为机构简化图。该机构由上平台、基座以及3个P(4S)分支组成。每个分支均为1个移动副和4个球副组成的闭环子链，4个球副中心点呈平行四边形布置，由于在运动过程中闭环不会出现扭曲，所以在分析过程中，闭环机构可等效为以上下边中点以球副中心点铰接而成的等效杆件cidi(i=1,2,3)。基座底面呈正三角形分布，其外接圆的半径为rb，各分支的移动副与基座底面呈倾角φ布置。分支的4S闭环子链上下边长为d，左右边边长为L。上平台呈3个长边和3个短边的对称六边形布置，其外接圆的半径为ra，相邻球副在上平台中心连线的夹角的一半为θ=arcsin(d/(2ra))。以基座底面中心为原点建立固定坐标系{O}，其X轴沿分支1轴线在底面投影线方向，Z轴竖直向上。以上平台中心为原点建立动坐标系{P}，其X轴垂直于分支1中闭环子链的短边，Z轴竖直向上。以下平台3个顶点为原点分别建立分支坐标系{ui}(i=1,2,3)，xi轴垂直Oui，yi轴沿ciui方向。由文献[15]可得，在机构呈平行四边形布置时，机构能实现三维线性平动，则动平台的3个姿态角参数(α,β,γ)均为0。

图1 3-P(4S)并联机构Fig.1 3-P(4S) parallel mechanism

图2 3-P(4S)并联机构简化图Fig.2 Sketch of 3-P(4S) parallel mechanism

任意时刻，各分支上边中点di(i=1,2,3)在{P}系均表示为

(1)

从{P}系到{O}系再到分支坐标系{ui}(i=1,2,3)进行坐标变换，得出di(i=1,2,3)在分支坐标系ui(i=1,2,3)的表示为

(2)

(3)

式中l1、l2、l3——直线驱动输入参数

根据闭环子链呈平行四边形布置的几何关系，任意时刻闭环子链的上边中点di(i=1,2,3)和下边中点ci(i=1,2,3)之间的距离恒等于左右边长L。此关系可表达为

(4)

将式(3)代入式(4)，整理可得

(5)

将式(2)代入式(5)，即完成了机构的位置反解，通过给定位置参数可得出对应的输入行程。

采用混合数值法求解机构的位置正解。如图3所示，首先以行程参数(l1，l2，l3)作为输入参数，动平台中心位置参数(xp，yp，zp)作为输出参数，隐藏层节点数的确定方法为首先任意给出一个初值，然后采用逐步增长法[17]将隐藏层节点数确定为10。这样，一个由3个输入层和3个输出层组成的BP神经网络已构造完成。通过式(5)的位置反解以及给定的机构结构参数后，可得到大量训练样本，本文采用LM数值优化算法训练以上所构建的BP神经网络，LM数值优化算法可以提高训练速度、减小收敛误差。将所构建的BP神经网络，进行离线训练后，其输出结果的精度可达到10-4级。

为了进一步提高输出精度，将任意输入行程代入神经网络的输入层，经过以上所训练好的BP神经网络的预测，得出机构对应位姿参数的初解。将此初解作为拟牛顿法的初值T0进行迭代，并规定迭代误差ε为10-7，得出对应位姿参数的精确结果(xp,yp,zp)。

图3 混合数值法结构简图Fig.3 Sketch of hybrid numerical method

表1为通过式(5)得出的5组位置数值算例，将其代入混合数值法求解，机构的结构参数为ra=0.25 m,rb=0.67 m,L=0.38 m,φ=30°，所选计算机主频为3.2 GHz，求解结果如表2所示，求解精度为10-8数量级，迭代步数为3，求解效率在20 ms以内。

表1 数值算例Tab.1 Numerical calculation example m

表2 混合数值法计算结果Tab.2 Results of hybrid numerical method

1.2 速度分析

图4为该机构的P(4S)分支简化图，其中ei、mi、ni、si均为其所在方向上的单位向量，p、o分别为上下平台中心点，c、d分别为等效上下铰链点，u为移动副端点，qi为驱动分支i(i=1,2,3)的驱动行程，l为4S分支等效杆长，为定值，racosθ为上平台中心到短边距离，为定值，rb为下平台外接圆半径，为定值，向量r为动系原点p在定系中的位置矢量。

图4 P(4S)分支等效图Fig.4 Equivalent sketch of P(4S) limb

向量r可表示为

r=rbei+qimi+lni+racosθsi

(6)

对式(6)求导可得

(7)

式中v——上平台速度矢量

ωi——杆件运动角速度

(8)

(9)

式中Jωi——分支杆件角速度对上平台速度的映射矩阵

若ni=[xiyizi]T，则

分支杆件质心点的位置矢量可表达为

(10)

对式(10)求导，即为分支杆件的线速度

(11)

式中I3——3×3的单位矩阵

Jvi——分支杆件线速度对上平台速度的映射矩阵

1.3 加速度分析

对式(7)求导，可得

(12)

式中a——上平台加速度矢量

(13)

其中

对式(11)求导，整理可得分支杆件质心点线加速度与上平台运动参数的映射关系。

(14)

将式(9)求导，整理可得分支杆件角加速度与平台运动参数的映射关系

(15)

式中，“*”表示矩阵广义标量积。

1.4 运动学数值算例

给定机构与1.1节相同的结构参数，并给定运动x=0.001sin(40πt)和y=0.001sin(40πt)，将数值算例和结构参数代入式(8)和式(13)，通过Matlab编程可得驱动速度和加速度的理论曲线，如图5、6所示。

图5 驱动单元速度理论曲线Fig.5 Velocity theory curves of drive unit

然后将给定机构的三维造型导入ADAMS中，并给定与上述数值算例相同的运动规律进行仿真验证，将所得到机构驱动输入的速度以及加速度到Matlab中进行显示，得到运动仿真曲线如图7、8所示，其单位和图5、6相同。在图7、8曲线上任取若干点，与理论计算所得曲线图5、6中对应的值进行比较。经对比，两者完全相等，因此完成了运动学理论模型与仿真模型的相互验证。

图6 驱动单元加速度理论曲线Fig.6 Acceleration theory curves of drive unit

图7 驱动单元速度仿真曲线Fig.7 Velocity simulation curves of drive unit

图8 驱动单元加速度仿真曲线Fig.8 Acceleration simulation curves of drive unit

2 3-P(4S)机构动力学分析

2.1 机构等效惯性力矩

根据牛顿-欧拉法, 由于上平台只具有三维移动自由度，所以只存在惯性力对驱动的等效力矩映射，其计算式为

(16)

其中

J1=J-1

式中J1——上平台速度对驱动速度的映射矩阵

m——上平台质量

因为滑块与直线电动机固连，所以滑块运动规律和电动机驱动一致，其计算式为

(17)

式中Jei——滑块与驱动速度之间映射矩阵

me——驱动滑块质量

由于分支杆件运动形式包括移动和转动，所以其对驱动力的映射中存在惯性力和惯性力矩，可得

(18)

(19)

其中

式中md——分支杆件质量

Jvdi——分支杆件质心点线速度对驱动速度的映射矩阵

Jωdi——分支杆件的角速度对驱动速度的映射矩阵

Idi——在定系中分支杆件的转动惯量

Idio——分支杆件在以其质心为原点，坐标轴Z与杆件轴线平行的坐标系(本文中将其简称为本坐标系)的转动惯量

ORi——从本坐标系到定系的旋转变换矩阵

(20)

2.2 机构等效重力矩

通过虚功原理，机构等效重力矩为

(21)

2.3 机构动力学方程的建立

本文所研究机构构型主要应用于振动台，忽略机构的所受外力，并忽略各关节间的摩擦，机构的动力学方程可表达为

τI+τG+τA=0

(22)

式中τA——广义驱动力矢量

将式(20)、(21)代入式(22)，整理可得

(23)

2.4 动力学数值算例

给出振动台的上平台质量m=4.16 kg，驱动滑块质量me=2.57 kg，各分支杆件质量md=1.59 kg，其在本坐标系的转动惯量Idio=diag(Ixx,Iyy,Izz)，其中Ixx=0.022 3 kg·m2,Iyy=0.022 3 kg·m2，Izz=1.276×10-4kg·m2，其余结构参数与运动学数值算例和正反解算例相同。并给定该机构在初始高度下在XY平面内的复合运动，具体表达式为xp=0.001sin(40πt)，yp=0.001sin(40πt)，zp=0.57。将以上结构参数和运动参数代入到式(23)，应用Matlab进行计算，得到机构上述复合运动情况下的驱动力受力曲线，如图9所示。为了验证理论计算的结果，首先将机构的三维造型设定与实际加工一致的材料后，将其导入到ADAMS动力学仿真软件，添加各约束，为保持一致性，不设额外负载，并给定相同的运动规律，运行仿真，将驱动副驱动力仿真数值输出到Matlab，生成仿真曲线，如图10所示。将图10和图9的值进行比较，两者完全相等。因此完成了动力学理论模型和动力学仿真模型的相互验证。

图9 沿XY轴复合运动驱动力理论曲线Fig.9 Theory curves of driving force along XY axis

图10 沿XY轴复合运动驱动力仿真曲线Fig.10 Simulation curves of driving force along XY axis

3 3-P(4S)机构尺寸优化

3.1 动力学性能指标

由于所研究振动台一般进行高频往复振动，主要考虑动力学公式中的加速度项[18]，所以动力学模型可简化成

τA=-MAH

(24)

(25)

将式(25)求导，可得

(26)

由式(26)可得

MTMAH=λAH

(27)

式中λ——MTM的特征值

(28)

式中σ——振动台动力学性能指标

σ数值越小，机构的动力学性能则越好，即选取σ在工作空间W的全域值σ1为优化目标[19]，即

(29)

3.2 刚度性能指标

并联机构的简化刚度矩阵为

K=JTkJ

(30)

为了更直观地判断机构刚度性能，对微位移δD向δF方向进行投影，以此可以得到机构受力δF方向上的微位移δD，从而得到移动方向刚度[20-21]

(31)

设δF=Ff，其中f是F方向上单位向量，将其代入式(31)，可得到机构的方向刚度为

KF=fTKTf

(32)

(33)

式中σ*——振动台动力学性能指标

其数值越大，机构的刚度性能则越好。选取σ*在工作空间W的全域值σ2为优化目标，即

(34)

3.3 速度性能指标

给定驱动关节一个可以沿关节空间的任意方向单位速度向量，即可得出驱动输入速度的三维球体，其表达式为

(35)

通过式(35)可得到所有驱动输入速度对应的上平台输出速度集合，将其称为机构的广义速度椭球。椭球的主轴半径的长度是矩阵JTJ的特征值的平方根，主轴方向与其特征值对应的特征向量相同。

图11和图12为振动台在初始位置(结构参数与之前数值算例相同)的输入速度球体和输出速度椭球，可以看出，输入速度变化，对应的输出速度变化程度不同，这说明机构在该机构参数下的速度传递能力不同。从图11和图12还可看出，输出椭球越接近于球体(即其长短轴的长度越接近)，机构速度传递性能越相近，其速度性能越好。

图11 关节空间速度向量分布图Fig.11 Vector distribution of joint space velocity

图12 操作空间末端速度向量分布图Fig.12 Vector distribution of end space velocity

因此，可把输出速度椭球长半轴数值σmax(J)与短半轴σmin(J)之比作为振动台速度性能评价指标，从而得到振动台的速度性能指标为

=

(36)

(37)

3.4 机构多目标优化的实现

通过以上分析，最终选取机构的全局最大动力传递系数指标σ1、全局最小方向刚度指标σ2以及全局速度各向同性指标σ3作为振动台的优化目标，对其进行综合考虑。

在加权求和法的基础上，得出一种归一加权求和法，主要是将各优化目标看作同等重要，有效避免不同指标的侧重不均，从而实现振动台多目标优化。

首先通过遗传算法分别对各优化目标进行单目标多变量优化，得出各指标在参数变化范围内的最大值σmax(x)和最小值σmin(x)，并将每个目标函数表示为[22-23]

(38)

目标函数fi(x)表示各计算指标在变化范围内所占的比值，可起到消除不同优化目标对优化结果影响不均的作用，使每个优化目标对优化结果同等重要。式(38)可简化为

fi(x)=ωiσi(x)-gi

(39)

则机构综合优化目标函数可表示为

(40)

优化流程如图13所示，初始化机构参数后，求出满足工作空间要求的末端位姿参数，根据式(28)、(33)和式(36)计算动力学性能指标、刚度性能指标和速度性能指标，然后通过式(29)、式(34)和式(37)得出全局动力学性能指标、全局刚度性能指标和全局速度性能指标，通过式(38)～(40)得出机构综合优化目标函数。遗传算法的参数设定首先通过多次试验法确定种群数量50，遗传算法终止代数为100，并应用算数交叉法，将精英个体数设定为2，交叉概率设定为0.8，对父代染色体的选择采用轮盘式选择法，选择自适应变异法计算，得到优化结果如图14所示。

图13 机构多目标性能优化流程简图Fig.13 Flow chart of multi-target optimization

图14 机构综合性能优化结果Fig.14 Optimization results of mechanism performance

由图14可知，从第70代以后开始接近收敛，此时，机构综合优化目标函数的最小值为fmin(x)=0.137，多目标优化后的尺寸如表3所示。

将表3中多目标优化前后的结构参数分别代入式(28)和式(29)中，通过Matlab数值计算，得出机构在优化前和优化后的结构尺寸下的动力学性能指标图谱和等高线，如图15～18所示。机构的动力学性能指标变化范围从优化前的[24,42]下降至优化后的[14,17]，动力学指标全域值从优化前的σ1=29.920 5下降至优化后的σ1=15.243 4。由此可知，通过多目标尺寸优化，机构动力学性能提高到优化前的2倍。

表3 多目标优化结果Tab.3 Results of multi-target optimization

图16 优化前动力学性能指标等高线Fig.16 Contour of dynamic performance index before optimization

图17 优化后动力学性能指标图谱Fig.17 Atlas of dynamic performance index after optimization

将表3中多目标优化前后的结构参数分别代入式(33)和式(34)中，通过Matlab数值计算，可得出机构在优化前和优化后的结构尺寸下的刚度性能指标图谱和等高线，如图19～22所示。机构的刚度性能指标变化范围从优化前的[0.04,0.16]提升至优化后的[0.3,0.4]，其刚度指标的全域值从优化前的σ2=0.137 3提升到优化后的σ2=0.352 2。由此可知，通过多目标优化，机构刚度性能提高到优化前的3倍。

图18 优化后动力学性能指标等高线Fig.18 Contour of dynamic performance index after optimization

图19 优化前刚度性能图谱Fig.19 Atlas of stiffness performance index before optimization

图20 优化前刚度性能等高线Fig.20 Contour of stiffness performance index before optimization

图21 优化后刚度性能图谱Fig.21 Atlas of stiffness performance index after optimization

图22 优化后刚度性能等高线Fig.22 Contour of stiffness performance index after optimization

将表3中多目标优化前后的结构参数分别代入式(36)和式(37)中，通过Matlab数值计算，可得出机构在优化前和优化后的结构尺寸下的速度性能指标图谱和等高线，如图23～26所示。从图中可以看出，尺寸优化前机构的速度性能指标的变动范围为 [9,15]，其在优化前尺寸下的速度性能指标的全域值为σ3=10.007 5。尺寸优化后速度性能指标的变动范围为[4.3,4.8]，其全域值为σ3=4.537 0。由此可知，通过多目标优化，机构速度性能提升到优化前的2倍。

图23 优化前速度性能图谱Fig.23 Atlas of velocity performance before optimization

图24 优化前速度性能等高线Fig.24 Contour of velocity performance before optimization

图25 优化后速度性能图谱Fig.25 Atlas of velocity performance after optimization

4 结论

(1)结合了BP神经网络法和拟Newton法，建立了混合数值法求解3-P(4S)并联机构位置正解。其求解精度远高于BP神经网络，并有效避免了拟Newton法求解正解受迭代初值影响大的问题，求解效率也高于拟Newton法，可实现高精度实时控制。

(2)建立了3-P(4S)振动台的运动学和动力学模型，并用动力学仿真软件对所建立模型进行仿真验证，为以后分析振动台的振动特性提供了理论基础。

(3)改进了加权求和法，将各优化目标的重要程度转化为相近水平，从而对机构动力学性能、刚度性能和速度性能进行了综合优化。经过多目标的尺寸优化，该机构的动力学性能和速度性能提升了2倍，刚度性能提升了3倍。

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MechanismAnalysisandMulti-targetPerformanceOptimizationof3-P(4S)ParallelMechanism

ZHAO Xingyu1,2ZHAO Tieshi1,2YUN Xuan1,2WANG Wenchao1,2TIAN Xin1,2LI Zhongjie1,2

(1.HebeiProvincialKeyLaboratoryofParallelRobotandMechatronicSystem,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China2.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScience,MinistryofEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The object was to solve the dynamics analysis and multi-target performance optimization of 3-P(4S) parallel mechanism.Firstly, inverse kinematics of 3-P(4S) parallel mechanism was solved, and hybrid numerical algorithm was proposed, which was composed of BP neural network and quasi-Newton method algorithm.The algorithm could solve the forward kinematics of 3-P(4S) parallel mechanism in less than 20 ms by three step iterations, and the accuracy was on the level of 10-8, which can realize the high accuracy and real-time control of 3-P(4S) parallel mechanism.Then the velocity and acceleration of the moving platform and limbs were obtained by the derivative of the position solution.According to the results of kinematic analysis, the dynamic model of the mechanism was constructed by Newton Euler method, and the dynamic simulation of the numerical example was utilized to verify the dynamic model of 3-P(4S) parallel mechanism.From the verification results, both of the two were exactly the same.Finally, considering the dynamic performance, stiffness performance and speed performance of the 3-P(4S) parallel mechanism, an improved genetic algorithm was utilized to optimize the 3-P(4S) parallel mechanism.Through the multi-objective performance optimization, the dynamic performance and speed performance of the mechanism were improved by two times, and the stiffness performance was increased by three times.

parallel mechanism; hybrid numerical algorithm; multi-target; performance optimization

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.050

TP24

A

1000-1298(2017)10-0390-11

2017-02-19

2017-03-10

国家自然科学基金项目(51375420)和河北省科技计划项目(14961812D)

赵星宇(1991—)，男，博士生，主要从事并联机器人技术研究，E-mail: xyzhao@stumail.ysu.edu.cn

赵铁石(1963—)，男，教授，主要从事并联机器人和多维力传感器研究，E-mail: tszhao@ysu.edu.cn