几组“形似质异”问题的辨析

■宗文惠

下面通过几组“形似质异”问题的辨析,旨在帮助同学们进一步加深对有关概念的内涵与外延的理解、认识,强化审题能力,力求做到准确、到位。

第一组：集合的求交集问题

一般地,遇到集合求交集,首先要分清类型,是“点集”求交集,还是“数集”求交集,其次要注意方法,点集求交集,通过解方程组实现,而数集求交集,通过求函数的值域实现。

例1集合A={y|y=x2+1,x∈R},B={y|y=5-x2,x∈R},则A∩B=_____。

辨析：集合A、B都是数集,求A∩B的关键就是求对应函数y=x2+1(x∈R)与y=5-x2(x∈R)的值域。

解：因为函数y=x2+1(x∈R)的值域是[1,+∞),函数y=5-x2(x∈R)的值域是(-∞,5],所以A=[1,+∞),B=(-∞,5],所以A∩B=[1,5]。

第二组：二次函数的单调性问题

例2函数f(x)=x2+2(a-2)x+5。

(1)若函数f(x)的单调递增区间为[4,+∞),则a∈_____。

(2)若函数f(x)在[4,+∞)上单调递增,则a∈_____。

辨析：如果一个函数的单调递增(减)区间是D,则该函数在区间D的任一子区间D0上必单调递增(减),也就是说,单调递增(减)的最大范围是D,在D0上尽管单调递增(减),但D0为D的子区间。

解：(1)依题意可得,解得a=-2,即所求的a∈{-2}。

第三组：抽象函数的对称性问题

例3(1)若f(x-1)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于_____对称。

(2)设y=f(x)是定义在R上的函数,则f(x-1)与f(1-x)的图像关于____对称。

辨析：(1)考查一个函数的图像本身关于什么对称,(2)考查两个函数的图像关于什么对称,两个目标问题貌似相同,其实差别甚大。

解：(1)由f(x-1)=f(1-x),可将x都变成x+1得f[(x+1)-1]=f[1-(x+1)],即f(x)=f(-x),故f(x)是偶函数,其图像关于x=0(即y轴)对称。

(2)在函数y=f(x-1)的图像上任取一点P(x,y),因为y=f(x-1)=f[1-(2-x)],所以点P'(2-x,y)在函数y=f(1-x)的图像上。点P(x,y)关于直线x=1的对称点为P'(2-x,y),由点P的任意性知,函数y=f(x-1)图像上任一点关于直线x=1 的对称点都在函数y=f(1-x)的图像上。同理可得,函数y=f(1-x)图像上任一点关于直线x=1的对称点都在函数y=f(x-1)的图像上。综上可知,f(x-1)与f(1-x)图像关于直线x=1对称。

第四组：函数的定义域与值域均为实数集问题

一般地,设函数y=logm(ax2+bx+c),其中a≠0,若函数的定义域为 R,则若函数的值域为R,则

例4(1)若函数f(x)=log2(x2+axa)的定义域为R,则实数a∈____。

(2)若函数f(x)=log2(x2+ax-a)的值域为R,则实数a∈____。

辨析：(1)中,由定义域为R 知不等式x2+ax-a＞0的解集为R,即x2+ax-a＞0在R 上恒成立,则Δ=a2+4a＜0。(2)中,由值域为R 知u(x)=x2+ax-a的函数值应取遍所有的正数,则Δ=a2+4a≥0。

解：结合上述辨析,即得结果。

(1)a∈(-4,0)。

(2)a∈(-∞,-4]∪[0,+∞)。

第五组：函数恒有意义与定义域问题

一般地,设函数f(x)=logag(x),若f(x)在某区间D内恒有意义,则g(x)＞0在区间D上恒成立;若f(x)的定义域为D,则不等式g(x)＞0的解集为D。

例5函数f(x)=loga(-x2+log2ax)。

(1)若函数f(x)在（0 ,）内恒有意义,则a∈____。

(2)若函数f(x)的定义域为（0 ,）,则a∈____。

辨析：如果一个函数的定义域为D,则该函数在区间D的任一子区间D0上必恒有意义。也就是说,使得原函数有意义的自变量的最大取值范围是D,在D0上尽管恒有意义,但D0为D的子区间。

解：(1)依题设知-x2+log2ax＞0,即

第六组：方程解的个数问题

若关于x的方程a=f(x)有实数解,则参数a的取值范围就是函数f(x)的值域;若关于x的方程a=f(x)在某区间内有两个不同的实数解,则直线y=a与曲线y=f(x)在该区间内有两个不同的公共点。结合动直线y=a上下平移分析,可得参数a的取值范围。

例6(1)若方程x2-x-a=0在[-1,1]内有实数解,则实数a∈_____。

(2)若方程x2-x-a=0的两个不同实数解都在[-1,1]内,则a∈____。

辨析：(1)中,只需满足在[-1,1]内有实数解,可能只有一解,也可能有两个不同的实数解。(2)中,必须满足在[-1,1]内有两个不同的实数解,解的个数是确定的。

解：设f(x)=x2-x-a,则f(x)的图像关于x=对称。