立足本手,方得妙手*——对2022 年广州市中考数学第24 题的探究

广东省广州市第五中学(510220) 刘护灵

2022 年全国新高考Ⅰ语文卷,以“本手、妙手、俗手”这三个围棋术语为切入点,告诉我们要打好基本功,沉潜努力,我们才会有机会灵光一现,神来一“手”,才有可能一鸣惊人,做出成绩.我们以2022 年广州市中考数学第24 题为例,通过两个解法的探讨和改进,让我们更加深刻的认识到“立足本手,守正创新”的深刻道理,在解析的过程中,我们利用了强大的GeoGebra 进行精准绘图,实验探究,使得讲解更加生动.

1 呈现原题

24.己知直线l:y=kx+b经过点(0,7)和点(1,6).

(1)求直线l的解析式;

(2)若点P(m,n)在直线l上,以P为顶点的抛物线G过点(0,-3),且开口向下

①求m的取值范围;

②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q,当点Q向左平移1 个单长度后得到的点Q′也在G上时,求G在的图象的最高点的坐标.

前2 问的简析:(1)根据待定系数法求出解析式即可得到直线l解析式为:y=-x+7;

(2) ①由于点P在直线l上,那么可以得到m与n的关系,得n=-m+7,然后根据顶点式得到抛物线G的解析式:y=a(x-m)2-m+7,代入点(0,-3)的坐标得由于抛物线的开口向下,所以a＜0,所以m的取值范围是m＜10且m≠0.本文重点探讨(2) ②.

2 立足“本手”

2.1 “本手”——求抛物线和直线的交点

此题关键条件是“抛物线G与直线l的另一个交点为Q”,如何求交点Q? 本质上是联立抛物线方程和直线l的方程,求这组方程的解.根据条件,因为点P(m,n)在直线l上,所以n=-m+7;由抛物线的顶点式,可得抛物线G方程为:y=a(x-m)2-m+7,由2 ①知,所以不少学生毫不犹豫的把a代入,得到-m+7,此时联立直线方程:y=-x+7,消去y,得到-x+7=-m+7,此时这个含参方程,学生求解的难度比较大!

如果直接去分母,得(-x+7)m2=(m-10)(x-m)2+(7 -m)m2,接下来移项,化简,再利用十字相乘法或者求根公式,求得两个交点,x1=m(和点P重合,舍去),中间的运算量比较大,考场紧张的状态下可能容易算错!

如何简化上述求交点的过程? 思路是保留a,相当于“先换元,再解方程”.即联立y=a(x-m)2-m+7和y=-x+7,消去y,得a(x-m)2-m+7=7-x,化简得a(x-m)2+x-m=0,解决这个方程就比较简单了,直接可以看出因式分解:(x-m)[a(x-m)+1]=0,所以x1=m(和点P重合,舍去),x2=+m,此时再把a代入x2,容易得x2=,这样就得到了点Q的横坐标.

2.2 反思和启示

联立抛物线和直线方程,求交点坐标,当含参计算时,往往是“先换元,再解方程”,使得计算量比较小,其根本原因是,不论a还是m,都是参数.我们需要把x当成主元,通过换元,使得关于x的方程尽可能的简单,这样求解这个一元二次方程就比较简便.

学生在考试中,运算量的减少,至少有两个好处,好处一,让我们的计算准确性得到了提高,好处二,让学生在紧张的考试时间内,有时间继续解答后面的题目.

解决这类问题的实质,是学生需要学习并理解含参的一元二次方程,如何求解比较简洁、计算量少! 即提高解决含参的方程求解能力,是“本手”.

2.3 继续求解

得到x2=+m=m-之后,也不需要把a代入x2,去得到x2=,而是保留x2=m-的形式,继续进行运算,最后才把a代入.

当m值确定 之 后,问 题的≤x≤+1 这个范围也是完全确定的,只是需要对于m的不同情况进行分类讨论.当m=时,抛物线G为y=-2x2-10x-3,对称轴为直线x=,对应区间为-2 ≤x≤-1,整个区间在对称轴x=的右侧,此时,函数值y随着x的增大而减小,如图1,当x取区间左端点x=-2 时,y达最大值9,最高点坐标为(-2,9);当m=2时,对应区间为最高点为顶点P(2,5),如图2,G在指定区间图象最高点的坐标为(-2,9)或(2,5).

图1

图2

图3

3 “妙手”生成

3.1 “妙手”——根据轴对称,巧妙的设点坐标,再代入抛物线方程

联立直线和抛物线求交点,是此题的“本手”,同时计算的过程也是难点.能否“绕过求交点这一步”,进一步的简化计算呢? 可以!

这个解法在计算量上比“本手”解法小了很多,时间上也得到了节省.

3.2 反思和启示

“妙手”的求解关键在于此类问题中,点Q和Q′是关于某条已知直线对称的,所以先设点Q的坐标,则Q′的坐标即刻可求,最后再把点Q′的坐标代入抛物线的方程,这样可以避免联立求方程组的解而产生的运算量.

这样的方法深刻的体现出了“方程——曲线”的完备性和纯粹性,也深刻体现了充分利用图形的特征,可以使计算过程得到优化和简化.

在上面的分析中,也可以看出近年广州市中考数学关于抛物线等问题的命题特点,“无图想图”,“无图画图”,学生的画图能力、分析能力、计算推理能力都非常重要,也是进入高中学习的必备的关键能力.

4 教学启示

4.1 借助GeoGebra 有效提高学生对“含参”问题的理解

此题是二次函数有关的问题,需要根据自变量的取值范围进行求解.通过深入剖析此题,我们深刻的认识到,此题的“本手”是含参的一元二次方程的求解,它是基本知识、基本原理与基本技能.在初中数学教学中,“参数问题”由于其高度的抽象性和复杂性,“很难教”,是所有初中数学教师面临的最棘手的问题之一.以往的传统教学,很难让学生直观感受参数变化导致的图像变化过程,而GeoGebra 则能有效解决这一痛点.笔者也借助了该软件绘制本题的精准图形.实际上,GeoGebra 拥有简洁明了的界面、操作简单、容易上手、各平台通用等特点,利用GeoGebra,建立滑动条,可以有效的演示初中数学“含参问题”,并且在滑动条的拉动过程,让学生深入其境的感受参数对于图形的影响,可以进行更多深入的实验探究.

4.2 实验探究和逻辑推理双翼齐飞

在教学中,使用GeoGebra 为学生创设探究情境,生动还原“参数”对于图像的影响,但是,技术融合数学教学的基本原则是:始于直观想象,终于逻辑推理.GeoGebra 或其它画板可以为学生展示丰富多彩、广博生动的教学内容,比如图形的平移、旋转、缩放、分割、重叠等,既生动又准确,再与学生动手操作相结合,其过程充满趣味性和挑战性! 但运用GeoGebra,需防止“错位”、“越位”、“缺位”! GeoGebra 只是辅助教学手段,不能盲目扩大,造成错位,这些是我们一线老师需要注意的问题.GeoGebra 在于促进学生有效思考,在于提升学生对数学本质的理解,不能越位而使学生缺失经历知识的形成过程,而应突出体现其探究性,辅助课堂上给予学生充分参与数学活动的时间和机会.当然,GeoGebra 是学生自主学习探究的一种认知工具,这一理念体现不能缺位.不能只强调其作为辅助教学的演示工具,而忽略了也可以作为“学具”的重要功能,在实验探究中,离不开数学的计算推理、逻辑证明,在这些过程中,可以有效培养学生的学习兴趣,提高学生的数学核心素养.

4.3 本手、妙手的启示

“本手”、“妙手”、“俗手”在现实生活中普遍存在,对于那些身处学习阶段的孩子而言也是如此.“本手”为本分的一手,“俗手”意为庸俗的一手,“妙手”意为卓越的一手,可遇不可求,想下出真正的“妙手”,必须在平日有一定的经验积累和训练才可能完成真正卓越的“妙手”.

此题的“妙手”在于不联立直线和抛物线而巧妙的设点,不拘泥于常规套路,抓住图形的几何特征,使得计算过程得到简化! 一般而言,多数“妙手”具有反思、创新、批评与质疑等特质,也更让人感叹数学的数形结合之美! 而借助GeoGebra,能更生动的呈现“数与形的完美结合”!