一次函数与三角形面积问题探析*

西安交通大学附属中学(710048) 曹艳

1 问题初探

已知一次函数y=2x+4 的图象如图1 所示.

(1)求图象与坐标轴所围成的ΔAOB的面积;

(2) 若点P是直线y=2x+4 上一个动点,且满足试确定点P的坐标.

解:(1)由y=2x+4 易得A(-2,0)、B(0,4),因 此ΔAOB面积为4.

(2) 设点P(xp,yp),SΔAOP=× |yp|=2,由OA=2 可得|yp|=2,故yp=±2.点P在直线y=2x+4上,故P(-1,2)或者P′(-3,-2),如图2 所示.

通过上面问题的分析,一次函数与三角形面积问题的解题思路大致两种:①由函数解析数求得点的坐标,从而确定三角形底和高的长度,求出三角形面积;②根据三角形的面积列出底和高的关系,由线段长度分类讨论得到点的坐标,最后确定函数解析式.这两个思路是互逆的,一定要注意数形结合与分类讨论.

2 自主探究

已知一次函数y=2x+4 的图象如图1 所示.

探究1 若点P是x轴上一个动点,且满足SΔBOP=试确定点P的坐标.

探究2 若点P坐标为(-2,m),且满足SΔABP=试确定直线BP的解析式.

探究1,如图3,此时点P的坐标为(-1,0)或者(1,0),不能漏解哦!

探究2,确定哪条边为三角形的底是解决这个问题的关键.由于AP恰好与y轴平行,我们选AP当底能很大程度上减少题目的计算量.已知点P(-2,m),得×2=2,AP=2,点P的坐标为(-2,2)或(-2,-2),故直线BP的解析式为y=x+4或y=3x+4,如图4.

可以看到,ΔABP是三条直线围成的三角形.下面我们进一步探究两条直线与坐标轴围成的三角形面积,以及三条直线所围成的三角形面积问题.

3 深入探究

已知一次函数y=2x+4 的图象如图5 所示.若直线l经过点C(0,1),且与该图象交于点D(-1,m),与x轴交于点E.

(1)求直线CD的解析式和点E的坐标;(2)图中都有哪些三角形? 你能求出它们的面积吗? (3)作直线AC,如图6,你能求出ΔACD的面积吗?

(1) 很简单,CD的解析式为y=-x+1,E(1,0);在(2) 中,三角形有ΔAOB,ΔCOE,ΔADE,ΔBDC,其中ΔAOB与ΔCOE为一条直线与坐标轴围成的三角形,面积分别为4和;ΔADE为直线AB、CD与x轴围成的三角形,ΔBDC为直线AB、CD与y轴围成的三角形,面积分别为3和.这四个三角形面积的求解和前面方法是一样的.

(3) 比前两个问题要复杂一些,由于ΔACD的三条边都不与坐标轴平行,所以它的底和高不好确定,此时该怎么办呢? 我们先把已知点的坐标罗列出来:A(-2,0),B(0,4),C(0,1),D(-1,2),E(1,0),既然不能直接求解,那我们是否可以考虑用间接的方法求解呢? 一起来看看吧.

方法①“补”

SΔACD=SΔADE-SΔACE=3 -或者SΔACD=SΔAOB-SΔBDC-SΔAOC=4-,我们运用(2)的结果可快速求解.更一般地,我们还可以运用坐标系的特征进行求解.

如图7,SΔACD=S梯形∠AOMD-SΔAOC-SΔCDM=3 -1 -;或者如图8,SΔACD=S正方形AOMN-SΔAOC-SΔCDM-SΔADN=4-1-.图8 的方法就是平面直角坐标系中已知三角形三个顶点坐标求面积的问题,在具体的问题中我们可以择优选用.除此以外我们还可以分割三角形进行求解.

方法②“割”

将ΔACD水平切割(如图9)或者竖直切割((如图10),分成两个三角形,分割后的三角形有一条边与坐标轴平行.我们可以由直线AB和直线AC的解析式求得G(-1,).故SΔACD=SΔDFC+SΔAFC=如图9;或者SΔACD=SΔADG+SΔCDG=如图10.图9 中,CF就是我们常说的水平宽,A与D纵坐标的差的绝对值为铅垂高,因此三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

除了上面的割补,还有别的方法吗? 根据平行线间距离处处相等,我们还可以将ΔACD进行等积转化.

方法③等积转化

如图11,过点C作CF//AB交x轴 于点F,连接DF,ΔACD和ΔAFD同底等高.可求得直线CF:y=2x+1,故,0),SΔACD=SΔAFD=

这个方法运用一次函数图象平行时k相等的结论求出直线CF的解析式,将ΔACD进行等积转化,计算简捷.

我们发现三角形面积的求法多种多样! 其实,知道了三角形三个顶点的坐标,等价于知道了三角形的三边长.除了上面的方法我们还可以利用海伦——秦九韶公式:(其中a,b,c为三角形的三边长进行求解,这里不再展开.

4 总结提升

通过探究我们发现,求解三角形的面积,分为直接求解和间接求解.一次函数背景下的三角形面积问题,如果是一条直线与坐标轴围成的三角形,两条直线与坐标轴围成的三角形,以及三条直线围成的三角形且其中一条边与坐标轴平行,我们都可以直接进行求解;如果三角形三条边都不与坐标轴平行,我们可以用“补”“割”“等积转化”等间接方法转化为第一种情形来求解.其本质和关键是利用一次函数相关性质确定三角形的底和高,进而求解三角形的面积.除了三角形,四边形、五边形等都可以用这个方法进行求解.但是在众多的方法中要恰当选取最优方法,提高解决问题的效率.

反过来,已知三角形面积求点的坐标或者直线解析式的时候,往往需要数形结合并分类讨论,此时一定不能漏解.