关于人教版新教材的一道习题的推广研究

广东省佛山市顺德区勒流中学(528322) 邓先春 苏绮琪

普通髙中教科书(A版)数学必修第一册(2019 年7 月第1 版) (以下简称新教材) 在编写函数这一教学单元时采用:具体函数——图像特征(对称性)——数量刻画——符号语言——抽象定义——奇偶性判定等完整系统的研究过程,这样的研究顺序有利于落实课程标准的要求,培养学生数学抽象与直观想象等素养[1].在练习与习题的编排上,新教材分不同层次落实学生对数学知识本质规律的理解与掌握.

函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型,因此运动变化中的规律性或不变性通常反映为函数的性质.函数性质中的奇偶性是函数的整体性质,即要求定义域中任一个的变量都具有这样的特性,它是平面几何中中心对称图形、轴对称图形的解析表示.

新教材第87 页习题3.2 拓广探索栏目中的第13 题对函数奇偶性及其图像对称性之间关系的规律进行了推广,下面就此展开探索研究.

课本原题“我们知道,函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数f(x+a)-b为奇函数.

(1)求函数f(x)=x3-3x2图像的对称中心;

(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图像关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论[2].”

推广1 “函数y=f(x)的图像关于坐标原点O(0,0)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数[2]”的一个推广结论:函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)-b为奇函数.

(1)充分性:

若y=f(x+a)-b为奇函数,则

设2a-t=m,(*1)为f(m)+f(t)=2b,且有t+m=2a.可见函数y=f(x) 的图像上的两点:P1(t,f(t))与P2(m,f(m)),线段P1P2的中点P(x0,y0)满足即点P1与P2的对称中心为P(a,b).

(2)必要性:

若函数y=f(x) 图像关于点P(a,b) 成中心对称,在y=f(x)图像上任取一点P1(t,f(t)),设y=f(x)图像上的点P1(t,f(t))、P2(m,f(m))关于点P(a,b)对称,即

所以g(x)=f(a+x)-b为奇函数.

问题(1) 试求函数f(x)=x3-3x2图像的对称中心.

分析:

y=x3-3x2=(x3-x2) -2x2=x2(x-1) -2(x2-1+1)=x2(x-1) -2[(x-1)(x+1)+1]=x2(x-1)-2(x-1)(x+1)-2=(x-1)[x2-2(x+1)]-2=(x-1)[(x-1)2-3]-2=(x-1)3-3(x-1)-2.

∴y+2=(x-1)3-3(x-1),即f(x)+2=(x-1)3-3(x-1).设t=x-1,则x=t+1,g(t)=t3-3t.由于g(-t)=(-t)3-3(-t)=-(t3-3t)=-g(t),所以g(t)=t3-3t为奇函数,即g(t)=f(t+1)+2 为奇函数.故函数y=f(x+1)+2 为奇函数的充要条件为y=f(x)图像关于点P(1,-2)对称.所求函数f(x)=x3-3x2图像的对称中心为点P(1,-2).

函数f(x)=x3-3x2的图像如图1 所示.事实上,只要将点P(1,-2) 向左平移1 个单位,再向上平移2 个单位即可得到点O(0,0),因此将函数f(x)=x3-3x2的图像向左平移1 个单位,再向上平移2 个单位即可得到函数y=f(x+1)+2.

图1 函数f(x)=x3 -3x2 的图像

函数y=f(x+1)+2 图像关于原点O(0,0)成中心对称图形,故函数y=f(x+1)+2 为奇函数.

变式训练1 设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( ).

A.y=f(x-1)-1 B.y=f(x-1)+1

C.y=f(x+1)-1 D.y=f(x+1)+1

推广2 “函数y=f(x)的图像关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数[2]”的一个推广结论:函数y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.

证明:

(1)必要性:设y=f(x)图像上任一点P(x0,y0)关于直线x=a对称点P1(x1,y1)也在y=f(x)图像上,于是即点P(x0,f(x0)),P1(2a-x0,f(2a-x0)) 关于x=a对称,于是f(x0)=f(2a-x0),令x0=x+a,则x1=2a-x0=a-x,∴f(x+a)=f(a-x),令g(x)=f(x+a),则有g(-x)=f(a-x),∴g(-x)=g(x)成立,即y=g(x)=f(x+a)为偶函数.

(2)充分性:容易证明,此处省略.

变式训练2 试求函数f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2的图像的对称轴.

分析:已知函数f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2,(x∈R),

∵x4-4x3+3x2+2x-2

=(x4-x3)+(-3x3+3x2)+(2x-2)

=x3(x-1)-3x2(x-1)+2(x-1)

=(x-1)(x3-3x2+2)

=(x-1)[(x3-x2)+(-2x2+2)]

=(x-1)[x2(x-1)-2(x2-1)]

=(x-1)2[(x2-2x+1)-3]

=(x-1)2[(x-1)2-3]=(x-1)4-3(x-1)2.

∴f(x)=(x-1)4-3(x-1)2,设x-1=t,则x=t+1,∴f(t+1)=t4-3t2=g(t),∵g(-t)=g(t),∴g(t)为偶函数,即y=f(x+1)为偶函数的充要条件为y=f(x)图像的对称轴为直线x=1.

函数f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2 的图像如图2 所示.事实上,只要将直线x=1 向左平移1 个单位即可得到直线x=0,即是y轴.因此将函数f(x)=x4-4x3+3x2+2x-2的图像向左平移1 个单位,即可得到函数y=f(x+1).函数y=f(x+1)为偶函数,故y=f(x+1)图像关于直线x=0(y轴)成轴对称图形.

图2 函数f(x)=x4 -4x3 +3x2 +2x-2 的图像