例谈“因动点产生的最值问题”的求解策略

广东省江门市新会区睦洲中学(529143) 黄秀焕

初中数学最值问题涉及的情境灵活多变,考查的知识点灵活多样.其中因动点产生的最值问题,除了题型复杂、知识点多外,更主要是能很好考查一个人运用方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想、分类讨论法、数形结合法等的能力.几何动点问题主要是以几何知识为载体,突出了对几何基本图形掌握情况的考查、数学逻辑思维能力和数学表达能力的考查.题型上变化多端,常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题,所以因动点产生的最值问题常常会作为中考的热点压轴问题.本人结合授课经验及近年来的中考试题,围绕不同题型总结几种常用的求“因动点产生的最值问题”的求解方法,给学生留下深刻印象,从而使数学课堂更为积极有效,学生也能深入探究、触类旁通、举一反三,体验探究带来的快乐.

1 单动点引出的求解线段和最小值

例1 如图1,正方形ABCD的面积为12,ΔABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值是____.

图1

解析:根据正方形的对称性,连接BP,如图1’,得PD=PB,∴PD+PE=PB+PE;又∵正方形ABCD的面积为12,∴AB=∵ΔABE是等边三角形,∴BE=当P点运动到P′点位置的时候,如图1’’,即PB+PE=BE,此时,PD+PE的值最小,最小值=BE=

变式1:如图2,AB是⊙O的直径,AB=10,点C在⊙O上,∠CAB=30°,点D为弧BC的中点,点P在直径AB上运动,则PC+PD的最小值是____.

图2

解析:根据圆的轴对称性:取点D关于AB的对称点D′,如图2’,得PD=PD′;又因为在同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等求出∠COD′=90°,连接CD′交AB于P′,连接P′D′,当P点运动到P′点位置时,如图2’’,此时PC+PD=CD′,∴PC+PD的最小值=

变式2:如图3,在ΔABC中,AB=5,AC=4,sinA=,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+PB的最小值为____.

图3

图4

2 两动点引出的求线段和最小值

例2 如图5,已知正方形ABCD的边长为2,点E,F分别是BC,CD边上的动点,且满足BE=CF.则AE+AF的最小值为____.

图5

解析:连接DE,如图5’,根据题意简单可证AF=DE,在AB的延长线上取A点关于BC的对称点G点,则AE=GE,连接EG、DG,当点E运动到DG与BC的相交位置时,如图5’’,AE+AF=DE+EG=DG,∵正方形ABCD的边长为2,∴AD=2,AG=4,即AE+AF的最小值

例3 如图6,∠AOB=45°,角内有点P,P0=10,在角的两边上两点Q,R(均不同于O点),则ΔPQR的周长的最小值为____.

图6

解析:动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧,本题的三条动线段PQ、PR、QR在OA、OB的内侧.所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧,从而把三条动线段PQ、PR、QR转化为连接两点之间的路径.如图6’,把点P分别沿OA、OB作对称点P′′、P′,ΔPQR的周长转化为P′′Q′+Q′R′+R′P′,这三条线段的和正是连接两个定点P′′、P′之间的路径,从而转化为P′′、P′两点之间的最短距径P′′P′,∵轴对称,∠AOB=45°,∴∠P′′PP′=90°,OP′=OP=10,∴P′′P′=即ΔPQR的周长最小值为

3 折叠引出的求解线段的最小值

例4 如图7,在矩形ABCD中,E为AB的中点,P为BC边上的任意一点,把ΔPBE沿PE折叠,得到ΔPFE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为____.

图7

解析:由题意可知:∵ΔPBE沿PE折叠,∴EF=BE=AB=5;随着不同的折叠,F点的轨迹是以E点为圆心,BE为半径的圆中的一部分,如图7’;所以求CF的最小值,立刻被转化为圆外一点跟圆上的点的距离中,最小距离是多少;连接CE交⊙E于F′,当点F与点F′重合时,如图7’’,此时CF的值最小,CF=CE-EF=

变式1:如图8,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为( ).

图8

解析:本题M点的轨迹是以A点为圆心,AB为半径的圆的一部分,∴MC最小=AC-AM=故选A.

变式2:如图9,抛物线y=-x2+x+6交x轴于A、B两点(A在B的左侧),交y轴于点C,点D是线段AC的中点,点P是线段AB上一个动点,ΔAPD沿DP折叠得ΔA′PD,则线段A′B的最小值是____.

图9

解析:这是一道二次函数中的三角形折叠问题,要解决这个问题,我们先利用二次函数的解析式求出函数与坐标轴的交点坐标A(-2,0),B(3,0),C(0,6),∴AB=5,AC=通过折叠可知,A′点的运动轨迹是以D点为圆心,AD的长为半径的圆的一部分,如图9’,过点D作DM⊥AB于M,连接BD交⊙D于K,根据三角形的中位线定理,DM==3,OM=OA=1,∴BM=4,∴BD=5,当A′点与K点重合,如图9’’,此时,A′B的值最小,A′B=BD-DA′=5-

4 通过动点轨迹,找到特殊位置,求解线段最小值

例5 如图10,有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4 和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为____.

图10

解析:根据题意点E的轨迹是在以点B为圆心,BE为半径的是圆上;连接BD交⊙B于E′(如图10’),当E点与E′重合时(如图10’’),DE的值最小,DE最小值=BD-BE=

例6 如图11,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E是AD上的动点(不与端点重合),在矩形ABCD内找点F,使得EF⊥AD,且满足AF2=AE·AD,则线段BF的最小值是____.

图11

解析:根据题意连接DF,∵AF2=AE·AD,∠EAF=∠FAD,∴ΔAEF～ΔAFD,∴∠AFD=∠AEF=90°,∴随着E点的运动,点F的轨迹是以AD为直径的半圆O上,如图11’,点O是AD的中点,连接OB交⊙O于F′,当点F运动到点F′的位置时,如图11’’,此时BF的值最小,BF=OB-OF=

例7 如图12,在边长为6 的正方形ABCD中,P是边AD的中点,E是边AB上的一个动点(不与A重合),以线段AE为边的正方形内作等边ΔAEF,M是边EF的中点,连接PM,则在点E运动过程中,PM的最小值是____.

图12

解析:在等边ΔAEF中,M是边EF的中点,根据等腰三角形的三线合一定理,可以求出∠MAE=30°,随着E点的运动,M点的运动轨迹是M点在射线AN上,所以求PM的最小值被转化为求直线外一点到直线的距离;如图12’,过点P作PM′⊥AN于M′,当M点与M′点重合时,如图12’’,此时PM的值最小.求PM的值就被转化为:在RtΔAPM中,利用锐角三角函数或者勾股定理都可以求出PM=

以上是我初中几何教学中的几点粗见.总之,我们要根据情况仔细分析,要大胆尝试、善于总结、勇于思考方能巧用辅助线,妙解几何题.