正方形背景下的等腰直角三角形问题

广东省中山市横栏中学(528478) 齐彩霞

1 教学设计过程

1.1 题目设计

如图1,已知,正方形ABCD中,E为线段AD上一动点,F为DC延长线上一动点,若AE=CF,ΔBEF为等腰直角三角形吗?

1.1.1 主题设计意图

此题图形简洁,正方形与等腰直角三角形以及全等相融合,通过转角可形成等腰直角三角形,在这种基本图形背景下还可发散学生思维,生成更多有效学习经验.

问题1 同学们通过证明ΔAEB～=ΔBCF,再转边转角得证原题1,你还能由此题联想到其他问题吗? 比如,条件结论是否可以互换,在原题的基础上还可以引发哪些新问题?

1.2 变式1,变式2 题目呈现

变式1 如图2,已知,正方形ABCD中,E为线段AD上一动点,F为DC延长线上一动点,若∠EBF=90°,请问AE=CF吗?

设计意图在问题1 的思考下,学生应该可以顺其自然想到变式1,或者其他类似变式,这种连贯的思考,更能引发学生潜在的动力,提高学习的兴趣,当然也为进一步的探索变形做准备.

问题2 同学们在变式1 与原题1 证明中其实都是采用全等,两题其实“换汤不换药”,有了前面的经验,变式2 还可以有哪些改编? 比如E,F点一定要在正方形边上吗? 如果在其他位置,结论是否成立?

变式2 如图3,正方形ABCD中,以点B为直角定点作等腰直角三角形BEF,请问AE=CF吗?

设计意图对比变式1,弱化了“在正方形边上”的条件,强化了“等腰”条件,这样的变形学生们可以接受,也能领会深层的举一反三,更容易激发学生的内驱力,学生也会觉得利用上题的知识可以反馈到这道题中,但又不会像单纯的“无脑换数”变式那样无趣.

1.3 变式3,变式4 题目呈现

变式3 如图4,点E为正方形ABCD外一点,∠BEC=45°,连接AE,

(1)求∠AEB的度数.(2)求证:AE+CE=

设计意图变式3 其实是变式2 的拔高,前面3 题还是学生能思考,能突破,变式3 的条件更少,但仍然与前3 题保持紧密联系,学生可以敏锐的发现“45°”的特别之处,至于该如何处理,会引发学生的“头脑风暴”,充分调动学生的求知欲,再通过小组讨论,上台展示的方法会更好地引起学生的共鸣,从而把此题的思考方法真正由学生教给学生.

解法补充法一:根据变式3 于2 的共性45°,学生可猜测通过以BE为直角边构造等腰直角三角形((如图5),再由全等证明∠AEB=∠BFA=45°.

法二:∠BEC=45°,相当于“定弦定角问题”,如图6,以正方形中心O为圆心,OA为半径构造圆,∠BEC即为圆周角,由同弧所对的圆周角相等,故∠AEB=∠BEC=45°

变式4 如图7,在原题1 的条件下,正如果方形的边长为4,连接BD,取EF的中点M,连接CM.

(1)是否有∠EBD=∠EFD?

(2)CM是否为线段BD的垂直平分线?

(3)点M的轨迹是?点M的轨迹长是多少?

(4)若DE=2,则CM=?

设计意图变式1-3,层层深入,学生们会有一种意犹未尽的快感,这种求知欲会让学生自觉对原题进一步探索,因此变式4 是笔者在原题1 的基础上引申出其他的思考,关键在于“对角线BD”的出现,对角线有很多很好的特征,利用对角线的“平分对角,对角线互相垂直”,可以引发变式4 的4 小问思考,也可以突破学生的思维.

解法补充学生讲解中:第(1)问可把图中的所证角抽离出(如图8),通过图中的等角,可得出所求角相等.第(2)问:部分学生遗忘了“垂直平分线的判定”从而难以解题,因此可通过回顾垂直平分线的判定,找到所证垂直平分线上两点,去证明两点都在垂直平分线上:即求证CB=CD,MD=MB,即可得证.第(3)问,即在第(2)问的基础上拔高,其实已经知道M在BD的垂直平分线上,故关键在于M的起始位置,即可得证.第(4)问,学生主要想把DE的长度进行转移,通过转化已知长度把CM与已知长度联系起来,由于“M”中点的特殊性,可联系“直角三角形斜边中线或中位线”转移,这里“中位线”比较适合(如图9).

2 作业设计

变式5 (如图10)正方形ABCD中,以B为直角顶点作等腰直角三角形BEF,其中BE=BA,M为线段EF的中点,连接CM;

(1)点M的轨迹是?CM长度的最小值?

设计意图前面都是点E在正方形边上,或在外部,自然会思考在正方形内部会发生什么变化,如果只是“以B为直角顶点作等腰直角三角形BEF”,点E的位置太一般,考虑的价值不够高,故强化:BE=BA,相当于ΔBAC绕着点B旋转,随着ΔBAC的位置不同,此时M也会随EF的变化而变化,CM的长度也在改变,自然想到最值问题,学生可以根据点M的特殊性求解(如图11).

变式6 (如图12)正方形ABCD中,E为线段BC上任意一点,连接AE,过点E作AE的垂线交正方形外角的平分CF于点F.求证AE=AF

变式7 (如图14)如果把“E为线段BC上一动点”改为“如果点E为BC延长线(除点C外)的任意一点,其他条件不变,求证AE=EF”

问题8 你还能想到那些正方形背景下的等腰直角三角形相关问题,解决此类问题的基本途径是什么? 在解题和改编题目中你有什么启发与收获.

设计意图变式6,7 看似与1-5 题联系不大,但“CF”是直角三角形的角平分线,由此45 度出现,学生可以联想到“等腰直角”的特殊性质,学生观察到三角形AEF的等腰直角属性,可猜测通过全等证明对应边相等,而AE,FE在哪两个全等三角形中呢? 优生可以猜想到固定ΔCEF,构造与之全等且含AE边的三角形,故在图中可在BA上截取BH=BE(如图13).易证AE=FE.问题8 是开发性问题,中低层学生可以简单概括本节课的知识点,方法等,优生可以进一步拓展正方形背景下的等腰直角三角形问题,领会一题多变,从不同角度发现问题,解决问题的方法.

3 反思与小结

“正方形为背景下的等腰直角三角形问题”是比较常见的综合几何题,课堂上如果偶尔讲一题效果不太显著.讲的太深了学生也很难接受,因此合理高效的设计尤为重要,笔者认为题目的选取应由浅入深,由表及里,层层递进,一题多解,多解归一,一题多变,多题归一.一题多解不是仅仅追求解法多,更要通过解法发现问题的你本质,才是真正的理解题目的内涵,即题目的解法要有意义.而在一题多变中问题与问题的串联中应环环相扣,联系紧密,更容易激发学生的内驱力.在题型讲解过程中教师要学会把课堂的主人还给学生,给学生充分讨论与思考时间,每一道题不仅仅是讲解题过程,更多的是分析,思考,总结.学生的总结往往站在学生的角度,他们的理解和发现可能会更精彩也更容易被学生所接受,在一道题的讲解中还要引导学生挖掘更多有价值的信息,发散思维.比如原题中还能求出哪些长度,角度,是否可以证明等边,等角,长度间的关系等.这些连贯易发现的问题,学生既容易提出问题,也容易理解思考.总之,教学本就是一个探索的过程,更是一个发现的过程,教师需要关注学生的学习背景,了解学生的知识理解程度和知识盲区,更要引导学生如何高效地学习,同时教师也要积极地提升自身的教学能力与自我修养.