抽象函数“三性”的辨析

甘肃省兰州市秦川镇兰州新区高级中学(730311) 沈茂沛

奇偶性,周期性,对称性是抽象函数的重要性质,是高考的高频考点,更是能力考点.三性质的相互融合考题让学生望而却步,为了让学生容易理解掌握三性质,并能灵活应用三性质,下面就以奇偶性,周期性,对称性的原始性质模型(或定义)为问题分析的出发点,进一步分析性质的变式以及性质的相互融合应用.

1 奇偶性,周期性,对称性的性质模型

奇偶性:∀x∈D,都有f(-x)=f(x)⇒f(x)为偶函数.∀x∈D,都有f(-x)=-f(x)⇒f(x)为奇函数.

周期性:∀x∈D,都有f(x+a)=f(x)⇒f(x)的周期T=a.

对称性:i.∀x∈D,都有f(a+x)=f(a-x)⇒当任意点(a+x,y)满足f(x)时,必有点(a-x,y)满足f(x)⇒f(x)关于直线x=a对称.

ii.∀x∈D,都有f(a+x)=-f(a-x)⇒当任意点(a+x,y)满足f(x)时,必有点(a-x,-y)满足f(x)⇒f(x)关于点(a,0)中心对称.

(其他变式的周期模型,对称模型都是上述模型的变式.)

2 常见周期性质模型与“x ∈R,f(a-x)=±f(x)”模型的辨析

常见周期性质模型:f(x+a)=f(x)⇒f(x) 的周期T=a,f(x+a)=-f(x)⇒f(x) 的周期T=2a.由x∈R,f(a-x)=±f(x)能得到什么? 下面用6 个变式阐述这个模型.

变式1、由x∈R,f(x)=f(2-x)能得到什么?

分析：

是f(x)的对称轴;或者f(x)=f(2-x)⇒当任意的点(x,y)满足y=f(x)时,必有点(2-x,y)满足y=f(x)⇒f(x)关于直线x=1 对称.

变式2、由f(x)=f(2-x),且f(x)在R上的奇函数,又能得到什么?

分析：f(x)=f(2-x),f(x)是奇函数

⇒f(x)=f(-(x-2))=-f(x+2)

⇒f(x)=-f(x+2)

⇒f(x+2)=-f((x+2)+2)=-f(x+4)

⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

⇒f(x+4)=f((x)

⇒周期T=4.

变式3、由f(x)=f(2-x),且f(x)在R上的偶函数,又能得到什么?

分析：f(x)=f(2-x),f(x)是偶函数

⇒f(x+2)=f(2-(x+2))⇒f(x+2)=f(-x)=f(x)

⇒周期T=2.

变式4、由x∈R,f(x)=-f(2-x),能得到什么?

分析：由f(x)=-f(2-x)⇒当任意的点(x,y)满足y=f(x)时,必有点(2-x,-y)满足y=f(x)⇒f(x)关于点(1,0)中心对称.

变式5、由f(x)=-f(2-x),且f(x)在R上的奇函数,又能得到什么?

分析：由f(x)=-f(2-x),f(x)是奇函数⇒f(x)=f(x-2)⇒f(x+2)=f(x)⇒周期T=2.

变式6、由f(x)=-f(2-x),且f(x)在R上的偶函数,又能得到什么?

分析：由f(x)=-f(2-x),f(x)是偶函数⇒f(-x)=-f(2+x)⇒f(x+2)=-f(x)⇒周期T=4.

感悟总结:模型“x∈R,f(a-x)=±f(x)”可以与函数的对称轴,对称中心,周期紧密相关,重点在周期.

3 常见对称性质模型与“x ∈ R,f(x+a)=±f(x-a)”模型的辨析

常见对称性质模型:f(a+x)=f(a-x)⇒x=a是f(x)的对称轴,f(a+x)=-f(a-x)⇒(a,0)是f(x)的对称中心.由x∈R,f(x+a)=±f(x-a)能得到什么? 下面用6 个变式阐述这个模型.

变式1、由x∈R,f(x+2)=f(x-2)能得到什么?

分析：

⇒周期T=4.

变式2、由f(x+2)=f(x-2),f(x)在R上的奇函数,又能得到什么?

分析：

f(x+2)=f(x-2)⇒f(x+2)=-f((2-x)

⇒当(x+2,y) 满足y=f(x) 时,必有(2-x,-y) 满足y=f(x)⇒f(x)关于点(2,0)对称.

变式3、由f(x+2)=f(2-x),f(x)在R上的偶函数,又能得到什么?

分析：

f(x+2)=f(x-2)⇒f(x+2)=f((2-x)

⇒当(x+2,y) 满足y=f(x) 时,必有点(2-x,y) 满足y=f(x)⇒f(x)关于直线x=2 对称.

变式4、由x∈R,f(x+2)=-f(x-2)能得到什么?

分析：

⇒周期T=8.

变式5、由f(x+2)=-f(x-2),且f(x)在R上的奇函数,又能得到什么?

分析：由f(x+2)=-f(x-2),f(x) 是奇函数⇒f(x+2)=f(2-x)⇒f(x)关于直线x=2 对称

变式6、由f(x+2)=-f(x-2),且f(x)在R上的偶函数,又能得到什么?

分析：由f(x+2)=-f(x-2),f(x) 是偶函数⇒f(x+2)=-f(2-x)⇒f(x)关于点(2,0)中心对称

感悟总结:模型“x∈R,f(x+a)=±f(x-a)”可以与函数的对称轴,对称中心,周期紧密相关,重点在对称

通过上述两组“6 个”变式的演绎,模型“x∈R,f(x+a)=±f(x-a)”与模型“x∈R,f(a-x)=±f(x)”将函数的奇偶性,对称性,周期性三性质的融合做到全面的考查.